新編高考數(shù)學(xué)理一輪資料包 第十五章 概 率
新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第十五章 概 率
第1講 隨機(jī)事件的概率
1.從6個(gè)男生、2個(gè)女生中任取3人,則下列事件中必然事件是( )
A.3個(gè)都是男生 B.至少有1個(gè)男生
C.3個(gè)都是女生 D.至少有1個(gè)女生
2.對(duì)某電視機(jī)廠生產(chǎn)的電視機(jī)進(jìn)行抽樣檢測(cè),數(shù)據(jù)如下:
抽取臺(tái)數(shù)
50
100
200
300
500
1000
優(yōu)等品數(shù)
47
92
192
285
478
954
則該廠生產(chǎn)的電視機(jī)是優(yōu)等品的概率約為( )
A.0.92 B.0.94 C.0.95 D.0.96
3.抽查10件產(chǎn)品,設(shè)事件A:至少有2件次品,則A的對(duì)立事件為( )
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至多有1件正品
4.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3,則下列說法正確的是( )
A.A+B與C是互斥事件,也是對(duì)立事件
B.B+C與D是互斥事件,也是對(duì)立事件
C.A+C與B+D是互斥事件,但不是對(duì)立事件
D.A與B+C+D是互斥事件,也是對(duì)立事件
5.(2011年廣東惠州調(diào)研)已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):
907 966 191 925 271
932 812 458 569 683
431 257 393 027 556
488 730 113 537 989
據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15
6.(2012年江蘇)現(xiàn)有10個(gè)數(shù),它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng),-3為公比的等比數(shù)列,若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),則它小于8的概率是________.
7.甲、乙二人下棋,甲獲勝的概率是50%,甲不輸?shù)母怕适?0%,則甲、乙二人下成和棋的概率為________.
8.一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球,3個(gè)綠玻璃球,從中無放回地任意抽取兩次,每次只取1個(gè),取得2個(gè)紅球的概率為,取得2個(gè)綠球的概率為,則取得2個(gè)同顏色的球的概率為________;至少取得1個(gè)紅球的概率為________.
9.由經(jīng)驗(yàn)得知:在中華商場(chǎng)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下表:
排隊(duì)人數(shù)
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.10
0.16
0.30
0.30
0.10
0.04
(1)求至少有1人排隊(duì)的概率;
(2)求至多有2人排隊(duì)的概率;
(3)求至少有2人排隊(duì)的概率.
10.某河流上的一座水力發(fā)電站,每年六月份的發(fā)電量Y(單位:萬千瓦時(shí))與該河上游在六月份的降雨量X(單位:毫米)有關(guān),據(jù)統(tǒng)計(jì),當(dāng)X=70時(shí),Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值為:140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.
(1)完成如下的頻率分布表:
近20年六月份降雨量頻率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
頻率
(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同,并將頻率視為概率,求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時(shí)或超過530萬千瓦時(shí)的概率.
第2講 古典概型與幾何概型
1.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球,則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是( )
A. B. C. D.
2.在區(qū)間[-2,3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則|x|≤1的概率為( )
A. B. C. D.
3.羊村村長(zhǎng)慢羊羊決定從喜羊羊、美羊羊、懶羊羊、暖羊羊、沸羊羊中選派兩只羊去割草,則喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為( )
A. B. C. D.
4.(2012年遼寧)在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC,CB的長(zhǎng),則該矩形面積小于32 cm2的概率為( )
A. B. C. D.
5.(2012年廣東江門模擬)從一個(gè)五棱錐的頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)(共6個(gè)點(diǎn))中隨機(jī)選取4個(gè)點(diǎn),這4個(gè)點(diǎn)共面的概率等于( )
A. B. C. D.
6.(2013年陜西)如圖K1521,在矩形區(qū)域ABCD的A, C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站, 假設(shè)其信號(hào)覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號(hào)來源, 基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn), 則該地點(diǎn)無信號(hào)的概率是( )
圖K1521
A.1- B.-1
C.2- D.
7.(2012屆廣東肇慶模擬)某車間在三天內(nèi),每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品,其中第一天、第二天分別生產(chǎn)出了1件、n件次品,而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進(jìn)行檢查,若發(fā)現(xiàn)有次品,則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過.則第一天通過檢查的概率是________________;若(1+2x)5的第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為5n,則第二天通過檢查的概率__________.
8.(2012屆廣東韶關(guān)調(diào)研改編)已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為________.
9.(2013年天津一模)某中學(xué)一、二、三年級(jí)分別有普法志愿者36人、72人、54人,用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)抽取一個(gè)樣本,已知樣本中三年級(jí)志愿者有3人.
(1)分別求出樣本中一、二年級(jí)志愿者的人數(shù);
(2)用Ai(i=1,2…)表示樣本中一年級(jí)的志愿者,ai(i=1,2,…)表示樣本中二年級(jí)的志愿者,現(xiàn)從樣本中一、二年級(jí)的所有志愿者中隨機(jī)抽取2人,①用以上志愿者的表示方法,用列舉法列出上述所有可能情況,②抽取的2人在同一年級(jí)的概率.
10.已知向量a=(2,1),b=(x,y).
(1)若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率;
(2)若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夾角是鈍角的概率.
第3講 離散型隨機(jī)變量及分布列
1.設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取值1,2,3,…,n,如果P(X≥4)=0.7,那么( )
A.n=3 B.n=4
C.n=10 D.n=9
2.隨機(jī)變量ξ的概率分布規(guī)律為P(ξ=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常數(shù),則P的值為( )
A. B.
C. D.
3.有n位同學(xué)參加某項(xiàng)選拔測(cè)試,每位同學(xué)能通過測(cè)試的概率是p(0<p<1).假設(shè)每位同學(xué)能否通過測(cè)試是相互獨(dú)立的,則至少有一位同學(xué)能通過測(cè)試的概率為( )
A.(1-p)n B.1-pn
C.pn D.1-(1-p)n
4.某一隨機(jī)變量ξ的概率分布如下表所示,且m+2n=1.2,則m-的值為( )
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
A.-0.2 B.0.2
C.0.1 D.-0.1
5.一袋中裝有大小相同,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8的8個(gè)球,從中有放回地每次取1個(gè)球,共取2次,則取得2個(gè)球的編號(hào)之和不小于15的概率為( )
A. B.
C. D.
6.在一次考試的5道題中,有3道理科題和2道文科題,如果不放回的依次抽取2道題,則在第一次抽到理科題的條件下,第二次抽到理科題的概率為________.
7.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
則ξ為奇數(shù)的概率為________.
8.某次知識(shí)競(jìng)賽的規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中,選手若能連續(xù)正確回答出2個(gè)問題,即停止答題,晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8,且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立,則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率等于______.
9.(2012年廣東深圳第二次調(diào)研)深圳市某校中學(xué)生籃球隊(duì)假期集訓(xùn),集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球,其中3個(gè)是新球(即沒有用過的球),3個(gè)是舊球(即至少用過一次的球).每次訓(xùn)練,都從中任意取出2個(gè)球,用完后放回.(1)設(shè)第一次訓(xùn)練時(shí)取到的新球個(gè)數(shù)為ξ,求ξ的分布列;
(2)求第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率.
10.(2012屆廣東云浮模擬)甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是和.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒有影響;每次射擊是否擊中目標(biāo),相互之間也沒有影響
(1)求甲射擊3次,至少1次未擊中目標(biāo)的概率;
(2)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),則停止射擊,問:乙恰好射擊4次后,被中止射擊的概率是多少?
(3)設(shè)甲連續(xù)射擊3次,用ξ表示甲擊中目標(biāo)的次數(shù),求ξ的分布列.
第4講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1.已知ξ的分布列為
ξ
-1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
則E(ξ)=( )
A.0 B.0.2 C.-1 D.-0.3
2.已知ξ的分布列為
ξ
-1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
則D(ξ)=( )
A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0
3.設(shè)投擲1顆骰子的點(diǎn)數(shù)為ξ,則( )
A.E(ξ)=,D(ξ)=
B.E(ξ)=,D(ξ)=
C.E(ξ)=,D(ξ)=
D.E(ξ)=,D(ξ)=
4.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1000粒,對(duì)于沒有發(fā)芽的種子,每粒需再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為( )
A.100 B.200 C.300 D.400
5.一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c[a,b,c∈(0,1)],已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計(jì)其它得分情況),則ab的最大值為( )
A. B. C. D.
6.馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表.請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望,盡管“!”處無法完全看清,且兩個(gè)“?”處字跡模糊,但能肯定這兩個(gè)“?”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小牛給出了正確答案E(ξ)=______________.
x
1
2
3
P(ξ=x)
?
!
?
7.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表,若E(X)=0,D(X)=1,則a=______,b=______.
X
-1
0
1
2
P
a
b
c
8.某學(xué)校要從演講初賽勝出的4名男生和2名女生中任選3人參加決賽.
(1)設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選的3個(gè)人中女生的人數(shù),則ξ的數(shù)學(xué)期望為________;
(2)所選出的3人中至少有1名女生的概率為________.
9.為了迎接新年的到來,某單位的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲,在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)紅球和5個(gè)白球,這些球除了顏色外完全相同.一次從中摸出2個(gè)球,并且規(guī)定:摸到2個(gè)白球中三等獎(jiǎng),能夠得到獎(jiǎng)金200元;摸到1個(gè)紅球,1個(gè)白球中二等獎(jiǎng),能夠得到獎(jiǎng)金600元;摸到2個(gè)紅球,中一等獎(jiǎng),能夠得到獎(jiǎng)金1000元.
(1)求某人參與摸獎(jiǎng)一次,至少得到600元獎(jiǎng)金的概率.
(2)假設(shè)某人參與摸獎(jiǎng)一次,所得的獎(jiǎng)金為ξ元,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
10.(2014年廣東廣州一模)甲、乙、丙三人參加某次招聘會(huì),假設(shè)甲能被聘用的概率是,甲、丙兩人同時(shí)不能被聘用的概率是,乙、丙兩人同時(shí)能被聘用的概率是,且三人各自能否被聘用相互獨(dú)立.
(1)求乙、丙兩人各自能被聘用的概率;
(2)設(shè)ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人數(shù)與不能被聘用的人數(shù)之差的絕對(duì)值,求ξ的分布列與均值(數(shù)學(xué)期望).
第5講 正態(tài)分布
1.(2013年廣東惠州一模)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),則a的值為( )
A. B. C.5 D.3
2.(2013年山東濰坊一模)設(shè)隨機(jī)變量X~N(3,1),若P(X>4)=p,則P(2<X<4)=( )
A.+p B.1-p
C.1-2p D.-p
3.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),P(ξ>3)=0.023,則P(-3≤ξ≤3)=( )
A.0.477 B.0.628
C.0.954 D.0.977
4.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ≤0)=( )
A.0.16 B.0.32
C.0.68 D,0.84
5.某區(qū)于2014年元月對(duì)全區(qū)高三理科1400名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)研抽測(cè),經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)5科總分ξ(0<ξ<750)大致服從正態(tài)分布N(450,1302),若ξ在(0,280)內(nèi)取值的概率為0.107,則該區(qū)1400名考生中總分為620分以上的學(xué)生大約有(結(jié)果四舍五入)( )
A.100人 B.125人
C.150人 D.200人
6.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則P(X≤μ)=________.
7.在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為______________.
8.(2012年新課標(biāo))某個(gè)部件由三個(gè)元件按圖K1551的方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位:小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1000,502),且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為________.
圖K1551
9.某磚瓦廠生產(chǎn)磚的“抗斷強(qiáng)度”ξ服從正態(tài)分布N(30,0.82).質(zhì)檢人員從該廠某天生產(chǎn)的1000塊磚中隨機(jī)地抽查1塊,測(cè)得它的抗斷強(qiáng)度為27.5公斤/厘米2,你認(rèn)為該廠這天生產(chǎn)的這批磚是否合格?
10.某年級(jí)的一次考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(70,102),如果規(guī)定低于60分為不及格,求:
(1)考試成績(jī)不及格的學(xué)生占多少?
(2)成績(jī)?cè)?0~90分之間的學(xué)生占多少?
第十五章 概 率
第1講 隨機(jī)事件的概率
1.B 2.C 3.B 4.D 5.B
6. 7.30% 8.
9.解:(1)至少有1人排隊(duì)的概率為p1=1-0.10=0.90.
(2)至多有2人排隊(duì)的概率p2=0.10+0.16+0.30=0.56.
(3)至少有2人排隊(duì)的概率p3=1-(0.10+0.16)=0.74.
10.解:(1)在所給數(shù)據(jù)中,降雨量為110毫米的有3個(gè),為140毫米的有4個(gè),為160毫米的有7個(gè),為200毫米的有3個(gè),為220毫米的有2個(gè),故近20年六月份降雨量頻率分布表:
降雨量
70
110
140
160
200
220
頻率
(2)P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時(shí)或超過530萬千瓦時(shí)”)
=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)
=++=,
故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時(shí)或超過530萬千瓦時(shí)的概率為.
第2講 古典概型與幾何概型
1.D 2.C 3.C 4.C
5.B 解析:從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取4個(gè)點(diǎn)共有C=15種選法,4個(gè)點(diǎn)共面的有C=5種選法,故4個(gè)點(diǎn)共面的概率等于=.
6.A 解析:∵扇形ADE的半徑為1,圓心角等于90°,
∴扇形ADE的面積為S1=×π×12=.
同理可得,扇形CBF的面積S2=.
又∵長(zhǎng)方形ABCD的面積S=2×1=2,
∴在該矩形區(qū)域隨機(jī)地選一地點(diǎn),則該地點(diǎn)無信號(hào)的概率是
p===1-.
7. 解析:∵隨意抽取4件產(chǎn)品檢查是隨機(jī)事件,而第一天有9件正品,第一天通過檢查的概率為p1==.由第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C=10=5n?n=2,故第二天通過檢查的概率為p1==.
8. 解析:通過畫圖可知,點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為=.
9.解:(1)依題意,分層抽樣的抽樣比為=.
∴在一年級(jí)抽取的人數(shù)為36×=2(人).
在二年級(jí)抽取的人數(shù)為72×=4(人).
所以一、二年級(jí)志愿者的人數(shù)分別為2人和4人.
(2)①用A1,A2表示樣本中一年級(jí)的2名志愿者,用a1,a2,a3,a4表示樣本中二年級(jí)的4名志愿者.
則抽取2人的情況為A1A2,A1a1,A1a2,A1a3,A1a4,A2a1,A2a2,A2a3,A2a4,a1a2,a1a3,a1a4,a2a3,a2a4,a3a4,共15種.
②抽取的2人在同一年級(jí)的情況是A1A2,a1a2,a1a3,a1a4,a2a3,a2a4,a3a4,共7種.
∵每一種情況發(fā)生的可能性都是等可能的,
∴抽取的2人是同一年級(jí)的概率為.
10.解:(1)設(shè)“a∥b”為事件A,由a∥b,得x=2y.基本事件有:(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1).共包含12個(gè)基本事件.其中A={(0,0),(2,1)},包含2個(gè)基本事件.故P(A)==.
(2)設(shè)“a,b的夾角是鈍角”為事件B,由a,b的夾角是鈍角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y.
Ω=,
B=,作出可行域,
可得P(B)===.
第3講 離散型隨機(jī)變量及分布列
1.C 2.D 3.D 4.B
5.D 解析:設(shè)編號(hào)之和為隨機(jī)變量X,則P(X=15)=×+×=,P(X=16)=×=,所以P(X≥15)=P(X=15)+P(X=16)=+=.
6. 解析:設(shè)第一次抽到理科題為事件A,第二次抽到理科題為事件B,則兩次都抽到理科題為事件A∩B,∴P(A)=,P(A∩B)=.∴P(B|A)==.
7.0.6 解析:p=0.1+0.4+0.1=0.6.
8.0.128 解析:由題意,知該選手恰好回答4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪,必有第二個(gè)問題答錯(cuò),第三、四個(gè)問題答對(duì),第一個(gè)問題可對(duì)可錯(cuò),則1×0.2×0.8×0.8=0.128.
9.解:(1)ξ的所有可能取值為0,1,2.
設(shè)“第一次訓(xùn)練時(shí)取到i個(gè)新球(即ξ=i)”為事件Ai(i=0,1,2).因?yàn)榧?xùn)前共有6個(gè)籃球,其中3個(gè)是新球,3個(gè)是舊球,所以
P(A0)=P(ξ=0)==,
P(A1)=P(ξ=1)==,
P(A2)=P(ξ=2)==.
所以ξ的分布列為:
ξ
0
1
2
P
(2)設(shè)“從6個(gè)球中任意取出2個(gè)球,恰好取到1個(gè)新球”為事件B.
則“第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到1個(gè)新球”就是事件A0B+A1B+A2B.而事件A0B,A1B,A2B互斥.
所以P(A0B+A1B+A2B)=P(A0B)+P(A1B)+P(A2B).
由條件概率公式,得
P(A0B)=P(A0)P(B|A0)=×=×=,
P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=×=×=,
P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=×=×=.
所以,第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率為
P(A0B+A1B+A2B)=++=.
10.解:(1)記“甲連續(xù)射擊3次,至少1次未擊中目標(biāo)”為事件A1,由題意,射擊3次,相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故P(A1)=1-P()=1-3=.
答:甲射擊3次,至少1次未擊中目標(biāo)的概率為.
(2)記“乙恰好射擊4次后,被中止射擊”為事件A2,由于各事件相互獨(dú)立,
故P(A2)=×××+×××=.
答:乙恰好射擊4次后,被中止射擊的概率是.
(3)ξ的可能取值為0,1,2,3.
P(ξ=0)=C·3=,
P(ξ=1)=C··2=,
P(ξ=2)=C·2·1=,
P(ξ=3)=C·3·0=.
ξ的分布列為:
ξ
0
1
2
3
P
第4講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1.D 2.B 3.B 4.B
5.D 解析:由已知得3a+2b+0×c=2,即3a+2b=2,
∴ab=·3a·2b≤2=.
6.2 解析:設(shè)“?”表示的數(shù)為x,“!”表示的數(shù)為y,由分布列的性質(zhì),得2x+y=1,E(ξ)=x+2y+3x=4x+2y=2.
7. 解析:∴
8.(1)1 (2) 解析:(1)ξ可能取的值是0,1,2,
ξ的分布列為:
ξ
0
1
2
P
ξ數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×+1×+2×=1.
(2)所選3人中至少有一名女生的概率為
P(ξ≥1)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=+=.
9.解:記“摸到2個(gè)白球且得到200元獎(jiǎng)金為事件A”,“摸到1個(gè)白球、1個(gè)紅球且得到600元獎(jiǎng)金為事件B”,“摸到2個(gè)紅球且得到1000元獎(jiǎng)金為事件C”,由題意可以知道:
P(A)==,
P(B)==,
P(C)==,
(1)求某人參與摸獎(jiǎng)一次,至少得到600元獎(jiǎng)金的概率為:P(B)+P(C)=+=.
(2)假設(shè)某人參與摸獎(jiǎng)一次,所得的獎(jiǎng)金為ξ元,則ξ的分布列如下表:
ξ
200
600
1000
P
ξ的數(shù)學(xué)期望為:
E(ξ)=200×+600×+1000×=600(元).
10.解:(1)記甲、乙、丙各自能被聘用的事件分別為A1、A2、A3,
由已知A1、A2、A3相互獨(dú)立,且滿足
解得P(A2)=,P(A3)=.
所以乙、丙各自能被聘用的概率分別為,.
(2)ξ的可能取值為1,3.
因?yàn)镻(ξ=3)=P(A1A2A3)+P( )
=P(A1)P(A2)P(A3)+[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
=××+××=.
所以P(ξ=1)=1-P(ξ=3)=1-=.
所以ξ的分布列為
ξ
1
3
P
所以E(ξ)=1×+3×=.
第5講 正態(tài)分布
1.A 2.C 3.C 4.A 5.C 6.
7.0.8 解析:∵ξ~N(1,σ2),因此正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=0.8.
8. 解析:三個(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1000,502),故有:三個(gè)電子元件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為p=.
超過1000小時(shí)時(shí)元件1或元件2正常工作的概率p1=1-(1-p)2=.
那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為p2=p1×p=.
9.解:∵ξ~N(30,0.82),∴ξ在(30-3×0.8,30+3×0.8)之外取值的概率只有0.003,而27.5? (27.6,32.4),
∴這說明在一次試驗(yàn)中,出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件.據(jù)此可認(rèn)為這批磚不合格.
10.解:(1)設(shè)學(xué)生的考試成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量ξ,
則ξ~N(70,102),故μ=70,σ=10.
因?yàn)镻(60<ξ≤80)=P(70-10<ξ≤70+10)=0.682 6,
故不及格的學(xué)生占×(1-0.682 6)×100%=15.87%.
(2)因?yàn)镻(80<ξ≤90)=[P(70-20<ξ≤70+20)-P(60<ξ≤80)]=×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9,
所以考試成績(jī)?cè)?0~90分之間的學(xué)生占13.59%.