2019年高考數(shù)學總復習 專題6.4 數(shù)列求和導學案 理.doc
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2019年高考數(shù)學總復習 專題6.4 數(shù)列求和導學案 理.doc
第四節(jié) 數(shù)列求和
最新考綱
數(shù)列求和的常見方法
1.公式法:直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和.
(1)等差數(shù)列的前n項和公式:Sn==na1+d.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式:Sn=
(3)一些常見數(shù)列的前n項和公式
①1+2+3+4+…+n=.
②1+3+5+7+…+2n-1=n2.
③2+4+6+8+…+2n=n(n+1).
④12+22+…+n2=.
【例1】已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項和等于________.
【答案】27
【解析】由a1=1,an=an-1+(n≥2),可知數(shù)列{an}是首項為1,公差為的等差數(shù)列,
故S9=9a1+=9+18=27.
【變式訓練1】若等比數(shù)列{an}滿足a1+a4=10,a2+a5=20,則{an}的前n項和Sn=________.
【答案】Sn=(2n-1).
【解析】 由題意a2+a5=q(a1+a4),得20=q10,故q=2,代入a1+a4=a1+a1q3=10,得9a1=10,即a1=.故Sn==(2n-1).
2.倒序相加法:如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導的.
3.并項求和法:在一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結合求解,則稱之為并項求和.
例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
【例2】已知{an}是等比數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N*),且-=,S6=63.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若對任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數(shù)列{(-1)nb}的前2n項和.
【答案】(1) an=2n-1;(2)T2n=2n2.
【解析】(1)設數(shù)列{an}的公比為q.
由已知,有-=,解得q=2或q=-1.
又由S6=a1=63,知q≠-1,
所以a1=63,得a1=1.所以an=2n-1.
(2)由題意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,
即{bn}是首項為,公差為1的等差數(shù)列.
設數(shù)列{(-1)nb}的前n項和為Tn,則
T2n=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b+b)
=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n==2n2.
【變式訓練2】數(shù)列{an}的通項公式an=ncos,其前n項和為Sn,則S2 016等于( )
A.1 008 B.2 016 C.504 D.0
【答案】A
4.分組轉化法求和:若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時可用分組求和法,分別求和后相加減.
【例3】(2016北京高考)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項和.
【答案】(1)an=2n-1(n=1,2,3,…);(2)Sn=n2+.
【解析】 (1)等比數(shù)列{bn}的公比q===3,
所以b1==1,b4=b3q=27.
設等差數(shù)列{an}的公差為d,
因為a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2,
所以an=2n-1(n=1,2,3,…).
(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1,因此cn=an+bn=2n-1+3n-1,
從而數(shù)列{cn}的前n項和
Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1=+=n2+.
規(guī)律方法 分組轉化法求和的常見類型
(1)若an=bncn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法求{an}的前n項和.
(2)通項公式為an=的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和.
(3)某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差,從而求得原數(shù)列的和,注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.
【變式訓練3】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=,n∈N+.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
故使Sn+n2n+1>50成立的正整數(shù)n的最小值為5.