2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修五第三章3-2《一元二次不等式的解法》（第2課時）《教案》.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修五第三章3-2《一元二次不等式的解法》（第2課時）《教案》 一、教學目標： 知識與技能 1. 鞏固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法與一元二次函數(shù)的關系和一元二次不等式解法的步驟、一元二次不等式解法與一元二次函數(shù)的關系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系; 2. 通過復習要求學生能熟練地解答一元一次和一元二次不等式.對含有參數(shù)的一元一次和一元二次不等式，能正確地對參數(shù)分區(qū)間討論; 3.使學生掌握解含有字母參數(shù)不等式（組）的解法，初步掌握分類討論的思想方法及技巧. 過程與方法 1.使學生掌握在解含有字母參數(shù)的不等式（組）時知道是否要分類討論，討論的依據(jù)是什么，分類的標準是什么，通過師生的共同探索，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的能力; 2.發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性教學; 3.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性. 情感態(tài)度與價值觀 1.進一步提高學生的運算能力和思維能力，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力； 2.培養(yǎng)學生探索問題的積極性、主動性以及和同學互相合作的團隊精神.同時，培養(yǎng)學生思考問題的周到縝密性，養(yǎng)成嚴謹?shù)膶W習態(tài)度和思想作風； 3.通過教師與學生、學生與學生的共同合作，加強師生感情交流與溝通，培養(yǎng)良好的師生關系及相互合作的團隊精神. 二、教學重點與難點: 重點； 1.熟練地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是對含有參數(shù)的一元一次和一元二次不等式，能正確地對參數(shù)分區(qū)間討論; 2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現(xiàn)數(shù)形結合的思想. 難點；1.深入理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關系; 2.正確地對參數(shù)分區(qū)間討論，由于字母較多又要討論，所以容易出錯,一定要使同學們細心.另外,在取交集、并集時,可以借助數(shù)軸的直觀效果,這樣可避免出錯. 三、教學模式與教法、學法 教學模式 ：本課采用“探究——發(fā)現(xiàn)”教學模式． 教師的教法：利用多媒體輔助教學，突出活動的組織設計與方法的引導． “抓三線”，即(一)知識技能線（二）過程與方法線（三）能力線. “抓兩點”,即一抓學生情感和思維的興奮點，二抓知識的切入點. 學法：突出探究、發(fā)現(xiàn)與交流． 四、教學過程 教學環(huán)節(jié) 教學內容 師生活動 設計意圖 復習舊知識，引入新知 歸納抽象形成概念 比較分析，深化認識 一、溫故知新 （復習）：一元一次與一元二次不等式的解法.分式不等式的解法：移項，通分，右邊化為0，左邊化為的形式.解分式不等式，切忌去分母. 1.解不等式：-x2+5x＞6({x|2＜x＜3}). 2.解不等式： x2-4x+4＞0({x|x∈R,x≠2}). 3.解不等式：x2+2x+3＜0(Δ=-8＜0, x∈). 4.解不等式： （{x|-13＜x＜-5}）. 回顧知識，提出問題，激發(fā)學生學習的興趣。 生 板演： 師 寫解集時考慮二次項的系數(shù)正負、不等式中不等號的方向、對應的一元二次方程有無實數(shù)根及有實數(shù)根時兩個實數(shù)根的大小. 由復習引入，通過數(shù)學知識的內部發(fā)現(xiàn)問題。 二、知識探究： 師 思考一下如何解下面這個不等式：解關于x的不等式a(x-ab)＞b(x+ab). 例1解關于x的不等式x2-x-a(a-1)＞0. 生 原不等式可以化為(x+a-1)(x-a)＞0， 若a＞-(a-1),即a＞,則x＞a或a＜1-a.∴x∈(-∞,1-a)∪(a,+∞). 若a=-(a-1),即a=,則(x-1[]2)2＞0.∴x∈{x|x≠,x∈R}. 若a＜-(a-1),即a＜,則x＜a或x＞1-a.∴x∈(-∞,a)∪(1-a,+∞). 師 引申：解關于x的不等式(x-x 2+12)(x+a)＜0. 生 ①將二次項系數(shù)化“+”為(x2-x-12)(x+a)＞0. ②相應方程的根為-3，4，-a，現(xiàn)a的位置不定，應如何解？ ③討論： （?。┊?a＞4，即a＜-4時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下： ∴原不等式的解集為{x|-3＜x＜4或x＞-a}. （ⅱ）當-3＜-a＜4，即-4＜a＜3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下： ∴原不等式的解集為{x|-3＜x＜-a或x＞4}. （ⅲ）當-a＜-3，即a＞3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下： ∴原不等式的解集為{x|-a＜x＜-3或x＞4}. （ⅳ）當-a=4，即a=-4時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下： ∴原不等式的解集為{x|x＞-3}. (ⅴ)當-a=-3，即a=3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下： ∴原不等式的解集為{x|x＞4}. 變題：解關于x的不等式2x2+kx-k≤0. 師 此不等式為含參數(shù)k的不等式，當k值不同時相應的二次方程的判別式的值也不同，故應先從討論判別式入手. 生 將原不等式展開，整理得(a-b)x＞ab(a+b).討論：當a＞b時， ,∴x∈(,+∞).當a=b時，若a=b≥0時x∈；若a=b＜0時x∈R. 當a＜b時， ,∴x∈(-∞, ). 讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍.在教師的指導下，一方面讓學生經(jīng)歷從特殊到一般，從已知到未知，步步深入的過程，讓學生自己感受生活中的不等關系，體會數(shù)學化的過程。 生 Δ=k2+8k=k(k+8). (1)當Δ＞0,即k＜-8或k＞0時，方程2x2+kx-k=0有兩個不相等的實根. 所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是{x|};(2)當Δ=0，即k=-8或k=0時，方程2x2+kx-k=0有兩個相等的實根，所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是{}，即{0,2}； (3)當Δ＜0,即-8＜k＜0時，方程2x2+kx-k=0無實根，所以不等式2x2+kx-k≤0的解集為 培養(yǎng)學生分析，抽象能力、感受發(fā)現(xiàn)和推導過程。 培養(yǎng)學生善于聯(lián)想，體會知識間的內在聯(lián)系，從而加深對等差數(shù)列及其性質的理解。 三、典例分析： 【例1】 關于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|x＜-2或x＞}，求關于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集. 師由題設a＜0且，，從而ax2-bx+c＞0可以變形為，即x2-x+1＜0.∴＜x＜2.∴原不等式的解集為{x|＜x＜2}. 引申：已知關于x的二次不等式ax 2+(a-1)x+a-1＜0的解集為R，求a的取值范圍. 師 原不等式的解集為R，即對一切實數(shù)x不等式都成立，故必然y=ax2+(a-1)x+a-1的圖象開口向下，且與x軸無交點，反映在數(shù)量關系上則有a＜0且Δ＜0. 生 由題意知，要使原不等式的解集為R，必須 即 ∴a的取值范圍是a∈(-∞,). 師 變題：若函數(shù)f(x)=kx2-6kx+(k+8)的定義域為R，求實數(shù)k的取值范圍. 顯然k=0時滿足.而k＜0時不滿足.∴k的取值范圍是 [0,1]. 練習：不等式ax2+bx+2＞0的解集為{x|-＜x＜}，求a、b.() ［教師精講］ 解含參數(shù)的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那么如何討論呢？首先，必須弄清楚它的解集與哪些因素有關.一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c＞0為例）常與以下因素有關：（1）a；（2）Δ；（3）兩根x 1,x 2的大小.其中系數(shù)a影響著解集最后的形式，Δ關系到不等式對應的方程是否有解，而兩根x1,x 2的大小關系到解集最后的次序；其次再根據(jù)具體情況，合理分類，確保不重不漏. ［合作探究］ 【例3】 若不等式對于x取任何實數(shù)均成立，求k的取值范圍. 生∵2x2-2(k-3)x+3-k＞0(∵4x 2+6x+3恒正)，∴原不等式對x取任何實數(shù)均成立，等價于不等式2x2-2(k-3)x+3-k＞0對x取任何實數(shù)均成立. ∴Δ= [-2(k-3)]2-8(3-k)＜0k 2-4k+3＜01＜k＜3.∴k的取值范圍是（1，3）. 【例4】 當m取什么實數(shù)時，方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0分別有:①兩個實根；②一正根和一負根；③正根絕對值大于負根絕對值；④兩根都大于1. 師 說明：解這類題要充分利用判別式和韋達定理. 引導學生共同分析解決問題，熟悉并強化理解。 師 本題若無“二次不等式”的條件，還應考慮a=0的情況，但對本題講a=0時式子不恒成立.（想想為什么） 師 逆向思維題目，告訴解集反求參數(shù)范圍，即確定原不等式，待定系數(shù)法的一部分. 4解：設方程 4x2+(m-2)x+(m-5)=0的兩根為x 1，x2.①若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有兩個正根，則需滿足： m∈.∴此時m的取值范圍是，即原方程不可能有兩個正根.②若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一負根，則需滿足： m＜5.∴此時m的取值范圍是(-∞,5). ③若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根絕對值大于負根絕對值，則需滿足： m＜2.∴此時m的取值范圍是(-∞,2). ④若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的兩根都大于1，則需滿足： m∈.∴此時m的取值范圍是，即原方程不可能兩根都大于1. 課堂練習 練習　解不等式：mx 2-2x+1＞0. 師 本題對解集的影響因素較多，若處理不當，不僅要分級討論，而且極易漏解或重復.較好的解決方法是整體考慮，分區(qū)間討論，方為上策.顯然本題首先要討論m與0的大小，又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要討論m與1的大小.我們將0與1分別標在數(shù)軸上，將區(qū)間進行劃分，這樣就可以保證不重不漏. 解：∵Δ=4-4m=4(1-m), ∴當m＜0時,Δ＞0,此時. ∴解集為 { }. 當m＝0時，方程為-2x+1＞0,解集為{x|x＜},當0＜m＜1時,Δ＞0，此時, ∴解集為 {}.當m＝1時,不等式為(x-1)2＞0, ∴其解集為{x|x≠1}; 當m＞1時,此時Δ＜0,故其解集為R. 師 小結：在以上的討論中，請不要漏掉在端點的解集的情況. 對應的一元二次方程有實數(shù)根1-a和a,不等式中二次項的系數(shù)為正，所以要寫出它的解集需要對兩根的大小進行討論. （1）當最高次項系數(shù)含有字母時，首先需討論該系數(shù)是否為零. （2）整合結論時，對所討論的對象按一定的順序進行整理，做到不重不漏. 總之，解含參數(shù)的一元二次不等式，大家首先要克服畏懼心理，冷靜分析，掌握好解題技巧，恰當分類，必然能解答好. 練習： 1.關于x的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有兩個不等的實根，則m的取值范圍是……（　?。? A. (,+∞)　　　　B.(-∞, ) C. [，+∞） D.( ,0)∪(0,+∞) 提示：由m≠0且Δ＞0，得m＜，∴選D. 答案：D 2.若不等式ax 2+5x+b＞0的解集為{x|＜x＜}，則a、b的值分別是__________. 3.若方程x 2-(k+2)x+4=0有兩負根，求k的取值范圍. 師 變式引申：已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有兩個負實根，求實數(shù)k的取值范圍. 師 解：要原方程有兩個負實根，必須 -2＜k＜-1或＜k＜1.k＞2[]3或k＜-1 ∴實數(shù)k的取值范圍是{k|-2＜k＜-1或＜k＜1}. 練習：已知不等式(a 2-1)x2-(a-1)x-1＜0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍. 生 若a 2-1=0，即a=1或a=-1時，原不等式的解集為R和{x|x＜}； 若a2-1≠0，即a≠1時，要使原不等式的解集為R， 必須-＜a＜1. ∴實數(shù)a的取值范圍是(,1)∪{1}=(,1］.  學生分組討論自主探究，教師巡視指導，作出評價。 2.提示：由 答案：-6，-1 3.提示： k≤-6. 通過講解強化訓練題目,加深對分式不等式及簡單高次不等式解法的理解,提高分析問題和解決問題的能力.針對不同類型的不等式,使學生能靈活有效地進行等價變形. 上述過程以學生自主探究為主，教師起引導作用，充分體現(xiàn)學生的主體作用，新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設的作用，激起學生學習的興趣、勇于探索的精神. 引導學生通過自主分析思考、合作交流解決問題，培養(yǎng)良好的學習習慣和能力。 五、課堂小結： . 1.本節(jié)我們利用一元二次不等式及有關知識解決了一些簡單的問題，這類問題常見的有：不等式恒成立的條件；已知一元二次不等式的解集，求二次三項式的系數(shù)；討論一元二次方程根的簡單情況等. 2.分類討論的步驟一般可分為以下幾步： （1）確定討論的對象及其范圍； （2）確定分類討論的標準，正確進行分類； （3）逐類討論，分級進行； （4）歸納整合，作出結論. 3.對于解含有字母參數(shù)不等式時，著重考慮最高次項系數(shù)的符號及系數(shù)為0時的情況，以及該不等式對應方程的根的大小情況. 4.在分類過程中要注意按照一個統(tǒng)一的標準，一定的順序進行討論，做到不重復不遺漏.考慮問題要周到縝密，特別是對于一些特殊情況要考慮慎重，養(yǎng)成嚴謹?shù)膶W習態(tài)度和思想作風. 引導學生學會自己總結，讓學生進一步體會知識的形成、發(fā)展、完善的過程. 課后作業(yè) 布置作業(yè) （1）已知不等式x2+5x+m＞0的解集為{x|x＜-7或x＞2}，求實數(shù)m的值.(答案：m=-14) （2）已知關于x的二次不等式px 2+px-4＜0對任意實數(shù)x都成立，求實數(shù)p的范圍.(由p＜0且Δ＜0，得p∈{p|-16＜p＜0}) (3)若y=ax 2+bx+c經(jīng)過(0，-6)點，且當-3≤x≤1時，y≤0，求實數(shù)a,b,c的值.（答案：a=2,b=4,c=-6） (4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有兩個負實根，求實數(shù)k的取值范圍. 實數(shù)k的取值范圍是{k|-2＜k＜-1或＜k＜1}. 學生課后完成. 進一步對所學知識鞏固深化。 （課本第90頁習題3.2）習題詳解 A組 1.(1)解：整理化簡得4x 2-4x-15＞0.因為Δ＞0，方程3x2-15x+12=0的解是,，所以不等式的解集是{x|x＜或x＞}. (2)解：整理化簡得4x2-13＜0.因為Δ＞0，方程4x2-13=0的解是,，所以不等式的解集是{x|＜x＜2}. (3)解：整理化簡得x2-3x-10＞0.因為Δ＞0，方程x 2-3x-10=0的解是x1=-2,x2=5，所以不等式的解集是{x|x＜-2或x＞5}. (4)解：整理化簡得x2-9x＜0.因為Δ＞0，方程x2-9x=0的解是x 1=0,x2=9，所以不等式的解集是{x|0＜x＜9}. 2.(1)解x2-4x+9≥0，因為Δ=-20＜0,方程x2-4x+9=0無實數(shù)根，所以不等式的解集是R.所以y=x2-4x+9的定義域是R. (2)解-2x2+12x-18≥0，即(x-3)2≤0，所以x=3.所以y=-2x2+12x-18的定義域是{x|x=3}. 3.{m|m＜-3-22或m＞-3+22}. 4.R. 5.解：設能夠在2米以上的位置最多停留t秒. 依題意，，即12t-4.9t2＞2.這里t＞0，所以最大為2（精確到秒）. 答：能夠在2米以上的位置最多停留2秒. 6.解：設每盞臺燈售價x元，則, 即15≤x＜20 (2-1),，所以售價滿足15≤x＜20. 第91頁　習題3.2B組第4題 解：設風暴中心坐標為（a,b）,則a=3002，所以（3002）2+b2＜450,即-150＜b＜150,而 (2-1), ,所以經(jīng)過 (2-1)小時碼頭將受到風暴的影響，影響時間為15小時. B組 1.(1)4x 2-20x＜25解集為. (2)(x-3)(x-7)＜0解集為{x|-3＜x＜7}. (3)-3x2+5x-4＞0解集為. (4)x(1-x)＞x(2x-3)+1解集為{x|＜x＜1}. 2.由Δ=(1-m)2-4m2＜0，整理得3m2+2m-1＞0,因為方程3m2+2m-1=0有兩個實數(shù)根-1和，所以m1＜-1或m2＞，m的取值范圍是{m|m＜-1或m＞}. 3.使函數(shù)f(x)= x2-3x-的值大于0的解集為{x|x＜3-或x＞3+}. 4.略. 備課資料 備用習題 1.解關于x的不等式（并將解按a的值進行分類）x2-(a+a2)x+a3＞0（a∈R）. 解：化為(x-a2)(x-a)＞0（在數(shù)軸上，不等式的解應在兩根a、a2之外，但a、a2誰大？需要討論），比較a與a2的大?。篴2-a=a(a-1)根為0、1，將數(shù)軸分成三段. ∴當a＜0時，a＜a2，解得x＜a或x＞a2,∴原不等式的解集為（-∞,a）∪(a2,+∞); 當a=0時，a2=a，解得x≠0,∴原不等式的解集為（-∞,0）∪(0,+∞); 當0＜a＜1時，a2＜a,解得x＜a2或x＞a,∴原不等式的解集為(-∞,a2)∪(a,+∞); 當a=1時，a2=a，解得x≠1,∴原不等式的解集為(-∞,1)∪(1,+∞); 當a＞1時，a2＞a,解得x＜a或x＞a2,∴原不等式的解集為(-∞,a)∪(a2,+∞). 2.關于x的不等式x2-ax+a＞x的解集為A，B=(,)，求：A∩B. 分析：先求解集A，再求A∩B.原不等式可化為x2-(a+1)x+a＞0,上式等價于(x-1)(x-a)＞0.求A時，需考慮a與1的大小關系，求A∩B時，還要考慮a與,2的大小. 3.若ax2-2x+a的值可取得一切正實數(shù)，求a的取值范圍. 分析：設f(x)=ax2-2x+a, 當a=0時，f(x)=-2x可取一切正實數(shù); 當a＞0時，∵f(x)可以取得所有正實數(shù)，∴拋物線與x軸必有公共點， ∴Δ≥0,得0＜a≤1. 當a＜0時，拋物線開口向下，f(x)無法取得一切正實數(shù),故0≤a≤1為所求.