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專(zhuān)題突破練(7) 概率與其他知識(shí)的交匯
一、選擇題
1.(2018太原五中測(cè)試)在區(qū)間[1,5]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)m,則方程4x2+m2y2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由方程4x2+m2y2=1,即+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,得<,即m2<4,而1≤m≤5,則1≤m<2,則所求概率為=.故選B.
2.(2018湖南六校聯(lián)考)折紙已經(jīng)成為開(kāi)發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段,已知在折疊“愛(ài)心”活動(dòng)中,會(huì)產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形,其中四邊形ABCD為正方形,G為線段BC的中點(diǎn),四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形,連接EB,CI,則向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 設(shè)AB=2,則BG=1,AG=,故多邊形AEFGHID的面積S=()22+22=12,由sin∠EAB=cos∠GAB==,所以S陰影部分=AEABsin∠EAB=2,故所求概率P==.故選C.
3.(2018石家莊一模)函數(shù)f(x)=2x(x<0),其值域?yàn)镈,在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x(x<0)的值域?yàn)?0,1),即D=(0,1),則在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,x∈D的概率P==.故選B.
4.(2018廣東三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 將a記為橫坐標(biāo),b記為縱坐標(biāo),可知有(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),共9個(gè)基本事件,而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件為其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根.因?yàn)閒′(x)=x2+2ax+b2,滿(mǎn)足題中條件為Δ=4a2-4b2>0,即a>b,所以滿(mǎn)足條件的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共6個(gè)基本事件,所以所求的概率為P==.故選D.
5.(2018湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考二)已知實(shí)數(shù)a,b是利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù),設(shè)事件A為“(a-1)2+b2>”,則事件A發(fā)生的概率為( )
A. B.1- C. D.1-
答案 B
解析 分別以a,b為橫軸和縱軸建立平面直角坐標(biāo)系,則符合題意的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)表示的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部,其中使得事件A不發(fā)生的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)表示的平面區(qū)域?yàn)橐?1,0)為圓心,半徑為的四分之一個(gè)圓及其內(nèi)部,則事件A發(fā)生的概率為=1-.故選B.
6.(2018江西重點(diǎn)中學(xué)盟校聯(lián)考一)如圖,在圓心角為直角的扇形OAB區(qū)域中,M,N分別為OA,OB的中點(diǎn),在M,N兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站,其信號(hào)的覆蓋范圍分別為以O(shè)A,OB為直徑的圓,在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則能夠同時(shí)收到兩個(gè)基站信號(hào)的概率是( )
A.1- B.-
C.2- D.
答案 B
解析 設(shè)以O(shè)A,OB為直徑的兩個(gè)圓相交于點(diǎn)C,由題意,OA的中點(diǎn)是M,則∠CMO=90,設(shè)扇形OAB的半徑為OA=r,則S扇形OAB=πr2,S半圓OAC=πr2,S△OMC==,所以能夠同時(shí)收到兩個(gè)基站信號(hào)部分的面積為2S半圓OAC-S△OMC=-,所以所求概率為=-.故選B.
7.(2018山西考前適應(yīng)訓(xùn)練)甲、乙二人約定7:10在某處會(huì)面,甲在7:00~7:20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá),乙在7:05~7:20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá),則甲至少需等待乙5分鐘的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 設(shè)甲、乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻分別是x,y,則取值范圍為對(duì)應(yīng)區(qū)域是以20和15為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形,其中甲至少需等待乙5分鐘滿(mǎn)足y-x≥5,對(duì)應(yīng)區(qū)域是以15為直角邊的等腰直角三角形(如圖中陰影部分(含邊界)所示),則所求概率為=.故選C.
二、填空題
8.(2019成都模擬)甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中成績(jī)的莖葉圖如圖所示,其中一個(gè)數(shù)字被污損,記甲、乙的平均成績(jī)分別為甲,乙,則甲>乙的概率是________.
答案
解析 乙的綜合測(cè)評(píng)成績(jī)?yōu)?6,87,91,92,94,乙==90,污損處可取數(shù)字0,1,2,…,9,共10種,而甲>乙發(fā)生對(duì)應(yīng)的數(shù)字有6,7,8,9,共4種,故甲>乙的概率為=.
9.(2018安徽聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次,第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b,設(shè)任意投擲兩次使l1:x+ay=3,l2:bx+6y=3平行的概率為P1,不平行的概率為P2,若點(diǎn)(P1,P2)在圓(x-m)2+y2=的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
答案 -
6.635,
故有99%的把握認(rèn)為物理成績(jī)的好與不好和數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān).
12.(2018湖南雅禮中學(xué)月考八)隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展,基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車(chē)應(yīng)運(yùn)而生.某市場(chǎng)研究人員為了了解共享單車(chē)運(yùn)營(yíng)公司M的經(jīng)營(yíng)狀況,對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了相應(yīng)的折線圖.
(1)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月度市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系.求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)M公司2018年4月份的市場(chǎng)占有率;
(2)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng),公司擬再采購(gòu)一批單車(chē).現(xiàn)有采購(gòu)成本分別為1000元/輛和1200元/輛的A,B兩款車(chē)型可供選擇,按規(guī)定每輛單車(chē)最多使用4年,但由于多種原因(如騎行頻率等)會(huì)導(dǎo)致車(chē)輛報(bào)廢年限各不相同.考慮到公司運(yùn)營(yíng)的經(jīng)濟(jì)效益,該公司決定先對(duì)兩款車(chē)型的單車(chē)各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試,得到兩款單車(chē)使用壽命頻數(shù)表如下:
報(bào)廢年限車(chē)型
1年
2年
3年
4年
總計(jì)
A
20
35
35
10
100
B
10
30
40
20
100
經(jīng)測(cè)算,平均每輛單車(chē)每年可以帶來(lái)收入500元.不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本,假設(shè)每輛單車(chē)的使用壽命都是整數(shù)年,且以頻率作為每輛單車(chē)使用壽命的概率.如果你是M公司的負(fù)責(zé)人,以每輛單車(chē)產(chǎn)生利潤(rùn)的均值為決策依據(jù),你會(huì)選擇采購(gòu)哪款車(chē)型?
參考數(shù)據(jù): (xi-)(yi-)=35, (xi-)2=17.5.
參考公式:回歸直線方程為=x+,
其中=,=-.
解 (1)由題意,=3.5,=16,==2,
=-=16-23.5=9,
∴=2x+9,
當(dāng)x=7時(shí),=27+9=23,
即預(yù)測(cè)M公司2018年4月份(即x=7時(shí))的市場(chǎng)占有率為23%.
(2)由頻率估計(jì)概率,每輛A款車(chē)可使用1年、2年、3年、4年的概率分別為0.2,0.35,0.35,0.1.
∴每輛A款車(chē)的利潤(rùn)均值為(500-1000)0.2+(1000-1000)0.35+(1500-1000)0.35+(2000-1000)0.1=175(元);
每輛B款車(chē)可使用1年、2年、3年、4年的概率分別為0.1,0.3,0.4,0.2,
∴每輛B款車(chē)的利潤(rùn)均值為(500-1200)0.1+(1000-1200)0.3+(1500-1200)0.4+(2000-1200)0.2=150(元),
∵175>150,∴應(yīng)該采購(gòu)A款車(chē).
??
函數(shù)與方程思想專(zhuān)練
一、選擇題
1.橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,過(guò)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,其一交點(diǎn)為P,則|PF2|=( )
A. B. C. D.4
答案 C
解析 如圖,令|F1P|=r1,
|F2P|=r2,
那么??r2=.故選C.
2.(2018湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)λ的值是( )
A. B. C.- D.-
答案 C
解析 依題意,方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有1個(gè)解,故f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ)有1解,所以2x2+1=x-λ,即2x2-x+1+λ=0有唯一解,故Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.故選C.
3.設(shè)a>1,若對(duì)于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]滿(mǎn)足方程logax+logay=3,這時(shí)a的取值的集合為( )
A.{a|11,由此解得a≥2.故選B.
4.若2x+5y≤2-y+5-x,則有( )
A.x+y≥0 B.x+y≤0 C.x-y≤0 D.x-y≥0
答案 B
解析 原不等式可變形為2x-5-x≤2-y-5y.即2x-x≤2-y--y.故設(shè)函數(shù)f(x)=2x-x,f(x)為增函數(shù),所以x≤-y,即x+y≤0.故選B.
5.為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖,要求∠ACB=60,BC的長(zhǎng)度大于1米,且AC比AB長(zhǎng)0.5米,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為( )
A.1+米 B.2米
C.(1+) 米 D.(2+) 米
答案 D
解析 由題意,設(shè)BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,則AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化簡(jiǎn)并整理得t=(x>1),即t=x-1++2,因x>1,故t=x-1++2≥2+當(dāng)且僅當(dāng)x=1+時(shí)取等號(hào),此時(shí)t取最小值2+.故選D.
二、填空題
6.設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿(mǎn)足S5S6+15=0,則d的取值范圍是________.
答案 (-∞,-2]∪[2,+∞)
解析 由S5S6+15=0得(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a+9a1d+10d2+1=0,∴Δ=81d2-8(10d2+1)≥0,解得d≤-2或d≥2.
7.若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y,使得等式x3e-ay3=0成立,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)_______.
答案
解析 由題意知a=,設(shè)=t(t>0),則令f(t)=,則f′(t)=,當(dāng)t>3時(shí),f′(t)>0,當(dāng)00),
則BC=5x,由cos∠BDA+cos∠ADC=0知
+=0,
解得x=1,所以BC=5.
10.已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5=20,且a1,a3,a7成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且存在n∈N*,使得Tn-λan+1≥0成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則
即
又因?yàn)閐≠0,所以所以an=n+1.
(2)因?yàn)椋剑剑?
所以Tn=-+-+…+-
=-=.
因?yàn)榇嬖趎∈N*,使得Tn-λan+1≥0成立,
所以存在n∈N*,使得-λ(n+2)≥0成立,
即存在n∈N*,使λ≤成立.
又=,
且≤(當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào)),
所以λ≤.即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是-∞,.
11.設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+(a為常數(shù)).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線與x軸平行,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)f(x)在(e,+∞)內(nèi)有極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞),
由f(x)=ln x+得f′(x)=-,由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線與x軸平行,所以f′(2)=0,即-=0,所以a=.
(2)因?yàn)閒′(x)=-=,
若函數(shù)f(x)在(e,+∞)內(nèi)有極值,則函數(shù)y=f′(x)在(e,+∞)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn),
令φ(x)=x2-(2+a)x+1.
設(shè)x2-(2+a)x+1=(x-α)(x-β),可知αβ=1,
不妨設(shè)β>α,則α∈(0,1),β∈(1,+∞),
若函數(shù)y=f′(x)在(e,+∞)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn),
即y=φ(x)在(e,+∞)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn),所以β>e,
又φ(0)=1>0,所以φ(e)=e2-(2+a)e+1<0,
解得a>e+-2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是e+-2,+∞.
12.(2018河南聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(-1,0)的距離與它到直線x=-2的距離之比是常數(shù),記M的軌跡為T(mén).
(1)求軌跡T的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F且不與x軸重合的直線m與軌跡T交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P,在軌跡T上是否存在點(diǎn)Q,使得四邊形APBQ為菱形?若存在,請(qǐng)求出直線m的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)設(shè)M(x,y),根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(-1,0)的距離與它到直線x=-2的距離之比是常數(shù),
得=,整理得+y2=1,
∴軌跡T的方程為+y2=1.
(2)假設(shè)存在直線m,設(shè)直線m的方程為x=ky-1,
由消去x,得(k2+2)y2-2ky-1=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
y1+y2=,x1+x2=k(y1+y2)-2=,
∴線段AB的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為.
∵PQ⊥AB,
∴直線PQ的方程為y-=-k,
令y=0,解得x=-,即P.
設(shè)Q(x0,y0),∵P,Q關(guān)于點(diǎn)H對(duì)稱(chēng),
∴=,=(y0+0),
解得x0=,y0=,即Q.
∵點(diǎn)Q在橢圓上,∴2+22=2,
解得k2=
于是=,即=,
∴直線m的方程為y=x+或y=-x-.
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