2018年高中數(shù)學 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 1.5 不等式的應用活頁作業(yè)7 北師大版選修4-5.doc
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2018年高中數(shù)學 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 1.5 不等式的應用活頁作業(yè)7 北師大版選修4-5.doc
活頁作業(yè)(七) 不等式的應用
一、選擇題
1.某商場中秋前30天月餅銷售總量f(t)與時間t(0<t≤30)的關(guān)系大致滿足f(t)=t2+10t+16,則該商場前
t天平均售出的月餅最少為( )
A.18 B.27
C.20 D.16
解析:平均銷售量
y===t++10≥18,
當且僅當t=,即t=4∈[1,30]時等號成立,
即平均銷售量的最小值為18.
答案:A
2.汽車上坡時的速度為a,原路返回時的速度為b,且0<a<b,則汽車全程的平均速度比a,b的平均值( )
A.大 B.小
C.相等 D.不能確定
解析:設單程為s,則上坡時間t1=,下坡時間t2=,
平均速度為v===<.
答案:B
3.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用為800元,若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲時間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小,每批應生產(chǎn)產(chǎn)品( )
A.60件 B.80件
C.100件 D.120件
解析:若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品,則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是元,倉儲費用是元,總的費用是+≥
2=20,
當且僅當=,即x=80時取等號.
答案:B
4.如圖,建立平面直角坐標系,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1 km,某炮位于原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.則炮的最大射程為( )
A.20 km B.10 km
C.5 km D.15 km
解析:令y=0,得kx-(1+k2)x2=0.由實際意義和題設條件,知x>0,k>0.故x==≤=10,當且僅當k=,即k=1時取等號.所以炮的最大射程為10 km.
答案:B
二、填空題
5.設三角形的三邊長分別為3,4,5,P是三角形內(nèi)的一點,則點P到這個三角形三邊的距離的積的最大值是________.
解析:設點P到三角形三邊的距離分別為h1,h2,h3.
由題意,得三角形為直角三角形,S=34=6.
∴h13+h24+h35=6.
∴3h1+4h2+5h3=12≥3.
∴h1h2h3≤=.
答案:
6.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為____________m.
解析:如圖,過點A作AH⊥BC于點H,交DE于點F.易知===?AF=x?FH=40-x.則S=x(40-x)≤2,當且僅當40-x=x,即x=20時取等號.所以滿足題意的邊長x為20 m.
答案:20
三、解答題
7.某漁業(yè)公司今年年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈,第一年需各種費用12萬元,從第二年開始包括維修費在內(nèi),每年所需費用均比上一年增加4萬元,該船每年捕撈的總收入為50萬元.
(1)該船捕撈幾年后開始盈利(即總收入減去成本及所有費用之差為正值)?
(2)該船捕撈若干年后,處理方案有兩種:
①當年平均盈利達到最大值時,以26萬元的價格賣出;
②當盈利總額達到最大值時,以8萬元的價格賣出.
哪一種方案較為合算?請說明理由.
解:(1)設捕撈n年后開始盈利,盈利為y元,則
y=50n--98
=-2n2+40n-98.
由y>0,得n2-20n+49<0.
解得10-<n<10+(n∈N+).
所以3≤n≤17.
故捕撈3年后開始盈利.
(2)①由(1),得y=-2n2+40n-98.所以平均盈利為
=-2n-+40≤-2+40=12,
當且僅當2n=,即n=7時,年平均盈利最大.
故經(jīng)過7年捕撈后平均盈利最大,共盈利127+26=110(萬元).
②由(1),得y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102.
所以當n=10時,函數(shù)y的最大值為102.
故經(jīng)過10年捕撈后盈利總額最大,共盈利102+8=110(萬元).
因為兩種方案盈利相等,但方案②的時間長,
所以方案①合算.
8.某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境,計劃建一個八邊形的休閑小區(qū),其主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和矩形EFGH構(gòu)成的面積是200 m2的十字形區(qū)域,現(xiàn)計劃在正方形MNPQ上建一花壇,造價為4 200元/m2,在四個相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪,造價為210元/m2,再在四個空角上鋪草坪,造價為80元/m2.
(1)設總造價為S元,AD的邊長為x m,試建立S關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)計劃至少要投多少萬元才能建造這個休閑小區(qū)?
解:(1)設DQ=y(tǒng) m,則x2+4xy=200,即
y=.
所以S=4 200x2+2104xy+804y2
=38 000+4 000x2+(0<x<10).
(2)由(1),得S=38 000+4 000x2+
≥38 000+2=118 000,
當且僅當4 000x2=,即x=時取等號.
因為118 000元=11.8萬元,
所以計劃至少要投入11.8萬元才能建造這個休閑小區(qū).
一、選擇題
1.某企業(yè)投入100萬元購入一套設備,該設備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元,此外,每年都要花費一定的維護費,第一年的維護費為2萬元,由于設備老化,以后每年的維護費都比上一年增加2萬元.為使該設備年平均費用最低,該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為( )
A.10 B.11
C.13 D.21
解析:設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為x,設備年平均費用為y萬元,則x年后的設備維護費用為2+4+…+
2x=[x(x+1)]萬元,所以x年的年平均費用為y==x++1.5萬元.由平均值不等式,得y=x++1.5+1.5=21.5,當且僅當x=,即x=10時取等號.
答案:A
2.設某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn),平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬元(t為正常數(shù)).公司決定從原有員工中分流x(0<x<100,x∈N+)人去進行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn).分流后,繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長了1.2x%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少,則最多能分流的人數(shù)是( )
A.15 B.16
C.17 D.18
解析:由題意,得分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t 萬元,分流x人后,每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100-x)(1+1.2x%)t萬元.則
解得0<x≤.
因為x∈N+,所以x的最大值為16.
答案:B
二、填空題
3.制造一個容積為 m3的無蓋圓柱形桶,用來做底面的金屬板的價格為每平方米30元,做側(cè)面的金屬板的價格為每平方米20元,則當圓柱形桶的底面半徑為________m、高為________m時,所使用的材料成本最低.
解析:設此圓柱形桶的底面半徑為rm,高為h m,則底面面積為πr2m2,側(cè)面積為2πrh m2.
設原料成本為y元,則y=30πr2+40πrh.
因為桶的容積為 m3,
所以πr2h=,即rh=.
所以y=30πr2+π=10π≥10π3,
當且僅當3r2=,即r=時等號成立,此時h=.
答案:
4.設底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時,底面邊長為________.
解析:設底面邊長為x,高為h,則x2h=V,即h=.
所以S表=2x2+3xh
=x2+3x=x2+
==
≥3=3,
當且僅當x2=,即x= 時取等號.
答案:
三、解答題
5.如圖(1)所示,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器,如圖(2)所示,求這個正六棱柱容器容積的最大值.
(1) (2)
解:設正六棱柱容器的底面邊長為x(x>0),高為h,由下圖,可得2h+x=.
所以h=(1-x),V=S底h=6x2h=
x2(1-x)=2(1-x)≤93=,
當且僅當=1-x,即x=時等號成立.
所以當?shù)酌孢呴L為時,正六棱柱容器容積最大,為.
6.某養(yǎng)殖廠需定期購買飼料,已知該廠每天需要飼料200 kg,每千克飼料的價格為1.8元,飼料的保管與其他費用為平均每千克每天0.03元,購買飼料每次支付運費300元.
(1)該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少?
(2)若提供飼料的公司規(guī)定:當一次購買飼料不少于5 t時其價格可享受八五折優(yōu)惠(即為原價的85%).該廠是否可以考慮利用此優(yōu)惠條件?請說明理由.
解:(1)設該廠應隔x(x∈N+)天購買一次飼料,平均每天支付的總費用為y1元.
因為飼料的保管與其他費用每天比前一天少2000.03=6(元),
所以x天飼料的保管與其他費用共
6(x-1)+6(x-2)+…+6=(3x2-3x)元.
從而有y1=(3x2-3x+300)+2001.8
=+3x+357≥417,
當且僅當=3x,即x=10時取等號.
故每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少.
(2)該廠可以考慮利用此優(yōu)惠條件.理由如下:若廠家利用此優(yōu)惠條件,則至少25天購買一次飼料.
設該廠利用此優(yōu)惠條件,每隔x天(x≥25)購買一次飼料,平均每天支付的總費用為y2元,則
y2=(3x2-3x+300)+2001.80.85
=+3x+303(x≥25).
因為y′2=-+3,
所以當x≥25時,y2′>0,即函數(shù)y2在區(qū)間[25,+∞)上是增函數(shù).
則當x=25時,函數(shù)y2取得最小值為390.
而390<417,
故該廠可以考慮利用此優(yōu)惠條件.