2018年秋高中數學 第一章 導數及其應用 1.1 變化率與導數 1.1.1 變化率問題 1.1.2 導數的概念學案 新人教A版選修2-2.doc

《2018年秋高中數學 第一章 導數及其應用 1.1 變化率與導數 1.1.1 變化率問題 1.1.2 導數的概念學案 新人教A版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018年秋高中數學 第一章 導數及其應用 1.1 變化率與導數 1.1.1 變化率問題 1.1.2 導數的概念學案 新人教A版選修2-2.doc（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1.1　變化率與導數 1.1.1　變化率問題 1.1.2 導數的概念 學習目標：1.通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景.2.會求函數在某一點附近的平均變化率．(重點)3.會利用導數的定義求函數在某點處的導數．(重點、難點)4.理解函數的平均變化率，瞬時變化率及導數的概念．(易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1．函數的平均變化率 (1)函數y＝f(x)從x1到x2的平均變化率為＝，其中Δx＝x2－x1是相對于x1的一個“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相對于f(x1)的一個“增量”． (2)平均變化率的幾何意義 設A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲線y＝f(x)上任意不同的兩點，函數y＝f(x)的平均變化率＝＝為割線AB的斜率，如圖111所示． 圖111 思考：Δx，Δy的值一定是正值嗎？平均變化率是否一定為正值？ [提示] Δx，Δy可正可負，Δy也可以為零，但Δx不能為零．平均變化率可正、可負、可為零． 2．瞬時速度與瞬時變化率 (1)物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度． (2)函數f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是函數f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率在Δx→0時的極限即 ＝ . 3．導數的概念 函數y＝f(x)在x＝x0處的導數就是函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率，記作f′(x0)或y′| x＝x0，即f′(x0)＝ . [基礎自測] 1．思考辨析 (1)函數y＝f(x)在x＝x0處的導數值與Δx值的正、負無關．(　　) (2)瞬時變化率是刻畫某函數值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量．(　　) (3)在導數的定義中，Δx，Δy都不可能為零．(　　) 提示：(1)由導數的定義知，函數在x＝x0處的導數只與x0有關，故正確． (2)瞬時變化率是刻畫某一時刻變化快慢的物理量，故錯誤． (3)在導數的定義中，Δy可以為零，故錯誤． [答案]　(1)√　(2)　(3) 2．函數y＝f(x)，自變量x由x0改變到x0＋Δx時，函數的改變量Δy為(　　) 【導學號：31062000】 A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) D　[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故選D.] 3．若一質點按規(guī)律s＝8＋t2運動，則在一小段時間[2,2.1]內的平均速度是 (　　) A．4　　　 B．4.1 C．0.41　　　 D．－1.1 B　[＝＝＝＝4.1，故選B.] 4．函數f(x)＝x2在x＝1處的瞬時變化率是________． [解析]　∵f(x)＝x2.∴在x＝1處的瞬時變化率是 ＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. [答案]　2 5．函數f(x)＝2在x＝6處的導數等于________． [解析]　f′(6)＝ ＝ ＝0. [答案]　0 [合 作 探 究攻 重 難] 求函數的平均變化率 　已知函數f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)從0.1到0.2的平均變化率； (2)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率. 【導學號：31062001】 [解]　(1)因為f(x)＝3x2＋5， 所以從0.1到0.2的平均變化率為 ＝0.9. (2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5) ＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2. 函數f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為＝6x0＋3Δx. [規(guī)律方法]　1.求函數平均變化率的三個步驟 第一步，求自變量的增量Δx＝x2－x1； 第二步，求函數值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均變化率＝. 2.求平均變化率的一個關注點求點x0附近的平均變化率，可用的形式. [跟蹤訓練] 1．如圖112，函數y＝f(x)在A，B兩點間的平均變化率等于(　　) 圖112 A．1　　　 B．－1 C．2 D．－2 B　[平均變化率為＝－1.故選B.] 2．已知函數y＝f(x)＝2x2的圖象上點P(1,2)及鄰近點Q(1＋Δx,2＋Δy)，則的值為(　　) 【導學號：31062002】 A．4 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx D　[＝＝4＋2Δx.故選D.] 求瞬時速度 [探究問題] 1．物體的路程s與時間t的關系是s(t)＝5t2，如何計算物體在[1,1＋Δt]這段時間內的平均速度？ 提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt. 2．當Δt趨近于0時，探究1中的平均速度趨近于多少？怎樣理解這一速度？ 提示：當Δt趨近于0時，趨近于10，這時的平均速度即為當t＝1時的瞬時速度． 　某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時的瞬時速度． [思路探究]　 ―→ [解]　∵＝ ＝＝3＋Δt， ∴ ＝ (3＋Δt)＝3. ∴物體在t＝1處的瞬時變化率為3. 即物體在t＝1 s時的瞬時速度為3 m/s. 母題探究：1.(變結論)在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度． [解]　求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度． ∵＝ ＝＝1＋Δt， ∴ (1＋Δt)＝1. ∴物體在t＝0時的瞬時變化率為1，即物體的初速度為1 m/s. 2．(變結論)在本例條件不變的前提下，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9 m/s. [解]　設物體在t0時刻的瞬時速度為9 m/s. 又＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. ＝ (2t0＋1＋Δt) ＝2t0＋1. 則2t0＋1＝9， ∴t0＝4. 則物體在4 s時的瞬時速度為9 m/s. [規(guī)律方法]　求運動物體瞬時速度的三個步驟 (1)求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). (2)求平均速度＝. (3)求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，\f(Δs,Δt)無限趨近于常數v，即為瞬時速度. 求函數在某一點處的導數 　(1)設函數y＝f(x)在x＝x0處可導，且 ＝1，則f′(x0)等于(　　) A．1 B．－1 C．－ D． (2)求函數f(x)＝x－在x＝1處的導數． [思路探究]　(1)類比f′(x0)＝ 求解． (2)―→―→ (1)C　[∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝1， ∴f′(x0)＝－，故選C.] (2)∵Δy＝(1＋Δx)－－ ＝Δx＋1－＝Δx＋， ∴＝＝1＋， ∴f′(1)＝ ＝ ＝2. [規(guī)律方法]　求函數y＝f(x)在點x0處的導數的三個步驟 簡稱：一差、二比、三極限． [跟蹤訓練] 3．已知f′(1)＝－2，則 ＝________. 【導學號：31062003】 [解析]　∵f′(1)＝－2， ∴ ＝ ＝－2 ＝－2f′(1)＝－2(－2)＝4. [答案]　4 4．求函數y＝3x2在x＝1處的導數． [解]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx， ∴f′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6. [當 堂 達 標固 雙 基] 1．一物體的運動方程是s＝3＋2t，則在[2,2.1]這段時間內的平均速度是 (　　) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 B　[＝＝＝2.] 2．物體自由落體的運動方程為s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝＝＝9.8 m/s，那么下列說法中正確的是(　　) 【導學號：31062004】 A．9.8 m/s是物體從0 s到1 s這段時間內的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s這段時間內的速率 C．9.8 m/s是物體在t＝1 s這一時刻的速率 D．9.8 m/s是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時間內的平均速率 C　[結合平均變化率與瞬時變化率可知選項C正確．] 3．函數f(x)＝在x＝1處的導數為________． [解析]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1， ∴＝＝， ∴f′(1)＝ ＝ ＝. [答案]　 4．設f(x)在x0處可導，若 ＝A，則f′(x0)＝________. [解析]　 ＝3 ＝3f′(x0)＝A. 故f′(x0)＝A. [答案]　 5．在曲線y＝f(x)＝x2＋3上取一點P(1,4)及附近一點(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)；(2)f′(1). 【導學號：31062005】 [解]　(1)＝ ＝＝2＋Δx. (2)f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.