新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第3章學(xué)案13
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新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第3章學(xué)案13
新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
學(xué)案13 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算
導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,理解函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,理解導(dǎo)函數(shù)的概念.了解曲線的切線的概念.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,求函數(shù)y=C (C為常數(shù)),y=x,y=x2,y=,y=的導(dǎo)數(shù).熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(c,xm (m為有理數(shù)),sin x,cos x,ex,ax,ln x,logax的導(dǎo)數(shù)),能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù).
自主梳理
1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為________________________.
2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)
(1)定義
設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義,x0∈(a,b),若Δx無(wú)限趨近于0時(shí),比值=____________________無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A,則稱f(x)在x=x0處可導(dǎo),并稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0).
(2)幾何意義
函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是過(guò)曲線y=f(x)上點(diǎn)(x0,f(x0))的____________.
(3)導(dǎo)數(shù)的物理意義:函數(shù)s=s(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)s′(t0),是物體的運(yùn)動(dòng)方程s=s(t)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v,即v=__________;v=v(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)v′(t0),是物體的運(yùn)動(dòng)方程v=v(t)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a,即a=____________.
3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)
如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)都是可導(dǎo)的,就說(shuō)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)也是開區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù),又稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作y′或f′(x).
4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表
原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)=C(C為常數(shù))
f′(x)=____
f(x)=xα (α為常數(shù))
f′(x)=______ (α為常數(shù))
f(x)=sin x
f′(x)=________
f(x)=cos x
f′(x)=________
f(x)=ax (a>0,a≠1)
f′(x)=______(a>0,a≠1)
f(x)=ex
f′(x)=________
f(x)=logax
(a>0,a≠1,且x>0)
f′(x)=__________
f(x)=ln x
f′(x)=________
5.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則
(1)[f(x)±g(x)]′=____________;
(2)[f(x)g(x)]′=________________;
(3)′=________________________ [g(x)≠0].
6.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:若y=f(u),u=ax+b,則y′x=y(tǒng)′u·u′x,即y′x=y(tǒng)′u·a.
自我檢測(cè)
1.(2011·中山期末統(tǒng)一考試)已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=t2+(t是時(shí)間,s是位移),則物體在時(shí)刻t=2時(shí)的速度為________.
2.設(shè)y=x2·ex,則y′=______________.
3.已知函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)M(1,f(1))處的切線方程是y=x+2,則f(1)+f′(1)=________.
4.(2010·臨汾二模)若函數(shù)f(x)=ex+ae-x的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù),并且曲線y=f(x)的一條切線的斜率是,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是________.
5.(2009·湖北)已知函數(shù)f(x)=f′()cos x+sin x,則f()=________.
探究點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
例1 利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)f(x)=在x=1處的導(dǎo)數(shù);
(2)f(x)=.
變式遷移1 求函數(shù)y=在x0到x0+Δx之間的平均變化率,并求出其導(dǎo)函數(shù).
探究點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=(1-);(2)y=;
(3)y=xex;(4)y=tan x.
變式遷移2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=x2sin x;(2)y=3xex-2x+e;(3)y=.
探究點(diǎn)三 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=(2x-3)5;
(2)y=;
(3)y=ln(2x+5).
變式遷移3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=;
(2)y=sin;
(3)y=x.
探究點(diǎn)四 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
例4 已知曲線y=x3+.
(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程;
(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程;
(3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程.
變式遷移4 求曲線f(x)=x3-3x2+2x過(guò)原點(diǎn)的切線方程.
1.準(zhǔn)確理解曲線的切線,需注意的兩個(gè)方面:
(1)直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征,若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線不一定是曲線的切線,同樣,若直線是曲線的切線,則直線也可能與曲線有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn).
(2)曲線未必在其切線的“同側(cè)”,如曲線y=x3在其過(guò)(0,0)點(diǎn)的切線y=0的兩側(cè).
2.曲線的切線的求法:
若已知曲線過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線則需分點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解.
(1)點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0).
(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)不是切點(diǎn)時(shí)可分以下幾步完成:
第一步:設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1,f(x1));
第二步:寫出過(guò)P′(x1,f(x1))的切線方程為y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);
第三步:將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)代入切線方程求出x1;
第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程.
3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù).在求導(dǎo)過(guò)程中,要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,緊扣法則,聯(lián)系基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式,對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)變形.
(滿分:90分)
一、填空題(每小題6分,共48分)
1.(2010·南通模擬)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+6x,當(dāng)Δx→0時(shí),→常數(shù)A,則A=________.
2.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的位移為s=t3-t2+2t,那么速度為零的時(shí)刻是__________.
3.若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直,則l的方程為______________.
4.(2010·遼寧改編)已知點(diǎn)P在曲線y=上,α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是____________.
5.(2009·福建)若曲線f(x)=ax2+ln x存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
6.(2009·安徽改編)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+x2+tanθ,其中θ∈,則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍為______________.
7.已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是________(填上正確的序號(hào)).
8.(2011·南京模擬)若點(diǎn)P是曲線f(x)=x2-ln x上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為________.
二、解答題(共42分)
9.(12分)求下列函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).
(1)f(x)=+,x0=2;
(2)f(x)=,x0=1.
10.(14分)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,0)的曲線y=的切線方程.
11.(16分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形,并求其對(duì)稱中心;
(3)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值,并求出此定值.
答案 自主梳理
1. 2.(1) (2)切線的斜率 (3)s′(t0) v′(t0) 4.0 αxα-1 cos x?。璼in x axln a ex 5.(1)f′(x)±g′(x) (2)f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (3)
自我檢測(cè)
1. 2.(2x+x2)ex 3.3 4.ln 2 5.1
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 (1)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)必須把分式中的分母Δx這一因式約掉才可能求出極限,所以目標(biāo)就是分子中出現(xiàn)Δx,從而分子分母相約分.
(2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”.“有理化”是處理根式問(wèn)題常用的方法,有時(shí)用“分母有理化”,有時(shí)用“分子有理化”.
(3)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)的步驟為:
①求函數(shù)的增量Δy;②求平均變化率;③化簡(jiǎn)取極限.
解 (1)==
==
==,
從而,當(dāng)Δx→0時(shí),→-,∴f′(1)=-.
(2)==
==,
從而,當(dāng)Δx→0時(shí),→-,
∴f′(x)=-.
變式遷移1 解 ∵Δy=-
==,
∴=.
∴Δx→0時(shí),→.∴y′=.
例2 解題導(dǎo)引 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù).在求導(dǎo)過(guò)程中,要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,緊扣求導(dǎo)法則,聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式.對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形.
解 (1)∵y=(1-)=-=,
∴y′=(x-)′-(x)′=-x--x-.
(2)y′=′=
==.
(3)y′=x′ex+x(ex)′=ex+xex=ex(x+1).
(4)y′=′=
==.
變式遷移2 解 (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
(2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′
=3xln 3·ex+3xex-2xln 2=(ln 3+1)(3e)x-2xln 2.
(3)y′=
==.
例3 解題導(dǎo)引 (1)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的思路流程為:
→→
(2)由復(fù)合函數(shù)的定義可知,中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu),解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次,一般是從最外層開始,由外向內(nèi),一層一層地分析,把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù),逐步確定復(fù)合過(guò)程.
解 (1)設(shè)u=2x-3,則y=(2x-3)5由y=u5與u=2x-3復(fù)合而成.
∴y′=y(tǒng)′u·u′x=5u4·2=10u4=10(2x-3)4.
(2)設(shè)u=3-x,則y=由y=u與u=3-x復(fù)合而成.
∴y′=y(tǒng)′u·u′x=u-(-1)=-u-=-.
(3)設(shè)u=2x+5,則y=ln(2x+5)
由y=ln u與u=2x+5復(fù)合而成.
∴y′=y(tǒng)′u·u′x=·2==.
變式遷移3 解 (1)設(shè)u=1-3x,y=u-4.
則y′=y(tǒng)u′·ux′=-4u-5·(-3)=.
(2)設(shè)u=2x+,則y=sin u,
∴y′=y(tǒng)′u·u′x=cos u·2=2cos(2x+).
(3)y′=(x)′=x′·+x()′
=+=.
例4 解題導(dǎo)引 (1)求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異;過(guò)點(diǎn)P的切線中,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),點(diǎn)P也不一定在已知曲線上,而在點(diǎn)P處的切線,必以點(diǎn)P為切點(diǎn).
(2)求函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線在某一點(diǎn)處的切線的斜率,只要求函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即可.
(3)解決“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題,一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決.
解 (1)∵y′=x2,∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k=4.
∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為
y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)設(shè)曲線y=x3+與過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A,則切線的斜率k=x.
∴切線方程為y-=x(x-x0),
即y=xx-x+.∵點(diǎn)P(2,4)在切線上,
∴4=2x-x+,
即x-3x+4=0,∴x+x-4x+4=0,
∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.
(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則
切線的斜率為k=x=1,解得x0=±1,
故切點(diǎn)為,(-1,1).
故所求切線方程為y-=x-1和y-1=x+1,
即3x-3y+2=0和x-y+2=0.
變式遷移4 解 f′(x)=3x2-6x+2.設(shè)切線的斜率為k.
(1)當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)k=f′(0)=2,所以所求曲線的切線方程為y=2x.
(2)當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)是(x0,y0),則有y0=x-3x+2x0,k=f′(x0)=3x-6x0+2,①
又k==x-3x0+2,②
由①②得x0=,k=-.
∴所求曲線的切線方程為y=-x.
綜上,曲線f(x)=x3-3x2+2x過(guò)原點(diǎn)的切線方程為
y=2x或y=-x.
課后練習(xí)區(qū)
1.3 2.1秒或2秒末 3.4x-y-3=0 4.
5.a(chǎn)<0
解析 由題意可知該函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0},且f′(x)=2ax+.因?yàn)榍€存在垂直于y軸的切線,故此時(shí)斜率為0,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x>0范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2ax+存在零點(diǎn).令2ax+=0,即2ax2+1=0,即x2=-,顯然只有a<0,方程2ax2+1=0才有正實(shí)數(shù)根,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<0.
6.[,2]
解析 ∵f′(x)=sin θ·x2+cos θ·x,
∴f′(1)=sin θ+cos θ=2sin,
又θ∈.∴≤θ+≤,
∴≤sin≤1,∴≤f′(1)≤2.
7.④
解析 由導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可知y=f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,說(shuō)明函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)切線的斜率為單調(diào)遞減,故可排除①、③.
又由圖象知y=f′(x)與y=g′(x)在點(diǎn)x=x0處相交,說(shuō)明y=f(x)與y=g(x)的圖象在x=x0處的切線斜率相同,故可排除②.
8.
解析 過(guò)點(diǎn)P作y=x-2的平行直線,且與曲線f(x)=x2-ln x相切.
設(shè)P(x0,x-ln x0),則有k=f′(x0)=2x0-.
∴2x0-=1,∴x0=1或x0=-(舍去),∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),∴d==,即最小距離為.
9.解 (1)∵f′(x)=′=
=,∴f′(2)=0.…………………………………………………………………(6分)
(2)∵f′(x)=(x-)′-x′+(ln x)′
=-x--1+,∴f′(1)=-.………………………………………………………(12分)
10.解 設(shè)切點(diǎn)為M(x0,y0)(x0≠0),則y0=.
∵切線過(guò)P(2,0),
∴切線斜率為=.…………………………………………………………(4分)
又y′=()′=-,∴k=-.…………………………………………………………(6分)
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知-=.
解得x0=1.………………………………………………………………………………(10分)
∴y0==1,∴M(1,1).∴切線斜率為k=-1,
故切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.………………………………………(14分)
11.(1)解 f′(x)=a-,…………………………………………………………(2分)
于是解得或
因?yàn)閍,b∈Z,故f(x)=x+.…………………………………………………………(6分)
(2)證明 已知函數(shù)y1=x,y2=都是奇函數(shù),
所以函數(shù)g(x)=x+也是奇函數(shù),其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形.而f(x)=x-1++1.
可知,函數(shù)g(x)的圖象按向量a=(1,1)平移,即得到函數(shù)f(x)的圖象,
故函數(shù)f(x)的圖象是以點(diǎn)(1,1)為中心的中心對(duì)稱圖形.………………………………(10分)
(3)證明 在曲線上任取一點(diǎn),
由f′(x0)=1-知,過(guò)此點(diǎn)的切線方程為
y-=(x-x0).…………………………………………………(12分)
令x=1,得y=,
切線與直線x=1的交點(diǎn)為;
令y=x,得y=2x0-1,
切線與直線y=x的交點(diǎn)為(2x0-1,2x0-1);
直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為(1,1),
從而所圍三角形的面積為
|2x0-1-1|=|2x0-2|=2.
所以,所圍三角形的面積為定值2.……………………………………………………(16分)