2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 專(zhuān)題突破練（7）概率與其他知識(shí)的交匯 文（含解析）.docx

專(zhuān)題突破練(7)　概率與其他知識(shí)的交匯 一、選擇題 1．(2018太原五中測(cè)試)在區(qū)間[1，5]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)m，則方程4x2＋m2y2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由方程4x2＋m2y2＝1，即＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，得<，即m2<4，而1≤m≤5，則1≤m＜2，則所求概率為＝．故選B． 2．(2018湖南六校聯(lián)考)折紙已經(jīng)成為開(kāi)發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段，已知在折疊“愛(ài)心”活動(dòng)中，會(huì)產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　設(shè)AB＝2，則BG＝1，AG＝，故多邊形AEFGHID的面積S＝()22＋22＝12，由sin∠EAB＝cos∠GAB＝＝，所以S陰影部分＝AEABsin∠EAB＝2，故所求概率P＝＝．故選C． 3．(2018石家莊一模)函數(shù)f(x)＝2x(x<0)，其值域?yàn)镈，在區(qū)間(－1，2)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x(x<0)的值域?yàn)?0，1)，即D＝(0，1)，則在區(qū)間(－1，2)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，x∈D的概率P＝＝．故選B． 4．(2018廣東三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　將a記為橫坐標(biāo)，b記為縱坐標(biāo)，可知有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9個(gè)基本事件，而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件為其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根．因?yàn)閒′(x)＝x2＋2ax＋b2，滿(mǎn)足題中條件為Δ＝4a2－4b2>0，即a>b，所以滿(mǎn)足條件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6個(gè)基本事件，所以所求的概率為P＝＝．故選D． 5．(2018湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考二)已知實(shí)數(shù)a，b是利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，設(shè)事件A為“(a－1)2＋b2>”，則事件A發(fā)生的概率為(　　) A． B．1－ C． D．1－ 答案　B 解析　分別以a，b為橫軸和縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，則符合題意的實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)表示的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部，其中使得事件A不發(fā)生的實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)表示的平面區(qū)域?yàn)橐?1，0)為圓心，半徑為的四分之一個(gè)圓及其內(nèi)部，則事件A發(fā)生的概率為＝1－．故選B． 6．(2018江西重點(diǎn)中學(xué)盟校聯(lián)考一)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB區(qū)域中，M，N分別為OA，OB的中點(diǎn)，在M，N兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，其信號(hào)的覆蓋范圍分別為以O(shè)A，OB為直徑的圓，在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則能夠同時(shí)收到兩個(gè)基站信號(hào)的概率是(　　) A．1－ B．－ C．2－ D． 答案　B 解析　設(shè)以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)圓相交于點(diǎn)C，由題意，OA的中點(diǎn)是M，則∠CMO＝90，設(shè)扇形OAB的半徑為OA＝r，則S扇形OAB＝πr2，S半圓OAC＝πr2，S△OMC＝＝，所以能夠同時(shí)收到兩個(gè)基站信號(hào)部分的面積為2S半圓OAC－S△OMC＝－，所以所求概率為＝－．故選B． 7．(2018山西考前適應(yīng)訓(xùn)練)甲、乙二人約定7：10在某處會(huì)面，甲在7：00～7：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，乙在7：05～7：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　設(shè)甲、乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻分別是x，y，則取值范圍為對(duì)應(yīng)區(qū)域是以20和15為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形，其中甲至少需等待乙5分鐘滿(mǎn)足y－x≥5，對(duì)應(yīng)區(qū)域是以15為直角邊的等腰直角三角形(如圖中陰影部分(含邊界)所示)，則所求概率為＝．故選C． 二、填空題 8．(2019成都模擬)甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中成績(jī)的莖葉圖如圖所示，其中一個(gè)數(shù)字被污損，記甲、乙的平均成績(jī)分別為甲，乙，則甲>乙的概率是________． 答案　 解析　乙的綜合測(cè)評(píng)成績(jī)?yōu)?6，87，91，92，94，乙＝＝90，污損處可取數(shù)字0，1，2，…，9，共10種，而甲>乙發(fā)生對(duì)應(yīng)的數(shù)字有6，7，8，9，共4種，故甲>乙的概率為＝． 9．(2018安徽聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使l1：x＋ay＝3，l2：bx＋6y＝3平行的概率為P1，不平行的概率為P2，若點(diǎn)(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案?。?lt;m< 解析　由l1∥l2得ab＝6且a≠6，b≠1，滿(mǎn)足條件的(a，b)為(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有66＝36種，∴P1＝，P2＝，∴2＋2<，解得－<m<． 10．(2018福州畢業(yè)質(zhì)檢)如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60，以該菱形的4個(gè)頂點(diǎn)為圓心的扇形的半徑都為1．若在菱形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率是________． 答案　 解析　由題可知四個(gè)扇形的面積之和剛好為半徑為1的圓的面積，此時(shí)黑色部分的面積即為菱形面積減去半徑為1的圓的面積，從而所求概率為 P＝＝． 三、解答題 11．(2018湖北八市聯(lián)考)我們經(jīng)常聽(tīng)到這種說(shuō)法：“如果數(shù)學(xué)學(xué)得好，物理就沒(méi)有什么大的問(wèn)題了”，為了驗(yàn)證這句話(huà)的科學(xué)性，某班甲、乙兩位同學(xué)根據(jù)高中所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，用兩種不同的方案對(duì)班上學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)和分析，請(qǐng)補(bǔ)充完成他們的工作． (1)甲調(diào)查了班上6名同學(xué)某次考試的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)，得到下面的表格： 1 2 3 4 5 6 數(shù)學(xué)成績(jī)x 130 120 109 95 90 80 物理成績(jī)y 91 85 76 68 63 55 甲通過(guò)畫(huà)出散點(diǎn)圖和計(jì)算相關(guān)系數(shù)發(fā)現(xiàn)，y與x有一定的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，并設(shè)回歸直線(xiàn)方程為＝x＋，且根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得＝0．714，求出的值；若從參與調(diào)查數(shù)學(xué)成績(jī)不低于90分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名，則他們的物理成績(jī)均超過(guò)70分的概率為多少？ (2)乙同學(xué)統(tǒng)計(jì)全班60名學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)情況，了解到班上數(shù)學(xué)成績(jī)好的同學(xué)有36人，物理成績(jī)好的有30人，數(shù)學(xué)和物理都好的有24人，填寫(xiě)下列22列聯(lián)表，并判斷有沒(méi)有99%的把握認(rèn)為物理成績(jī)的好與不好和數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān)？ 物理成績(jī)好 物理成績(jī)不好 總計(jì) 數(shù)學(xué)成績(jī)好 　 　 　 數(shù)學(xué)成績(jī)不好 　 　 　 總計(jì) 　 　 　 附：K2＝(n＝a＋b＋c＋d)． P(K2≥k0) 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001 k0 3．841 5．034 6．635 7．879 10．828 解　(1)通過(guò)計(jì)算易得＝104，＝73，回歸直線(xiàn)＝x＋一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，)，又＝0．714，代入可得＝－1．256； 記參與調(diào)查的6名同學(xué)中5名數(shù)學(xué)成績(jī)不低于90分的同學(xué)從左到右依次為a，b，c，d，e，從中隨機(jī)抽取2名有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10種情況，而同時(shí)物理成績(jī)均超過(guò)70分的有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種情況，故所求概率為． (2)填寫(xiě)22列聯(lián)表如下： 物理成績(jī)好 物理成績(jī)不好 總計(jì) 數(shù)學(xué)成績(jī)好 24 12 36 數(shù)學(xué)成績(jī)不好 6 18 24 總計(jì) 30 30 60 由公式可得K2＝＝10>6．635， 故有99%的把握認(rèn)為物理成績(jī)的好與不好和數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān)． 12．(2018湖南雅禮中學(xué)月考八)隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車(chē)應(yīng)運(yùn)而生．某市場(chǎng)研究人員為了了解共享單車(chē)運(yùn)營(yíng)公司M的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的折線(xiàn)圖． (1)由折線(xiàn)圖可以看出，可用線(xiàn)性回歸模型擬合月度市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系．求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)M公司2018年4月份的市場(chǎng)占有率； (2)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，公司擬再采購(gòu)一批單車(chē)．現(xiàn)有采購(gòu)成本分別為1000元/輛和1200元/輛的A，B兩款車(chē)型可供選擇，按規(guī)定每輛單車(chē)最多使用4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會(huì)導(dǎo)致車(chē)輛報(bào)廢年限各不相同．考慮到公司運(yùn)營(yíng)的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對(duì)兩款車(chē)型的單車(chē)各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩款單車(chē)使用壽命頻數(shù)表如下： 報(bào)廢年限車(chē)型 1年 2年 3年 4年 總計(jì) A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 經(jīng)測(cè)算，平均每輛單車(chē)每年可以帶來(lái)收入500元．不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車(chē)的使用壽命都是整數(shù)年，且以頻率作為每輛單車(chē)使用壽命的概率．如果你是M公司的負(fù)責(zé)人，以每輛單車(chē)產(chǎn)生利潤(rùn)的均值為決策依據(jù)，你會(huì)選擇采購(gòu)哪款車(chē)型？ 參考數(shù)據(jù)： (xi－)(yi－)＝35， (xi－)2＝17．5． 參考公式：回歸直線(xiàn)方程為＝x＋， 其中＝，＝－． 解　(1)由題意，＝3．5，＝16，＝＝2， ＝－＝16－23．5＝9， ∴＝2x＋9， 當(dāng)x＝7時(shí)，＝27＋9＝23， 即預(yù)測(cè)M公司2018年4月份(即x＝7時(shí))的市場(chǎng)占有率為23%． (2)由頻率估計(jì)概率，每輛A款車(chē)可使用1年、2年、3年、4年的概率分別為0．2，0．35，0．35，0．1． ∴每輛A款車(chē)的利潤(rùn)均值為(500－1000)0．2＋(1000－1000)0．35＋(1500－1000)0．35＋(2000－1000)0．1＝175(元)； 每輛B款車(chē)可使用1年、2年、3年、4年的概率分別為0．1，0．3，0．4，0．2， ∴每輛B款車(chē)的利潤(rùn)均值為(500－1200)0．1＋(1000－1200)0．3＋(1500－1200)0．4＋(2000－1200)0．2＝150(元)， ∵175>150，∴應(yīng)該采購(gòu)A款車(chē)．  ?? 函數(shù)與方程思想專(zhuān)練 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．橢圓＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1作垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓相交，其一交點(diǎn)為P，則|PF2|＝(　　) A． B． C． D．4 答案　C 解析　如圖，令|F1P|＝r1， |F2P|＝r2， 那么??r2＝．故選C． 2．(2018湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　依題意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1個(gè)解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1解，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－．故選C． 3．設(shè)a>1，若對(duì)于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]滿(mǎn)足方程logax＋logay＝3，這時(shí)a的取值的集合為(　　) A．{a|1<a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|2≤a≤3} D．{2，3} 答案　B 解析　依題意得y＝，當(dāng)x∈[a，2a]時(shí)，y＝∈a2，a2?[a，a2]，因此有a2≥a，又a>1，由此解得a≥2．故選B． 4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有(　　) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 答案　B 解析　原不等式可變形為2x－5－x≤2－y－5y．即2x－x≤2－y－－y．故設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－x，f(x)為增函數(shù)，所以x≤－y，即x＋y≤0．故選B． 5．為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求∠ACB＝60，BC的長(zhǎng)度大于1米，且AC比AB長(zhǎng)0．5米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為(　　) A．1＋米 B．2米 C．(1＋) 米 D．(2＋) 米 答案　D 解析　由題意，設(shè)BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，則AB＝AC－0．5＝(t－0．5)米，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos60，即(t－0．5)2＝t2＋x2－tx，化簡(jiǎn)并整理得t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，因x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋時(shí)取等號(hào)，此時(shí)t取最小值2＋．故選D． 二、填空題 6．設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足S5S6＋15＝0，則d的取值范圍是________． 答案　(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析　由S5S6＋15＝0得(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0，∴Δ＝81d2－8(10d2＋1)≥0，解得d≤－2或d≥2． 7．若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，使得等式x3e－ay3＝0成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)_______． 答案　 解析　由題意知a＝，設(shè)＝t(t>0)，則令f(t)＝，則f′(t)＝，當(dāng)t>3時(shí)，f′(t)>0，當(dāng)0<t<3時(shí)，f′(t)<0，所以f(t)min＝f(3)＝，則a≥，即amin＝． 8．滿(mǎn)足條件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面積的最大值是________． 答案　2 解析　可設(shè)BC＝x，則AC＝x，根據(jù)面積公式得S△ABC＝x，由余弦定理計(jì)算得cosB＝，代入上式得S△ABC＝x＝．由得2－2<x<2＋2．故當(dāng)x＝2時(shí)，S△ABC最大值為2． 三、解答題 9．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，AD平分∠BAC，AB＝6，AD＝3，AC＝4． (1)利用正弦定理證明：＝； (2)求BC的長(zhǎng)． 解　(1)證明：由正弦定理知，在△ABD中， ＝，① 在△ADC中，＝，② 由∠ADB＋∠ADC＝π，∠BAD＝∠DAC， 得sin∠ADB＝sin∠ADC，sin∠BAD＝sin∠DAC， ①②得＝． (2)由(1)知＝＝，設(shè)BD＝3x，DC＝2x(x>0)， 則BC＝5x，由cos∠BDA＋cos∠ADC＝0知 ＋＝0， 解得x＝1，所以BC＝5． 10．已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝20，且a1，a3，a7成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則 即 又因?yàn)閐≠0，所以所以an＝n＋1． (2)因?yàn)椋剑剑? 所以Tn＝－＋－＋…＋－ ＝－＝． 因?yàn)榇嬖趎∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立， 所以存在n∈N*，使得－λ(n＋2)≥0成立， 即存在n∈N*，使λ≤成立． 又＝， 且≤(當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)取等號(hào))， 所以λ≤．即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是－∞，． 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x＋(a為常數(shù))． (1)若曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)與x軸平行，求實(shí)數(shù)a的值； (2)若函數(shù)f(x)在(e，＋∞)內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，1)∪(1，＋∞)， 由f(x)＝ln x＋得f′(x)＝－，由于曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)與x軸平行，所以f′(2)＝0，即－＝0，所以a＝． (2)因?yàn)閒′(x)＝－＝， 若函數(shù)f(x)在(e，＋∞)內(nèi)有極值，則函數(shù)y＝f′(x)在(e，＋∞)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn)， 令φ(x)＝x2－(2＋a)x＋1． 設(shè)x2－(2＋a)x＋1＝(x－α)(x－β)，可知αβ＝1， 不妨設(shè)β>α，則α∈(0，1)，β∈(1，＋∞)， 若函數(shù)y＝f′(x)在(e，＋∞)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn)， 即y＝φ(x)在(e，＋∞)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn)，所以β>e， 又φ(0)＝1>0，所以φ(e)＝e2－(2＋a)e＋1<0， 解得a>e＋－2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是e＋－2，＋∞． 12．(2018河南聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(－1，0)的距離與它到直線(xiàn)x＝－2的距離之比是常數(shù)，記M的軌跡為T(mén)． (1)求軌跡T的方程； (2)過(guò)點(diǎn)F且不與x軸重合的直線(xiàn)m與軌跡T交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)P，在軌跡T上是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形APBQ為菱形？若存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)設(shè)M(x，y)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(－1，0)的距離與它到直線(xiàn)x＝－2的距離之比是常數(shù)， 得＝，整理得＋y2＝1， ∴軌跡T的方程為＋y2＝1． (2)假設(shè)存在直線(xiàn)m，設(shè)直線(xiàn)m的方程為x＝ky－1， 由消去x，得(k2＋2)y2－2ky－1＝0． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝， ∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為． ∵PQ⊥AB， ∴直線(xiàn)PQ的方程為y－＝－k， 令y＝0，解得x＝－，即P． 設(shè)Q(x0，y0)，∵P，Q關(guān)于點(diǎn)H對(duì)稱(chēng)， ∴＝，＝(y0＋0)， 解得x0＝，y0＝，即Q． ∵點(diǎn)Q在橢圓上，∴2＋22＝2， 解得k2＝ 于是＝，即＝， ∴直線(xiàn)m的方程為y＝x＋或y＝－x－．