高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第12章 第2節(jié)　參數(shù)方程 Word版含解析

第二節(jié)　參數(shù)方程 [最新考綱]　1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓曲線的參數(shù)方程． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第208頁(yè)) 1．曲線的參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)． 2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程 點(diǎn)的 軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 y－y0＝tan α(x－x0) (t為參數(shù)) 圓 x2＋y2＝r2 (θ為參數(shù)) 橢圓 ＋＝1(a＞b＞0) (φ為參數(shù)) 直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用 過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則 ①|(zhì)M1M2|＝|t1－t2|. ②若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝，中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|＝|t|＝. ③若M0為線段M1M2的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0. ④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù)． (　　) (2)過(guò)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量． (　　) (3)方程表示以點(diǎn)(0,1)為圓心，以2為半徑的圓． (　　) (4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t＝，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為. (　　) [答案](1)√　(2)√　(3)√　(4)× 二、教材改編 1．曲線(θ為參數(shù))的對(duì)稱中心(　　) A．在直線y＝2x上　 B．在直線y＝－2x上 C．在直線y＝x－1上 D．在直線y＝x＋1上 B　[由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1. 曲線是以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓， 所以對(duì)稱中心為(－1,2)，在直線y＝－2x上．] 2．直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線l的斜率為________． －3　[將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y－2＝－3(x－1)，因此直線l的斜率為－3.] 3．曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線C的普通方程為________． y＝2－2x2(－1≤x≤1)　[由(θ為參數(shù))消去參數(shù)θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．] 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則a＝________. 3　[直線l的普通方程為x－y－a＝0，橢圓C的普通方程為＋＝1，∴橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，若直線l過(guò)(3,0)，則3－a＝0，∴a＝3.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第209頁(yè)) ⊙考點(diǎn)1　參數(shù)方程與普通方程的互化 　將參數(shù)方程化為普通方程的方法 將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等，對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參(如sin2θ＋cos2θ＝1等)． 　將下列參數(shù)方程化為普通方程 (1)(t為參數(shù))． (2)(θ為參數(shù))． (3)(t為參數(shù)) (4)(t為參數(shù))． [解](1)由 得 ∴4x2－4y2＝(et＋e－t)2－(et－e－t)2＝4， ∴x2－y2＝1. (2)由 得 ∴(2y)2＋x＝(sin θ＋cos θ)2＋(－1－sin 2θ)＝0， ∴y2＝－， 又－2≤－1－sin 2θ≤0，即－2≤x≤0， ∴y2＝－(－2≤x≤0)． (3)∵x＝， y＝＝ ＝4－3×＝4－3x， 又x＝＝ ＝2－∈[0,2)，∴x∈[0,2)， ∴所求的普通方程為3x＋y－4＝0(0≤x＜2)． (4)∵－1＜≤1，即－1＜x≤1， 且x2＋＝＋＝1. ∴普通方程為x2＋＝1(x≠－1)． 　將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，防止增解． ⊙考點(diǎn)2　參數(shù)方程的應(yīng)用 1．應(yīng)用直線參數(shù)方程的注意點(diǎn) 在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時(shí)，要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正、余弦值(即系數(shù)平方和等于1)，否則參數(shù)不具備該幾何含義． 2．圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用 有關(guān)圓或圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)距離的最大值、最小值以及取值范圍的問(wèn)題，通常利用它們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解，掌握參數(shù)方程與普通方程互化的規(guī)律是解此類題的關(guān)鍵． 　(2019·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值． [解](1)因?yàn)椋?＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1(x≠－1)． l的直角坐標(biāo)方程為2x＋y＋11＝0. (2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，－π＜α＜π)． C上的點(diǎn)到l的距離為 ＝. 當(dāng)α＝－時(shí)，4cos＋11取得最小值7， 故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為. 　求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值問(wèn)題，常用三角代換法求解． [教師備選例題] 　在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C：(θ為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A，B. (1)若α＝，求線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)； (2)若直線l的斜率為2，且過(guò)已知點(diǎn)P(3,0)，求|PA|·|PB|的值． [解](1)由曲線C：(θ為參數(shù))， 可得曲線C的普通方程是x2－y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入曲線C的普通方程，得t2－6t－16＝0， 得t1＋t2＝6，所以線段AB的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的t＝＝3， 故線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，化簡(jiǎn)得(cos2α－sin2α)t2＋6cos αt＋8＝0， 則|PA|·|PB|＝|t1t2|＝ ＝， 由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝. 　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，傾斜角α＝. (1)寫出圓C的普通方程和直線l的參數(shù)方程； (2)設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的值． [解](1)由消去θ， 得圓C的普通方程為x2＋y2＝16. 又直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2)且傾斜角α＝， 所以l的參數(shù)方程為即(t為參數(shù))． (2)把直線l的參數(shù)方程 代入x2＋y2＝16， 得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0， 所以t1t2＝－11， 由參數(shù)方程的幾何意義，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11. ⊙考點(diǎn)3　極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 　處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問(wèn)題的方法 (1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程． (2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的． 　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)M(1,2)，求＋的值． [解](1)由得消去參數(shù)t得3(x－1)＝y(tǒng)－2， 即3x－y－1＝0，所以直線l的普通方程為3x－y－1＝0. 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 化為直角坐標(biāo)方程得x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x＝0. (2)把x＝1＋t，y＝2＋3t代入x2＋y2－4x＝0， 得(1＋t)2＋(2＋3t)2－4(1＋t)＝0，整理得10t2＋10t＋1＝0， Δ＝102－4×10＞0，設(shè)方程10t2＋10t＋1＝0的兩個(gè)根分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－1，t1t2＝，顯然t1＜0，t2＜0， 因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為 即 所以＋＝＋＝－＝－＝－＝. 　解答本例第(2)問(wèn)時(shí)，易誤認(rèn)為|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．應(yīng)把直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程，然后再求解． [教師備選例題] 　在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝，求l的斜率． [解](1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)法一：由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，消去參數(shù)t得y＝x·tan α. 設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為kx－y＝0. 由圓C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圓心坐標(biāo)為(－6,0)，半徑為5. 　又|AB|＝，由垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式得＝，即＝， 整理得k2＝，解得k＝±， 即l的斜率為±. 法二：在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)． 設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±. 所以l的斜率為或－. 　1.(2019·衡水模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ＝3. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它為何種曲線； (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)，直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求|PA|＋|PB|的最大值． [解](1)將代入ρ2－2ρcos θ＝3中得x2＋y2－2x＝3， 即(x－1)2＋y2＝4，曲線C是一個(gè)以(1,0)為圓心，2為半徑的圓． (2)由直線l的參數(shù)方程，知其過(guò)定點(diǎn)P(3,3)，由于直線l與曲線C相交，由圖像知其傾斜角α為銳角． 聯(lián)立與(x－1)2＋y2＝4，整理得到關(guān)于t的二次方程t2＋(4cos α＋6sin α)t＋9＝0. 由Δ＞0知(4cos α＋6sin α)2－36＞0，則4cos α＋6sin α＞6或4cos α＋6sin α＜－6(舍)． 又由于點(diǎn)A，B均在點(diǎn)P的下方，由參數(shù)t的幾何意義，知 |PA|＋|PB|＝－(t1＋t2)＝4cos α＋6sin α＝2sin(α＋φ)∈(6,2]. 所以|PA|＋|PB|的最大值為2. 2．(2019·汕頭模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，a＞0)．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為3，求a的值． [解](1)依題意得曲線C的普通方程為＋＝1， 因?yàn)棣裞os＝2，所以ρcos θ＋ρsin θ＝4， 因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝4，即x＋y－4＝0， (2)設(shè)點(diǎn)P(acos α，asin α)，則點(diǎn)P到直線l的距離 d＝ ＝， 因?yàn)閍＞0，所以當(dāng)sin＝－1時(shí)，dmax＝＝3， 所以a＝1.