高中數(shù)學(xué)人教B版必修5同步練習(xí)：第1章 解三角形1.2 第1課時 Word版含解析

第一章　1.2　第1課時 一、選擇題 1．海上有A、B兩個小島相距10 n mile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是(　　) A．10 n mile　　　　　　 B．10 n mile C．5 n mile　 D．5 n mile [答案]　D [解析]　如圖，由正弦定理，得 ＝， ∴BC＝5. 2．某人向正東方向走x km后，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好 km，那么x的值為(　　) A．　 B．2 C．2或　 D．3 [答案]　C [解析]　由題意畫出三角形如圖．則∠ABC＝30°， 由余弦定理，得cos30°＝，∴x＝2或. 3．兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km　 B．a(chǎn) km C．a(chǎn) km　 D．2a km [答案]　B [解析]　∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝a(km)． 4．(2016·三亞高二檢測)有一長為10 m的斜坡，它的傾斜角是75°，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延伸(　　) A．5 m　 B．10 m C．10 m　 D．10 m [答案]　C [解析]　如圖，在△ABC中，由正弦定理，得 ＝，∴x＝10 m. 5．江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距(　　) A．10 m　 B．100 m C．20 m　 D．30 m [答案]　D [解析]　設(shè)炮臺頂部為A，兩條船分別為B、C，炮臺底部為D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分別在Rt△ADB、Rt△ADC中，求得BD＝30，DC＝30.在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30. 6．(2016·南昌模擬)當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ＋30°角的方向沿直線前往B處營救，則sinθ的值為(　　) A．　 B． C．　 D． [答案]　A [解析]　連接BC．在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，∴BC＝10，再由正弦定理，得＝，∴sinθ＝. 二、填空題 7．兩船同時從A港出發(fā)，甲船以每小時20 n mile的速度向北偏東80°的方向航行，乙船以每小時12 n mile的速度向北偏西40°方向航行，一小時后，兩船相距________ n mile. [答案]　28 [解析]　如圖，△ABC中，AB＝20，AC＝12， ∠CAB＝40°＋80°＝120°， 由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784， ∴BC＝28(n mile)． 8．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在點A處望見燈塔S在船的北偏東30°方向上，15 min后到點B處望見燈塔在船的北偏東65°方向上，則船在點B時與燈塔S的距離是______ km.(精確到0.1 km) [答案]　5.2 [解析]　作出示意圖如圖．由題意知， 則AB＝24×＝6， ∠ASB＝35°，由正弦定理，得＝， 可得BS≈5.2(km)． 三、解答題 9.如圖，甲船以每小時30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20 n mile.當(dāng)甲船航行20 min到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10 n mile，問乙船每小時航行多少n mile? [解析]　解法一：如圖，連接A1B2，由已知， A2B2＝10，A1A2＝30×＝10， ∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等邊三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10. 由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105°－60°＝45°， 由△A1B2B1中，由余弦定理，得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45° ＝202＋(10)2－2×20×10×＝200. ∴B1B2＝10. 因此乙船的速度的大小為×60＝30(n mile/h)． 答：乙船每小時航行30 n mile. 解法二：如圖，連結(jié)A2B1. 由已知，A1B1＝20， A1A2＝30×＝10，∠B1A1A2＝105°， cos105°＝cos(45°＋60°) ＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝. sin105°＝sin(45°＋60°) ＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝. 在△A2A1B1中，由余弦定理，得 A2B＝A1B＋A1A－2A1B1·A1A2·cos105° ＝(10)2＋202－2×10×20× ＝100(4＋2)． ∴A2B1＝10(1＋)． 由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝·sin∠B1A1A2 ＝×＝， ∴∠A1A2B1＝45°，即∠B1A2B2＝60°－45°＝15°， cos15°＝sin105°＝. 在△B1A2B2中，由已知，A2B2＝10， 由余弦定理，得B1B＝A2B＋A2B－2A2B1·A2B2·cos15° ＝102(1＋)2＋(10)2－2×10(1＋)×10×＝200. ∴B1B2＝10， 乙船速度的大小為×60＝30 n mile/h， 答：乙船每小時航行30 n mile. 一、選擇題 1．如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20 n mile，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30 min后，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為(　　) A．20(＋) n mile/h B．20(－) n mile/h C．20(＋) n mile/h D．20(－) n mile/h [答案]　B [解析]　由題意可知∠NMS＝45°，∠MNS＝105°， 則∠MSN＝180°－105°－45°＝30°.而MS＝20， 在△MNS中，由正弦定理，得＝， ∴MN＝＝ ＝ ＝＝10(－)． ∴貨輪的速度為10(－)÷ ＝20(－)(n mile/h)． 2．一船向正北航行，看見正西方向有相距10 n mile的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速度是每小時(　　) A．5 n mile　 B．5 n mile C．10 n mile　 D．10 n mile [答案]　C [解析]　如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， ∴∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，求得AB＝5， ∴這艘船的速度是＝10(n mile/h)． 二、填空題 3．甲船在島A的正南B處，以4 km/h的速度向正北航行，AB＝10 km，同時乙船自島A出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間為________． [答案]　 min [解析]　如圖，當(dāng)兩船航行t h時，甲船到D處，乙船到C處，則AD＝10－4t，AC＝6t，∠CAD＝120°，若AD′＝4t－10，AC＝6t，∠CAD′＝60°， 所以CD2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)×(－)＝28t2－20t＋100， ∴當(dāng)t＝h時，CD2最小，即兩船最近，t＝h＝ min. 4．已知船在A處測得它的南偏東30°的海面上有一燈塔C，船以每小時30 n mile的速度向東南方向航行半小時后到達B點，于B處看到燈塔在船的正西方向，問這時船和燈塔相距________ n mile. [答案]　 [解析]　如圖，∠CAB＝45°－30°＝15°， ∠ACB＝180°－60°＝120°，AB＝30×＝15， ∴BC＝＝. ∵sin15°＝sin(45°－30°) ＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝， ∴BC＝(－1)(n mile)． 三、解答題 5．如圖，我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點C和D處，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處時測得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵陣地到目標(biāo)的距離．(結(jié)果保留根號) [解析]　由于∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∴∠ADB為直角．題中有多個三角形而抓住△ABD為直角三角形作為突破口可簡化計算． 在△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝＝CD． 在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝＝CD， ∠ADB＝90°. 在Rt△ABD中，AB＝＝CD ＝1 000(m)． 答：炮兵陣地到目標(biāo)的距離為1000米． 6．如圖所示，表示海中一小島周圍3.8 n mile內(nèi)有暗礁，一船從A由西向東航行望見此島在北75°東．船行8 n mile后，望見這島在北60°東，如果該船不改變航向繼續(xù)前進，有沒有觸礁的危險． [解析]　在△ABC中，AC＝8，∠ACB＝90°＋60°＝150°，∠CAB＝90°－75°＝15°，∴∠ABC＝15°. ∴△ABC為等腰三角形，BC＝AC＝8，在△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝8，∴BD＝BC·sin30°＝4>3.8.故該船沒有觸礁危險． 7.碧波萬頃的大海上，“藍天號”漁輪在A處進行海上作業(yè)，“白云號”貨輪在“藍天號”正南方向距“藍天號”20 n mile的B處．現(xiàn)在“白云號”以每小時10 n mile的速度向正北方向行駛，而“藍天號”同時以每小時8n mile的速度由A處向南偏西60°方向行駛，經(jīng)過多少小時后，“藍天號”和“白云號”兩船相距最近． [解析]　如右圖，設(shè)經(jīng)過t h，“藍天號”漁輪行駛到C處，“白云號”貨輪行駛到D處，此時“藍天號”和“白云號”兩船的距離為CD．則根據(jù)題意，知在△ACD中，AC＝8t，AD＝20－10t，∠CAD＝60°.由余弦定理，得 CD2＝AC2＋AD2－2×AC×ADcos60° ＝(8t)2＋(20－10t)2－2×8t×(20－10t)×cos60° ＝244t2－560t＋400＝244(t－)2＋400－244×()2， ∴當(dāng)t＝時，CD2取得最小值，即“藍天號”和“白云號”兩船相距最近． 答：經(jīng)過 h后，“藍天號”和“白云號”兩船相距最近． 最新精品資料