2019-2020年高一數(shù)學(xué)下冊必修16.4《反三角函數(shù)》教案3篇.doc
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2019-2020年高一數(shù)學(xué)下冊必修16.4《反三角函數(shù)》教案3篇.doc
2019-2020年高一數(shù)學(xué)下冊必修16.4《反三角函數(shù)》教案3篇
反三角函數(shù)
教學(xué)要求 理解反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念。能畫出反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的圖象
教學(xué)重點 反三角函數(shù)的概念
教學(xué)難點 反三角函數(shù)概念的建立
教學(xué)過程
反正弦函數(shù)
一、 復(fù)舊引新
復(fù)習(xí)反函數(shù)存在的條件,然后根據(jù)正弦函數(shù)圖象引導(dǎo)學(xué)生討論:內(nèi)的反對應(yīng)關(guān)系是否單值?(2)區(qū)間上的反對應(yīng)關(guān)系?
二、 講授新課
函數(shù)上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù),記作寫:
定義域:
注:
(1) arcsinx是一個完整的記號
(2)中自變量滿足,當(dāng)時,函數(shù)無意義
(3)arcsinx表示一個角,
由定義得 如果則有 sin(arcsinx)=x
三、 強化公式
例1 求下列各反三角函數(shù)的值
(2)arcsin(-1)
(4)
一般地,如果則有 arcsin(-x)=-arcsinx
例2 求下列各式的值
練習(xí) 第XX頁第XX題
例3 求下列各式的值
注:arcsin(sin)不一定等于
由互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系,可得反正弦函數(shù)的圖象
圖象關(guān)于原點對稱,是奇函數(shù)
練習(xí) 第XX頁第XX題
小結(jié) 定義、有關(guān)公式、圖象
作業(yè)
反余弦函數(shù)
一、 復(fù)舊引新
y=cosx在上有反函數(shù)
二、 講授新課
函數(shù)y=cosx在上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù),記作y=arccosx,定義域是
當(dāng)則有cos(arccosx)=x
三、 強化公式
例4求下列各式的值
一般地,當(dāng)則有
例5求下列各式的值
(2)練習(xí) 第XX頁第XX題
例6 求下列函數(shù)的定義域和值域
反余弦函數(shù)圖象與余弦函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線y=x對稱
小結(jié) 定義、有關(guān)公式、圖象
作業(yè) XX
反正切和反余切函數(shù)
一、 復(fù)舊引新
y=tanx在上存在反函數(shù)
y=cotx在上存在反函數(shù)
二、 講授新課
y=tanx在上的反函數(shù)稱為反正切函數(shù),記作y=arctanx,定義域:,值域:;y=cotx在上的反函數(shù)稱為反余切函數(shù),記作y=arccotx,定義域:,值域:
一般地,tan(arctanx)=x
cot(arccotx)=x
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=
三、 強化公式
例7求下列各式的值
例8 求下列各式的值
學(xué)生畫出反正弦、反余弦函數(shù)的圖象
練習(xí) 第XX頁
小結(jié) 定義、有關(guān)公式、圖象
作業(yè)
6.4反三角函數(shù)(1)——反正弦函數(shù)
上海市交通大學(xué)附屬中學(xué) 曹建華
一、教學(xué)內(nèi)容分析
根據(jù)反函數(shù)的概念,正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)沒有反函數(shù).但是如果我們適當(dāng)選取實數(shù)集R的一個子集[-,],那么函數(shù)y=sinx, x∈[-,]就存在反函數(shù),為什么要選取[-,],教師要作必要性說明.我們把函數(shù)y=sinx, x∈[-,]的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù),記作y=arcsinx,x∈[-1,1],學(xué)生對符號的arcsinx的理解比較困難,前面符號中的x必須滿足|x|≤1,arcsinx是[-,]上的一個角的弧度數(shù),這個角的正弦值為x.根據(jù)互為反函數(shù)間的圖像關(guān)系,函數(shù)y=arcsinx,x∈[-1,1]的圖像和函數(shù)y=sinx, x∈[-,]的圖像應(yīng)該關(guān)于直線y=x對稱,這樣容易作出反正弦函數(shù)的圖像,根據(jù)其圖像可以得到反正弦函數(shù)y=arcsinx,x∈[-1,1]是奇函數(shù),且單調(diào)遞增.
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計
1.理解函數(shù)y=sinx(x∈R)沒有反函數(shù);理解函數(shù)y=sinx, x∈[-,]有反函數(shù);理解反正弦函數(shù)y=arcsinx的概念,掌握反正弦函數(shù)的定義域是[-1,1],值域是[-,].
2.知道反正弦函數(shù)y=arcsinx ,x∈[-1,1]的圖像.
3.掌握等式sin(arcsinx)=x,x∈[-1,1]和arcsin(-x)=-arcsinx,x∈[-1,1].
4.能夠熟練計算特殊值的反正弦函數(shù)值,并能用反正弦函數(shù)值表示角.
5.會用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想分析和思考問題.
三、教學(xué)重點及難點
教學(xué)重點:理解反正弦函數(shù)概念以及反正弦函數(shù)符號的本質(zhì).
教學(xué)難點:反正弦函數(shù)的產(chǎn)生和從本質(zhì)上處理正弦函數(shù)的反函數(shù)問題.
四、教學(xué)用具準(zhǔn)備
直尺、多媒體設(shè)備
五、教學(xué)流程設(shè)計
反正弦函數(shù)的定義
( 師生討論、探究、提煉概念)
反正弦函數(shù)的
圖象與性質(zhì)
互為反函數(shù)
的兩個函數(shù)
的圖象與性
質(zhì)的關(guān)系
正弦函數(shù)
的圖象
與性質(zhì)
應(yīng)用舉例(求特殊值的反正弦函數(shù)值、用反正弦函數(shù)值表示角、運用反正弦恒等式化簡或求值)
六、教學(xué)過程設(shè)計
一、 情景引入
1.復(fù)習(xí)
我們學(xué)習(xí)過反函數(shù),知道,對于函數(shù)y=f(x),x∈D,如果對它的值域中的任意一個值y,在定義域D中都有唯一確定的值x與它對應(yīng),使y=f(x),這樣得到的x關(guān)于y的函數(shù)叫做y=f(x)的反函數(shù).我們也明確不是任何一個函數(shù)都存在反函數(shù).函數(shù)要存在反函數(shù)必須要求其自變量與因變量是一一對應(yīng)的.
2.思考
那么正弦函數(shù)是否存在反函數(shù)呢?
[說明] 因為對于任一正弦值都有無數(shù)個角值與之對應(yīng).正弦函數(shù)的自變量與因變量是多對一的.故而不存在反函數(shù).
3.討論
正弦函數(shù)不存在反函數(shù).但只要選取某一區(qū)間使得在該區(qū)間上存在反函數(shù).因變量可以確定自變量,正弦值可以表示相應(yīng)的角值,并且將該區(qū)間上的角值用相應(yīng)的正弦值表示就可以了.學(xué)生討論應(yīng)該選取怎樣的區(qū)間,使得存在反函數(shù)呢?
這個區(qū)間的選擇依據(jù)兩個原則:
(1)在所取區(qū)間上存在反函數(shù)
(2)能取到的一切函數(shù)值.
可以選取閉區(qū)間,使得在該區(qū)間上存在反函數(shù),而這個反函數(shù)就是今天要學(xué)習(xí)的反正弦函數(shù).
二、學(xué)習(xí)新課
1.概念辨析
(1)反正弦函數(shù)的定義:
函數(shù)y=sinx, x∈[-,]的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù),記作y=arcsinx,x∈[-1,1].
(2)反正弦函數(shù)的性質(zhì):
①圖像
②定義域[-1,1]
③值域[-,]
④奇偶性:奇函數(shù),即arcsin(-x)=-arcsinx,x∈[-1,1]
⑤單調(diào)性:增函數(shù)
[說明]互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,函數(shù)y=sinx,x∈[-,]與函數(shù)y=arcsinx,x∈[-1,1]的圖像關(guān)于直線對稱.
2.例題分析
例1.求下列反正弦函數(shù)的值:
(1)arcsin;(2)arcsin0;(3)arcsin(-)
解:(1)因為sin=,且∈[-,],所以arcsin=.
(2)因為sin0=0,且0∈[-,],所以arcsin0=0.
(3)因為sin(-)=-,且-∈[-,],所以arcsin(-)=-.
例2.用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式的x:
(1)sinx=,x∈[-,];
(2)sinx=-,x∈[-,];
(3)sinx=- ,x∈[-π,0].
解:(1)因為x∈[-,],由定義,可知x=arcsin;
(2)因為x∈[-,],由定義,可知x=arcsin(-)=- arcsin;
(3)在區(qū)間[-,0] 上,由定義,可知x=arcsin(-)=- arcsin;
在區(qū)間[-π,-]上,由誘導(dǎo)公式,可知x=-π+arcsin,滿足 sinx=-.因此x= arcsin或x=-π+arcsin.
例3.化簡下列各式:
(1)arcsin(sin);(2)arcsin(sin);*(3)arcsin(sinxx0)
解:(1)因為∈[-,],設(shè)sin=α,所以arcsinα=,即arcsin(sin)=.
(2)因為[-,],而∈[-,],且sin=sin,設(shè)sin=sin=α,所以arcsin(sin)= arcsin(sin)=
arcsinα=.
(3)因為sinxx0=sin(53600+2070)=sin2070=sin(1800+270)=-sin270
所以arcsin(sinxx0)= arcsin(-sin270)=- arcsin(sin270)=- 270.
例4.求函數(shù)f(x)=2arcsin2x的反函數(shù)f-1(x),并指出反函數(shù)的定義域和值域.
解:設(shè)y=2arcsin2x,則= arcsin2x,
因為2x∈[-1,1],arcsin2x∈[-,],所以x∈[-,],y∈[-л,л],根據(jù)反正弦函數(shù)的定義,得2x=sin,x= sin,將x,y互換,得反函數(shù)f-1(x)= sin,定義域是[-л,л],值域是[-,]
3.問題拓展
例1.證明等式:arcsin(-x)=-arcsinx,x∈[-1,1]
證明:∵x∈[-1,1],∴ -x∈[-1,1]
∴sin[arcsin(-x)]= -x,sin(-arcsinx)=-sin(arcsinx)=-x
又因為arcsin(-x)∈[-,],-arcsinx∈[-,],且正弦函數(shù)在[-,]上單調(diào)遞增,所以arcsin(-x)=-arcsinx,
x∈[-1,1].
[說明]這是證明角相等的問題,兩個角僅有同名三角比相等,不能證明這兩個角相等,教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生知道這個數(shù)學(xué)事實,并舉例說明.
例2.設(shè)x∈[,],sinx=,用反正弦函數(shù)值表示x.
解:因為x∈[,],所以(π-x)∈[-,],又sin(π-x)=sinx,得sin(π-x)=,于是π-x=arcsin,x=π- arcsin.
[說明] 對于用反正弦函數(shù)值表示區(qū)間[-,]外的角,教材不作要求,但考慮到在解實際問題中常要表示鈍角,因此可補充用反正弦函數(shù)值表示鈍角的練習(xí).
以上兩例教師應(yīng)根據(jù)各自學(xué)校學(xué)生的實際情形進行教學(xué).
三、鞏固練習(xí)
判斷下列各式是否成立?簡述理由.
(1)arcsin=;(2)arcsin=;(3)arcsin1=2kл+,k∈Z;(4)arcsin(-)=- arcsin;(5)sin(arcsin)=;(6)arcsin=.
解:(1)式成立;(2)、(4)、(5)各式都不成立,理由是反正弦函數(shù)的定義域為[-1,1];(3)式僅當(dāng)k=0時成立,k取其他整數(shù)時,不成立,理由是反正弦函數(shù)的值域為[-,];(6)式不成立,因為與反正弦函數(shù)的定義不符.
四、課堂小結(jié)
教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):
(1)反正弦函數(shù)的定義;
(2)反正弦函數(shù)的性質(zhì).
五、作業(yè)布置
(1)書上練習(xí)6.4(1)中的1、2、3、4
(2)思考題:求函數(shù)f(x)=2π-arcsin2x的反函數(shù)f-1(x),并指出反函數(shù)的定義域和值域.
七、教學(xué)設(shè)計說明
1.關(guān)于教學(xué)內(nèi)容
反正弦函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一,對后繼課程的學(xué)習(xí)有著重要的作用,特別是在反三角函數(shù)中,反正弦函數(shù)有著模本的作用.而反正弦函數(shù)是反三角函數(shù)單元學(xué)習(xí)的重點和難點.本節(jié)課與反函數(shù)的基本概念、性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系,通過對這一節(jié)課的學(xué)習(xí),既可以讓學(xué)生掌握反正弦函數(shù)的概念,又可使學(xué)生加深對反函數(shù)概念的理解,而且為學(xué)習(xí)其它反三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ),起到承上啟下的重要作用.
2.關(guān)于教學(xué)方法
為了充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,體現(xiàn)學(xué)生的自主式學(xué)習(xí),我選用了啟發(fā)、自我探究的教學(xué)方式.在課堂教學(xué)過程中,始終貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為核心”的教學(xué)思想,通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析和概括,使學(xué)生能根據(jù)已有數(shù)學(xué)知識的準(zhǔn)備:已掌握三角函數(shù)的概念及性質(zhì)、反函數(shù),自主探究反正弦函數(shù)及其性質(zhì).
6.4反三角函數(shù)(2)——反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)
上海市交通大學(xué)附屬中學(xué) 曹建華
一、教學(xué)內(nèi)容分析
根據(jù)反函數(shù)的概念,余弦函數(shù)y=cosx(x∈R)沒有反函數(shù).但是如果我們適當(dāng)選取實數(shù)集R的一個子集[0,π],那么函數(shù)y=cosx,x∈[0,π]就存在反函數(shù),為什么要選取[0,π],教師要引導(dǎo)學(xué)生作必要的討論和說明.類比反正弦函數(shù)的定義,我們把函數(shù)y=cosx,x∈[0,π]的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù),記作y=arccosx,x∈[-1,1],學(xué)生對符號的arccosx的理解比較困難,前面符號中的x必須滿足|x|≤1,arccosx是[0,π]上的一個角的弧度數(shù),這個角的余弦值為x.根據(jù)互為反函數(shù)間的圖像關(guān)系,函數(shù)y=arccosx,x∈[-1,1]的圖像和函數(shù)y =cosx,x∈[0,π]的圖像應(yīng)該關(guān)于直線y=x對稱,這樣容易作出反余弦函數(shù)的圖像,根據(jù)其圖像可以得到反余弦函數(shù)y=arccosx,x∈[-1,1]既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),但是單調(diào)遞減.類似地,把正切函數(shù)y=tanx,x∈(-,)的反函數(shù)叫做反正切函數(shù),記作y=arctanx,x∈(-∞,∞),根據(jù)互為反函數(shù)間的圖像關(guān)系,函數(shù)y=arctanx,x∈(-∞,∞)的圖像和函數(shù)y = tanx,x∈(-,)的圖像應(yīng)該關(guān)于直線y=x對稱,這樣容易作出反正切函數(shù)的圖像,根據(jù)其圖像可以得到反正切函數(shù)y= arctanx,x∈(-∞,∞)是奇函數(shù),單調(diào)遞增.
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計
1.理解函數(shù)y=cosx(x∈R),y=tanx(x≠kπ+,k∈Z)沒有反函數(shù);理解函數(shù)y=cosx, x∈[0,π],y=tanx,x∈(-,)有反函數(shù);理解反余弦函數(shù)y=arccosx,反正切函數(shù)y=arctanx的概念,掌握反余弦函數(shù)的定義域是[-1,1],值域是[0,π];反正切函數(shù)的定義域是(-∞,∞),值域是(-,).
2.知道反余弦函數(shù)y=arccosx ,x∈[-1,1]和反正切函數(shù)y= arctanx,x∈(-∞,∞)的圖像.
3.掌握等式cos(arccosx)=x,x∈[-1,1],arccos(-x)=π-arccosx,x∈[-1,1]和tan(arctanx)=x,x∈(-∞,∞),arctan(-x)=- arctanx,x∈(-∞,∞).
4.能夠熟練計算特殊值的反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值,并能用反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示角.
5.會用類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想分析和思考問題.
三、教學(xué)重點及難點
教學(xué)重點:理解反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念以及他們的符號的本質(zhì).
教學(xué)難點:公式arccos(-x)=π-arccosx、arctan(-x)=-arctanx的證明及其使用.
四、教學(xué)用具準(zhǔn)備
直尺、多媒體設(shè)備
五、教學(xué)流程設(shè)計
反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)的定義
( 師生討論、探究、提煉概念)
反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)的
圖象與性質(zhì)
互為反函數(shù)
的兩個函數(shù)
的圖象與性
質(zhì)的關(guān)系
余弦函數(shù)、正切函數(shù)
的圖象
與性質(zhì)
應(yīng)用舉例(求特殊值的反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值、用反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示角、運用反余弦和反正切恒等式化簡或求值)
六、教學(xué)過程設(shè)計
一、 情景引入
1.復(fù)習(xí)
我們學(xué)習(xí)過反正弦函數(shù),知道,對于函數(shù)y=sinx,x∈R,不存在反函數(shù);但在[]存在反函數(shù)
2.思考
那么余弦函數(shù)和正切函數(shù)是否存在反函數(shù)呢
[說明] 因為對于任一余弦值和正切值都有無數(shù)個角值與之對應(yīng).余弦函數(shù)和正切函數(shù)的自變量與因變量是多對一的.故而不存在反函數(shù).
3.討論
余弦函數(shù)和正切函數(shù)不存在反函數(shù).但選取怎樣的區(qū)間使得或y=tanx在對應(yīng)區(qū)間上存在反函數(shù)呢.因變量可以確定自變量,余弦值或正切值可以表示相應(yīng)的角值,并且將該區(qū)間上的角值用相應(yīng)的余弦值或正切值表示就可以了.學(xué)生討論應(yīng)該選取怎樣的區(qū)間,使得或y=tanx存在反函數(shù)呢?
這個區(qū)間的選擇依據(jù)兩個原則
(1)和y=tanx在所取對應(yīng)區(qū)間上存在反函數(shù);
(2)能取到的一切函數(shù)值,y=tanx一切函數(shù)值R.
可以選取閉區(qū)間[0,π],使得在該區(qū)間上存在反函數(shù);可以選取閉區(qū)間(-,),使得y=tanx在該區(qū)間上存在反函數(shù),這個反函數(shù)就是今天要學(xué)習(xí)的反余弦函數(shù)和反正切函數(shù).
二、學(xué)習(xí)新課
1.概念辨析
(1)反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的定義:
余弦函數(shù)y=cosx, x∈[0,π]的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù),記作y=arccosx,x∈[-1,1];
正切函數(shù)y=tanx, x∈(-,)的反函數(shù)叫做反正切函數(shù),記作y=arctanx,x∈(-∞,∞);
(2)反正弦函數(shù)的性質(zhì):
①圖像
y=arccosx y= arctanx
②定義域:函數(shù)y=arccosx的定義域是[-1,1];函數(shù)y= arctanx的定義域是R.
③值域:函數(shù)y=arccosx的值域是[0,π];函數(shù)y= arctanx的值域是(-,).
④奇偶性:函數(shù)y=arccosx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),但有arccos(-x)=π-arccosx,x∈[-1,1];函數(shù)y= arctanx是奇函數(shù),即arctan(-x)=-arctanx.
⑤單調(diào)性:函數(shù)y=arccosx是減函數(shù);函數(shù)y= arctanx是增函數(shù).
[說明]互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,函數(shù)y=cosx,x∈[0,π]與函數(shù)y=arccosx,x∈[-1,1]的圖像關(guān)于直線對稱;函數(shù)y=tanx,x∈(-,)與函數(shù)y=arctanx,x∈R的圖像關(guān)于直線對稱.
2.例題分析
例1.求下列反三角函數(shù)的值:
(1)arccos;(2)arccos(-);(3)arccos0;
(4)arctan1;(5)arctan(-)
解:(1)因為cos=,且∈[0,π],所以arccos=.
(2)因為cos=-,且∈[0,π],所以arccos(-)=.
(3)因為cos=0,且∈[0,π],所以arccos0=.
(4)因為tan=1,且∈(-,),所以arctan1=.
(5)因為tan(-)=-,且-∈(-,),所以arctan(-)=-.
例2.在△ABC中,已知AB=5,BC=12,AC=13,分別用反正弦函數(shù)值、反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示∠A、∠B、∠C.
解:因為AC2=AB2+BC2,所以∠B是直角,于是有
∠A= arcsin= arccos=arctan;
∠B== arcsin1= arccos0;
∠C= arcsin= arccos=arctan.
例3.化簡下列各式:
(1)arccos(cos);(2)sin[arccos];(3)cos[arctan(-1)]
解:(1)因為∈[0,π],設(shè)cos=α,所以arccosα=,即arccos(cos)=.
(2)因為arccos=,所以sin[arccos]=sin=.
(3)因為arctan(-1)=-,所以cos[arctan(-1)]= cos(-)=.
例4.求下列函數(shù)的反函數(shù)f-1(x),并指出反函數(shù)的定義域和值域.
(1) f(x)=+arccos;(2)f(x)=3π-arctan(2x-1)
解:(1)設(shè)y=+arccos,則arccos= y-,因為∈[-1,1],arccos∈[0,π],所以x∈[-2,2],y∈[,],根據(jù)反余弦函數(shù)的定義,得=cos(y-),即x=2cos(y-).將x,y互換,得反函數(shù)f-1(x)=2cos(x-),定義域是[,],值域是[-2,2].
(2)設(shè)y=3π-arctan(2x-1),即arctan(2x-1)=3π-y,因為(2x-1)∈R ,arctan(2x-1)∈(-,),所以x∈R,y∈(,),根據(jù)反正切函數(shù)的定義,得2x-1=tan(3π-y)=-tany,即x=(1-tany),將x,y互換,得反函數(shù)f-1(x)=(1-tanx),定義域是(,),值域是R.
3.問題拓展
例1.證明等式:arccos(-x)=π-arccosx,x∈[-1,1]
證明:∵x∈[-1,1],∴ -x∈[-1,1]
∴cos[arccos(-x)]= -x,cos(π-arccosx)=-cos(arccosx)=-x
又因為arccosx∈[0,π],所以(π-arccosx)∈[0,π],又arccos(-x)∈[0,π],且余弦函數(shù)在[0,π]上單調(diào)遞減,所以arccos(-x)=π-arccosx,x∈[-1,1].
例2.證明等式:arctan(-x)=-arctanx,xR.
證明:因為tan arctan(-x)=-x,tan(-arctanx)=-tan arctanx,
又由arctanx(-,),得-arctanx(-,),再有arctan(-x)(-,),且正切函數(shù)在(-,)上單調(diào)遞增,所以arctan(-x)=-arctanx,xR.
[說明]可以通過以上恒等式的證明形成學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力,但教師應(yīng)根據(jù)學(xué)校學(xué)生的實際情形進行選擇.
三、鞏固練習(xí)
判斷下列各式是否成立?簡述理由.
(1)cos(arccos)=;(2)arctan=;(3)arcsin(-)= arcos(-);(4)arccos+ arccos(-)=0;(5)arctan+ arc tan(-)=0.
解:(1)式不成立,因為[-1,1],故arccos無意義;(2)式不成立,因為其對應(yīng)關(guān)系搞錯了;(3)式不成立,理由是把反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)的值域搞錯了,事實上arcsin(-)=-,而arcos(-)=,兩者不等;(4)式不成立,因為把等式arccos(-x)=π-arccosx錯記成arccos(-x)=-arccosx;(5)式成立,因為等式arctan(-x)=-arctanx.
四、課堂小結(jié)
教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):
(1)反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的定義;
(2)反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的性質(zhì).
五、作業(yè)布置
書上練習(xí)6.4(2)中的1、2、3、4
七、教學(xué)設(shè)計說明
1.關(guān)于教學(xué)內(nèi)容
本節(jié)課是基于學(xué)習(xí)了反正弦函數(shù)之后,類比反正弦函數(shù)的概念,學(xué)生掌握反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念相對比較容易,所以這節(jié)課的主要力量要花在反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的應(yīng)用上,特別要注意反正弦函數(shù)值和反余弦函數(shù)值所表示的角的范圍的區(qū)別以及反正弦和反余弦恒等式的區(qū)別.
2.關(guān)于教學(xué)方法
為了充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,體現(xiàn)學(xué)生的自主式學(xué)習(xí),我選用了啟發(fā)、自我探究的教學(xué)方式.在課堂教學(xué)過程中,始終貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為核心”的教學(xué)思想,通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析和概括,使學(xué)生能根據(jù)已有數(shù)學(xué)知識的準(zhǔn)備:已掌握三角函數(shù)的概念及性質(zhì)、反函數(shù),自主探究反余弦函數(shù)及其反正切函數(shù)的性質(zhì).