備戰(zhàn)新課標(biāo)高考理科數(shù)學(xué)2020：“3＋1”保分大題強化練三 Word版含解析

保住基本分·才能得高分 “3＋1”保分大題強化練(三) 前3個大題和1個選考題不容有失 1．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)證明：∵an＋1＝，∴－＝－＝－＝＝－. 又a1＝1，∴＝－1，∴數(shù)列是以－1為首項，－為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知＝－1＋(n－1)＝－， ∴an＝2－＝， ∴bn＝＝＝＝1＋＝1＋， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝n＋ ＝n＋＝n＋， ∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝n＋. 2.如圖所示多面體ABCDEF，其底面ABCD為矩形，且AB＝2，BC＝2，四邊形BDEF為平行四邊形，點F在底面ABCD內(nèi)的投影恰好是BC的中點． (1)已知G為線段FC的中點，證明：BG∥平面AEF； (2)若二面角F­BD­C的大小為，求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值． 解：(1)證明：如圖，連接AC交BD于H，連接GH，則GH為△ACF的中位線， ∴GH∥AF. ∵GH?平面AEF，AF?平面AEF， ∴GH∥平面AEF. 又BD∥EF，BD?平面AEF，EF?平面AEF， ∴BD∥平面AEF. 連接DG，∵BD∩GH＝H，BD?平面BDG，GH?平面BDG，∴平面BDG∥平面AEF， ∵BG?平面BDG，∴BG∥平面AEF. (2)取BC的中點O，AD的中點M，連接OF，OM，則OF⊥平面ABCD，OM⊥BC，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC，OM，OF所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，B(－1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,2，0)，∴＝(2,2，0)．設(shè)OF＝a(a＞0)，則F(0,0，a)，∴＝(1,0，a)． 設(shè)平面BDEF的法向量為n1＝(x，y，z)， 由得 令x＝－a，得n1＝(－a，a，)． 易得平面ABCD的一個法向量為n2＝(0,0,1)． ∵二面角F­BD­C的大小為， ∴|cos〈n1，n2〉|＝＝＝， 解得a＝. 設(shè)直線AE與平面BDEF所成的角為θ， ∵＝＋＝＋＝(2,0,0)＋＝，且n1＝，∴sin θ＝|cos〈，n1〉|＝＝＝. 故直線AE與平面BDEF所成角的正弦值為. 3．2019年2月25日，第11屆羅馬尼亞數(shù)學(xué)大師賽(簡稱RMM)于羅馬尼亞首都布加勒斯特閉幕，最終成績揭曉，以色列選手排名第一，而中國隊無一人獲得金牌，最好成績是獲得銀牌的第15名，總成績排名第6.在分量極重的國際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)比賽中，過去拿冠軍拿到手軟的中國隊，已經(jīng)連續(xù)4年沒有拿到冠軍了．人們不禁要問“中國奧數(shù)究竟怎么了？”，一時間關(guān)于各級教育主管部門是否應(yīng)該下達“禁奧令”成為社會討論的熱點．某重點高中培優(yōu)班共50人，現(xiàn)就這50人對“禁奧令”的態(tài)度進行問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表： 不應(yīng)下“禁奧令” 應(yīng)下“禁奧令” 總計 男生 5 女生 10 總計 50 若按對“禁奧令”的態(tài)度采用分層抽樣的方法從50人中抽出10人進行重點調(diào)查，其中認(rèn)為不應(yīng)下“禁奧令”的同學(xué)共有6人． (1)請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為對下“禁奧令”的態(tài)度與性別有關(guān)？說明你的理由． (2)現(xiàn)從這10人中抽出2名男生、2名女生，記此4人中認(rèn)為不應(yīng)下“禁奧令”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 參考公式與數(shù)據(jù)：K2＝. P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 解：(1)設(shè)認(rèn)為不應(yīng)該下“禁奧令”的同學(xué)共有x人，則＝，解得x＝30，所以列聯(lián)表補充如下： 不應(yīng)下“禁奧令” 應(yīng)下“禁奧令” 總計 男生 20 5 25 女生 10 15 25 總計 30 20 50 所以K2＝≈8.333>6.635， 所以有99%的把握認(rèn)為對下“禁奧令”的態(tài)度與性別有關(guān)． (2)由題意，可知在這10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人認(rèn)為不應(yīng)下“禁奧令”，ξ的所有可能取值有1,2,3,4. P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.4. 選考系列(請在下面的兩題中任選一題作答) 4．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的傾斜角為30°，且經(jīng)過點A(2,1)．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l2：ρcos θ＝3.從坐標(biāo)原點O作射線交l2于點M，點N為射線OM上的點，滿足|OM|·|ON|＝12，記點N的軌跡為曲線C. (1)寫出直線l1的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l1與曲線C交于P，Q兩點，求|AP|·|AQ|的值． 解：(1)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))． 設(shè)N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)(ρ>0，ρ1>0)， 則又ρ1cos θ1＝3，所以ρ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x＝0(x≠0)． (2)設(shè)P，Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l1的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中， 得2＋2－4＝0， 即t2＋t－3＝0，Δ＝13>0， t1，t2為方程的兩個根，所以t1t2＝－3， 所以|AP|·|AQ|＝|t1t2|＝|－3|＝3. 5．[選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|. (1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M； (2)設(shè)a，b∈M，證明：f(ab)＞f(a)－f(－b)． 解：(1)由題意，|x＋1|<|2x＋1|－1， ①當(dāng)x≤－1時， 不等式可化為－x－1＜－2x－2， 解得x＜－1； ②當(dāng)－1＜x＜－時， 不等式可化為x＋1＜－2x－2， 此時不等式無解； ③當(dāng)x≥－時， 不等式可化為x＋1＜2x，解得x＞1. 綜上，M＝{x|x＜－1或x＞1}． (2)證明：因為f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|， 所以要證f(ab)＞f(a)－f(－b)， 只需證|ab＋1|＞|a＋b|， 即證|ab＋1|2＞|a＋b|2， 即證a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2， 即證a2b2－a2－b2＋1＞0， 即證(a2－1)(b2－1)＞0. 因為a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1， 所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．