2019-2020年人教版高中數(shù)學必修二教案：2-3-2 平面與平面垂直的判定.doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學必修二教案：2-3-2 平面與平面垂直的判定 項目 內(nèi)容 課題 2.3.2 平面與平面垂直的判定 （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 1.探究平面與平面垂直的判定定理，二面角的定義及應用，培養(yǎng)學生的歸納能力. 2.掌握平面與平面垂直的判定定理的應用，培養(yǎng)學生的空間想象能力. 3.引導學生總結求二面角的方法,培養(yǎng)學生歸納問題的能力. 教學重、 難點 教學重點:平面與平面垂直判定. 教學難點:平面與平面垂直判定和求二面角. 教學 準備 多媒體課件 教學過程 復習 兩平面的位置關系： （1）如果兩個平面沒有公共點，則兩平面平行若α∩β=,則α∥β. （2）如果兩個平面有一條公共直線，則兩平面相交若α∩β=AB,則α與β相交. 兩平面平行與相交的圖形表示如圖1. 圖1 導入新課 前邊舉過門和墻所在平面的關系，隨著門的開啟，其所在平面與墻所在平面的相交程度在變，怎樣描述這種變化呢？今天我們一起來探究兩個平面所成角問題. 提出問題 ①二面角的有關概念、畫法及表示方法. ②二面角的平面角的概念. ③兩個平面垂直的定義. ④用三種語言描述平面與平面垂直的判定定理，并給出證明. ⑤應用面面垂直的判定定理難點在哪里？ 討論結果：①二面角的有關概念. 二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面. 二面角常用直立式和平臥式兩種畫法：如圖2（教師和學生共同動手）. 直立式： 平臥式： (1) (2) 圖2 二面角的表示方法：如圖3中，棱為AB，面為α、β的二面角，記作二面角α-AB-β.有時為了方便也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作二面角P-AB-Q. 圖3 如果棱為l，則這個二面角記作αlβ或PlQ. ②二面角的平面角的概念. 如圖4,在二面角αlβ的棱上任取點O，以O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB組成∠AOB. 圖4 再取棱上另一點O′，在α和β內(nèi)分別作l的垂線O′A′和O′B′，則它們組成角∠A′O′B′. 因為OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的兩邊分別平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′. 從上述結論說明了：按照上述方法作出的角的大小，與角的頂點在棱上的位置無關. 由此結果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角. 圖中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角. ③直二面角的定義. 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 教室的墻面與地面，一個正方體中每相鄰的兩個面、課桌的側面與地面都是互相垂直的. 兩個平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線互相垂直的概念相類似，也是用它們所成的角為直角來定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角. 兩個平面互相垂直的定義可表述為： 如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個平面互相垂直. 直二面角的畫法：如圖5. 圖5 ④兩個平面垂直的判定定理. 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. 兩個平面垂直的判定定理符號表述為：α⊥β. 兩個平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖6. 圖6 證明如下： 已知AB⊥β，AB∩β=B，ABα. 求證：α⊥β. 分析：要證α⊥β,需證α和β構成的二面角是直二面角，而要證明一個二面角是直二面角，需找到其中一個平面角，并證明這個二面角的平面角是直角. 證明：設α∩β=CD，則由ABα,知AB、CD共面. ∵AB⊥β，CDβ,∴AB⊥CD，垂足為點B. 在平面β內(nèi)過點B作直線BE⊥CD, 則∠ABE是二面角αCDβ的平面角. 又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角, ∴α⊥β. ⑤應用面面垂直的判定定理難點在于：在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直. 應用示例 例1 如圖7,⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點. 圖7 求證：平面PAC⊥平面PBC. 證明：設⊙O所在平面為α,由已知條件，PA⊥α,BCα,∴PA⊥BC. ∵C為圓周上不同于A、B的任意一點,AB是⊙O的直徑, ∴BC⊥AC. 又∵PA與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線， ∴BC⊥平面PAC. ∵BC平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC. 變式訓練 如圖8，把等腰Rt△ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至△ABD的位置，使CD=AC， 圖8 （1）求證：平面ABD⊥平面ABC； （2）求二面角CBDA的余弦值. （1）證明：由題設,知AD=CD=BD, 作DO⊥平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC. ∴O是△ABC的外心，即AB的中點. ∴O∈AB，即O∈平面ABD. ∴OD平面ABD. ∴平面ABD⊥平面ABC. （2）解:取BD的中點E，連接CE、OE、OC, ∵△BCD為正三角形，∴CE⊥BD. 又△BOD為等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC為二面角CBDA的平面角. 同（1）可證OC⊥平面ABD. ∴OC⊥OE.∴△COE為直角三角形. 設BC=a，則CE=，OE=，∴cos∠OEC=. 點評：欲證面面垂直關鍵在于在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線. 例2 如圖9所示，河堤斜面與水平面所成二面角為60，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為30，沿這條直道從堤腳向上行走到10 m時人升高了多少？（精確到0.1 m） 圖9 解：取CD上一點E，設CE=10 m，過點E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長就是所求的高度. 在河堤斜面內(nèi)，作EF⊥AB，垂足為F，并連接FG, 則FG⊥AB,即∠EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成二面角的平面角, ∠EFG=60,由此,得EG=EFsin60=CEsin30sin60=10≈4.3（m）. 答：沿直道行走到10 m時人升高約4.3 m. 變式訓練 已知二面角αABβ等于45，CDα，D∈AB，∠CDB=45. 求CD與平面β所成的角. 解：如圖10，作CO⊥β交β于點O，連接DO，則∠CDO為DC與β所成的角. 圖10 過點O作OE⊥AB于E，連接CE，則CE⊥AB. ∴∠CEO為二面角αABβ的平面角， 即∠CEO=45.設CD=a,則CE=,∵CO⊥OE，OC=OE， ∴CO=.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=. ∴∠CDO=30,即DC與β成30角. 點評：二面角是本節(jié)的另一個重點，作二面角的平面角最常用的方法是：在一個半平面α內(nèi)找一點C，作另一個半平面β的垂線，垂足為O,然后通過垂足O作棱AB的垂線，垂足為E,連接AE,則∠CEO為二面角α-AB-β的平面角.這一過程要求學生熟記. 課堂小結 知識總結：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂線，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等. 思想方法總結：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關系轉(zhuǎn)化為線面關系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 作業(yè) 課本習題2.3 A組1、2、3. 板書設計 教學反思