新編高考數學理一輪資源庫 第3章學案13

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1、新編高考數學復習資料 第3章　導數及其應用 學案13　導數的概念及運算 導學目標： 1.了解導數概念的實際背景，理解函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念．了解曲線的切線的概念.2.能根據導數定義，求函數y＝C (C為常數)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的導數．熟記基本初等函數的導數公式(c，xm (m為有理數)，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的導數)，能利用基本初等函數的導數公式及導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數(僅限于形如f(ax＋b))的導數． 自主梳理 1．函數f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為

2、________________________． 2．函數y＝f(x)在x＝x0處的導數 (1)定義 設f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，若Δx無限趨近于0時，比值＝____________________無限趨近于一個常數A，則稱f(x)在x＝x0處可導，并稱常數A為函數f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)． (2)幾何意義 函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是過曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))的____________． (3)導數的物理意義：函數s＝s(t)在點t0處的導數s′(t0)，是物體的運動方程s＝s(t)在t0時刻

3、的瞬時速度v，即v＝__________；v＝v(t)在點t0處的導數v′(t0)，是物體的運動方程v＝v(t)在t0時刻的瞬時加速度a，即a＝____________. 3．函數f(x)的導函數 如果函數y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內任一點都是可導的，就說f(x)在開區(qū)間(a，b)內可導，其導數也是開區(qū)間(a，b)內的函數，又稱作f(x)的導函數，記作y′或f′(x)． 4．基本初等函數的導數公式表 原函數 導函數 f(x)＝C(C為常數) f′(x)＝____ f(x)＝xα (α為常數) f′(x)＝______ (α為常數) f(x)＝sin x f′(x)＝_

4、_______ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax (a>0，a≠1) f′(x)＝______(a>0，a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax (a>0，a≠1，且x>0) f′(x)＝__________ f(x)＝ln x f′(x)＝________ 5.導數運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝____________； (2)[f(x)g(x)]′＝________________； (3)′＝________________________ [g(x)≠0]． 6．復合函數的

5、求導法則：若y＝f(u)，u＝ax＋b，則y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a. 自我檢測 1．(2011·中山期末統一考試)已知物體的運動方程為s＝t2＋(t是時間，s是位移)，則物體在時刻t＝2時的速度為________． 2．設y＝x2·ex，則y′＝______________. 3．已知函數y＝f(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是y＝x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________. 4．(2010·臨汾二模)若函數f(x)＝ex＋ae－x的導函數是奇函數，并且曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標是________． 5．(2009·湖

6、北)已知函數f(x)＝f′()cos x＋sin x，則f()＝________. 探究點一　利用導數的定義求函數的導數 例1　利用導數的定義求函數的導數： (1)f(x)＝在x＝1處的導數； (2)f(x)＝. 變式遷移1　求函數y＝在x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并求出其導函數． 探究點二　導數的運算 例2　求下列函數的導數： (1)y＝(1－)；(2)y＝； (3)y＝xex；(4)y＝tan x. 變式遷移2　求下列函數的導數： (1)y＝x2sin x；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝.

7、 探究點三　求復合函數的導數 例3　求下列函數的導數： (1)y＝(2x－3)5； (2)y＝； (3)y＝ln(2x＋5)． 變式遷移3　求下列函數的導數： (1)y＝； (2)y＝sin； (3)y＝x. 探究點四　導數的幾何意義 例4　已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程； (3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程． 變式遷移4　求曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點的切線方程． 1．準確理解曲線的切線，需注意的兩個方面

8、： (1)直線與曲線公共點的個數不是切線的本質特征，若直線與曲線只有一個公共點，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點． (2)曲線未必在其切線的“同側”，如曲線y＝x3在其過(0,0)點的切線y＝0的兩側． 2．曲線的切線的求法： 若已知曲線過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解． (1)點P(x0，y0)是切點的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)當點P(x0，y0)不是切點時可分以下幾步完成： 第一步：設出切點坐標P′(x1，f(x1))； 第二

9、步：寫出過P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1； 第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程． 3．求函數的導數要準確地把函數分割為基本初等函數的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數．在求導過程中，要仔細分析函數解析式的結構特征，緊扣法則，聯系基本初等函數求導公式，對于不具備求導法則結構形式的要適當變形． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·南通模擬)已知函數f(x)＝x3－x2

10、＋6x，當Δx→0時，→常數A，則A＝________. 2．一質點沿直線運動，如果由始點起經過t秒后的位移為s＝t3－t2＋2t，那么速度為零的時刻是__________． 3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為______________． 4．(2010·遼寧改編)已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是____________． 5．(2009·福建)若曲線f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是________． 6．(2009·安徽改編)設函數f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈

11、，則導數f′(1)的取值范圍為______________． 7．已知函數y＝f(x)，y＝g(x)的導函數的圖象如圖所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是________(填上正確的序號)． 8．(2011·南京模擬)若點P是曲線f(x)＝x2－ln x上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為________． 二、解答題(共42分) 9．(12分)求下列函數在x＝x0處的導數． (1)f(x)＝＋，x0＝2； (2)f(x)＝，x0＝1. 10．(14分)求經過點P(2,0)的曲線y＝的切線方程． 11．(16分)

12、設函數f(x)＝ax＋ (a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：函數y＝f(x)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心； (3)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值． 答案 自主梳理 1.　2.(1)　(2)切線的斜率　(3)s′(t0)　v′(t0)　4.0　αxα－1　cos x?。璼in x　axln a　ex　　　5.(1)f′(x)±g′(x) (2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　(3) 自我檢測 1.　

13、2.(2x＋x2)ex　3.3　4.ln 2　5.1 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　(1)用導數定義求函數導數必須把分式中的分母Δx這一因式約掉才可能求出極限，所以目標就是分子中出現Δx，從而分子分母相約分． (2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是處理根式問題常用的方法，有時用“分母有理化”，有時用“分子有理化”． (3)用導數的定義求導的步驟為： ①求函數的增量Δy；②求平均變化率；③化簡取極限． 解　(1)＝＝ ＝＝ ＝＝， 從而，當Δx→0時，→－，∴f′(1)＝－. (2)＝＝ ＝＝， 從而，當Δx→0時，→－， ∴f′(x)＝－. 變式

14、遷移1　解　∵Δy＝－ ＝＝， ∴＝. ∴Δx→0時，→.∴y′＝. 例2　解題導引　求函數的導數要準確地把函數分割為基本函數的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數．在求導過程中，要仔細分析函數解析式的結構特征，緊扣求導法則，聯系基本函數求導公式．對于不具備求導法則結構形式的要適當恒等變形． 解　(1)∵y＝(1－)＝－＝， ∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－. (2)y′＝′＝ ＝＝. (3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)． (4)y′＝′＝ ＝＝. 變式遷移2　解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′

15、＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2. (3)y′＝ ＝＝. 例3　解題導引　(1)求復合函數導數的思路流程為： →→ (2)由復合函數的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數的結構，解這類問題的關鍵是正確分析函數的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內，一層一層地分析，把復合函數分解成若干個常見的基本函數，逐步確定復合過程． 解　(1)設u＝2x－3，則y＝(2x－3)5由y＝u5與u＝2x－3復合而

16、成． ∴y′＝y′u·u′x＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4. (2)設u＝3－x，則y＝由y＝u與u＝3－x復合而成． ∴y′＝y′u·u′x＝u－(－1)＝－u－＝－. (3)設u＝2x＋5，則y＝ln(2x＋5) 由y＝ln u與u＝2x＋5復合而成． ∴y′＝y′u·u′x＝·2＝＝. 變式遷移3　解　(1)設u＝1－3x，y＝u－4. 則y′＝yu′·ux′＝－4u－5·(－3)＝. (2)設u＝2x＋，則y＝sin u， ∴y′＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos(2x＋)． (3)y′＝(x)′＝x′·＋x()′ ＝＋＝. 例4　解題導引

17、　(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異；過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點． (2)求函數對應曲線在某一點處的切線的斜率，只要求函數在該點處的導數即可． (3)解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標來解決． 解　(1)∵y′＝x2，∴在點P(2,4)處的切線的斜率k＝4. ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為 y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)設曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率k＝x. ∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝xx－x＋.

18、∵點P(2,4)在切線上， ∴4＝2x－x＋， 即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. (3)設切點為(x0，y0)，則 切線的斜率為k＝x＝1，解得x0＝±1， 故切點為，(－1,1)． 故所求切線方程為y－＝x－1和y－1＝x＋1， 即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0. 變式遷移4　解　f′(x)＝3x2－6x＋2.設切線的斜率為k. (1)當切點是原點時k＝f′(0)＝2，所以所求曲線的切線方

19、程為y＝2x. (2)當切點不是原點時，設切點是(x0，y0)，則有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，① 又k＝＝x－3x0＋2，② 由①②得x0＝，k＝－. ∴所求曲線的切線方程為y＝－x. 綜上，曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點的切線方程為 y＝2x或y＝－x. 課后練習區(qū) 1．3　2.1秒或2秒末　3.4x－y－3＝0　4. 5．a<0 解析　由題意可知該函數的定義域為{x|x>0}，且f′(x)＝2ax＋.因為曲線存在垂直于y軸的切線，故此時斜率為0，問題轉化為x>0范圍內導函數f′(x)＝2ax＋存在零點．令2ax＋＝0，即2ax2

20、＋1＝0，即x2＝－，顯然只有a<0，方程2ax2＋1＝0才有正實數根，故實數a的取值范圍是a<0. 6．[，2] 解析　∵f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x， ∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin， 又θ∈.∴≤θ＋≤， ∴≤sin≤1，∴≤f′(1)≤2. 7．④ 解析　由導函數y＝f′(x)的圖象可知y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調遞減，說明函數y＝f(x)的圖象上任意一點切線的斜率為單調遞減，故可排除①、③. 又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)在點x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線斜率相同，故可排除②.

21、8. 解析　過點P作y＝x－2的平行直線，且與曲線f(x)＝x2－ln x相切． 設P(x0，x－ln x0)，則有k＝f′(x0)＝2x0－. ∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴P點坐標為(1,1)，∴d＝＝，即最小距離為. 9．解　(1)∵f′(x)＝′＝ ＝，∴f′(2)＝0.…………………………………………………………………(6分) (2)∵f′(x)＝(x－)′－x′＋(ln x)′ ＝－x－－1＋，∴f′(1)＝－.………………………………………………………(12分) 10．解　設切點為M(x0，y0)(x0≠0)，則y0＝. ∵切線過P(2,0)，

22、 ∴切線斜率為＝.…………………………………………………………(4分) 又y′＝()′＝－，∴k＝－.…………………………………………………………(6分) 由導數的幾何意義知－＝. 解得x0＝1.………………………………………………………………………………(10分) ∴y0＝＝1，∴M(1,1)．∴切線斜率為k＝－1， 故切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.………………………………………(14分) 11．(1)解　f′(x)＝a－，…………………………………………………………(2分) 于是解得或 因為a，b∈Z，故f(x)＝x＋.…………………………………………

23、………………(6分) (2)證明　已知函數y1＝x，y2＝都是奇函數， 所以函數g(x)＝x＋也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形．而f(x)＝x－1＋＋1. 可知，函數g(x)的圖象按向量a＝(1,1)平移，即得到函數f(x)的圖象， 故函數f(x)的圖象是以點(1,1)為中心的中心對稱圖形．………………………………(10分) (3)證明　在曲線上任取一點， 由f′(x0)＝1－知，過此點的切線方程為 y－＝(x－x0)．…………………………………………………(12分) 令x＝1，得y＝， 切線與直線x＝1的交點為； 令y＝x，得y＝2x0－1， 切線與直線y＝x的交點為(2x0－1,2x0－1)； 直線x＝1與直線y＝x的交點為(1,1)， 從而所圍三角形的面積為 |2x0－1－1|＝|2x0－2|＝2. 所以，所圍三角形的面積為定值2.……………………………………………………(16分)