高三數(shù)學北師大版文一輪教師用書：第12章 第2節(jié)　參數(shù)方程 Word版含解析

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1、 第二節(jié)　參數(shù)方程 [最新考綱]　1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓曲線的參數(shù)方程． (對應學生用書第208頁) 1．曲線的參數(shù)方程 在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)． 2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程 點的 軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 y－y0＝tan α(x－x0) (t為參數(shù)) 圓 x2＋y2＝r2 (θ為參數(shù)

2、) 橢圓 ＋＝1(a＞b＞0) (φ為參數(shù)) 直線參數(shù)方程的標準形式的應用 過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是若M1，M2是l上的兩點，其對應參數(shù)分別為t1，t2，則 ①|M1M2|＝|t1－t2|. ②若線段M1M2的中點M所對應的參數(shù)為t，則t＝，中點M到定點M0的距離|MM0|＝|t|＝. ③若M0為線段M1M2的中點，則t1＋t2＝0. ④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù)． (　　) (2)過M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方

3、程為(t為參數(shù))．參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段的數(shù)量． (　　) (3)方程表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓． (　　) (4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應參數(shù)t＝，點O為原點，則直線OM的斜率為. (　　) [答案](1)√　(2)√　(3)√　(4)× 二、教材改編 1．曲線(θ為參數(shù))的對稱中心(　　) A．在直線y＝2x上　 B．在直線y＝－2x上 C．在直線y＝x－1上 D．在直線y＝x＋1上 B　[由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1. 曲線是以(－1,2)為圓心，1

4、為半徑的圓， 所以對稱中心為(－1,2)，在直線y＝－2x上．] 2．直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線l的斜率為________． －3　[將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y－2＝－3(x－1)，因此直線l的斜率為－3.] 3．曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線C的普通方程為________． y＝2－2x2(－1≤x≤1)　[由(θ為參數(shù))消去參數(shù)θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．] 4．在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點，則a＝________. 3　[直線l的普通方程為x－y－a＝0，橢圓C的普通方程為＋＝1，∴橢圓

5、C的右頂點坐標為(3,0)，若直線l過(3,0)，則3－a＝0，∴a＝3.] (對應學生用書第209頁) ⊙考點1　參數(shù)方程與普通方程的互化 　將參數(shù)方程化為普通方程的方法 將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據參數(shù)方程的結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關系式消參(如sin2θ＋cos2θ＝1等)． 　將下列參數(shù)方程化為普通方程 (1)(t為參數(shù))． (2)(θ為參數(shù))． (3)(t為參數(shù)) (4)(t為參數(shù))． [解](1)由 得 ∴4x2－4y2＝(et＋e－t)2－(e

6、t－e－t)2＝4， ∴x2－y2＝1. (2)由 得 ∴(2y)2＋x＝(sin θ＋cos θ)2＋(－1－sin 2θ)＝0， ∴y2＝－， 又－2≤－1－sin 2θ≤0，即－2≤x≤0， ∴y2＝－(－2≤x≤0)． (3)∵x＝， y＝＝ ＝4－3×＝4－3x， 又x＝＝ ＝2－∈[0,2)，∴x∈[0,2)， ∴所求的普通方程為3x＋y－4＝0(0≤x＜2)． (4)∵－1＜≤1，即－1＜x≤1， 且x2＋＝＋＝1. ∴普通方程為x2＋＝1(x≠－1)． 　將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，防止增解． ⊙考點2　參數(shù)方程的應用

7、 1．應用直線參數(shù)方程的注意點 在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時，要注意參數(shù)前面的系數(shù)應該是該直線傾斜角的正、余弦值(即系數(shù)平方和等于1)，否則參數(shù)不具備該幾何含義． 2．圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應用 有關圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用它們的參數(shù)方程轉化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解，掌握參數(shù)方程與普通方程互化的規(guī)律是解此類題的關鍵． 　(2019·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐

8、標方程； (2)求C上的點到l距離的最小值． [解](1)因為－1＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐標方程為x2＋＝1(x≠－1)． l的直角坐標方程為2x＋y＋11＝0. (2)由(1)可設C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，－π＜α＜π)． C上的點到l的距離為 ＝. 當α＝－時，4cos＋11取得最小值7， 故C上的點到l距離的最小值為. 　求橢圓上的點到直線的距離的最值問題，常用三角代換法求解． [教師備選例題] 　在直角坐標系xOy中，設傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C：(θ為參數(shù))相交于不同的兩點A，B. (1)若α＝，求線段AB的中點

9、的直角坐標； (2)若直線l的斜率為2，且過已知點P(3,0)，求|PA|·|PB|的值． [解](1)由曲線C：(θ為參數(shù))， 可得曲線C的普通方程是x2－y2＝1. 當α＝時，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入曲線C的普通方程，得t2－6t－16＝0， 得t1＋t2＝6，所以線段AB的中點對應的t＝＝3， 故線段AB的中點的直角坐標為. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，化簡得(cos2α－sin2α)t2＋6cos αt＋8＝0， 則|PA|·|PB|＝|t1t2|＝ ＝， 由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝. 　在平面直角坐標系xOy

10、中，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l經過點P(1,2)，傾斜角α＝. (1)寫出圓C的普通方程和直線l的參數(shù)方程； (2)設直線l與圓C相交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值． [解](1)由消去θ， 得圓C的普通方程為x2＋y2＝16. 又直線l過點P(1,2)且傾斜角α＝， 所以l的參數(shù)方程為即(t為參數(shù))． (2)把直線l的參數(shù)方程 代入x2＋y2＝16， 得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0， 所以t1t2＝－11， 由參數(shù)方程的幾何意義，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11. ⊙考點3　極坐標、參數(shù)方程的綜合應用 　處理極坐標、參數(shù)方程綜合問題的

11、方法 (1)涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解．當然，還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程． (2)數(shù)形結合的應用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的． 　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若l與C交于A，B兩點，設M(1,2)，求＋的值． [解](1)由得消去參數(shù)t得3(x－1)＝y(tǒng)－2， 即3x－y－1＝

12、0，所以直線l的普通方程為3x－y－1＝0. 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 化為直角坐標方程得x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0， 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－4x＝0. (2)把x＝1＋t，y＝2＋3t代入x2＋y2－4x＝0， 得(1＋t)2＋(2＋3t)2－4(1＋t)＝0，整理得10t2＋10t＋1＝0， Δ＝102－4×10＞0，設方程10t2＋10t＋1＝0的兩個根分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－1，t1t2＝，顯然t1＜0，t2＜0， 因為直線l的參數(shù)方程為 即 所以＋＝＋＝－＝－＝－＝. 　解答本例第(2)問時，易誤認為

13、|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，導致解題錯誤．應把直線的參數(shù)方程化為標準的參數(shù)方程，然后再求解． [教師備選例題] 　在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． [解](1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)法一：由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，消去參數(shù)t得y＝x·tan α. 設直線l的斜率為k，則直線l的方程為kx－y＝0.

14、由圓C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圓心坐標為(－6,0)，半徑為5. 　又|AB|＝，由垂徑定理及點到直線的距離公式得＝，即＝， 整理得k2＝，解得k＝±， 即l的斜率為±. 法二：在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)． 設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±. 所以l的斜率為或－. 　1.(2019·衡水模擬)在直角坐標系xOy中，直線l的

15、參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2－2ρcos θ＝3. (1)求曲線C的直角坐標方程，并說明它為何種曲線； (2)設點P的坐標為(3,3)，直線l交曲線C于A，B兩點，求|PA|＋|PB|的最大值． [解](1)將代入ρ2－2ρcos θ＝3中得x2＋y2－2x＝3， 即(x－1)2＋y2＝4，曲線C是一個以(1,0)為圓心，2為半徑的圓． (2)由直線l的參數(shù)方程，知其過定點P(3,3)，由于直線l與曲線C相交，由圖像知其傾斜角α為銳角． 聯(lián)立與(x－1)2＋y2＝4，整理得到關于t的二次方程t2＋(4cos α＋6

16、sin α)t＋9＝0. 由Δ＞0知(4cos α＋6sin α)2－36＞0，則4cos α＋6sin α＞6或4cos α＋6sin α＜－6(舍)． 又由于點A，B均在點P的下方，由參數(shù)t的幾何意義，知 |PA|＋|PB|＝－(t1＋t2)＝4cos α＋6sin α＝2sin(α＋φ)∈(6,2]. 所以|PA|＋|PB|的最大值為2. 2．(2019·汕頭模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，a＞0)．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為ρcos＝2. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程； (2)設P是曲線C上的一個動點，若點P到直線l的距離的最大值為3，求a的值． [解](1)依題意得曲線C的普通方程為＋＝1， 因為ρcos＝2，所以ρcos θ＋ρsin θ＝4， 因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以直線l的直角坐標方程為x＋y＝4，即x＋y－4＝0， (2)設點P(acos α，asin α)，則點P到直線l的距離 d＝ ＝， 因為a＞0，所以當sin＝－1時，dmax＝＝3， 所以a＝1.