新編人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：51 數(shù)列的概念及簡單表示法

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 [A組　基礎(chǔ)演練·能力提升] 一、選擇題 1．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10＝(　　) A．15　　　　B．12　　　　C．－12　　　　D．－15 解析：a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15. 答案：A 2．?dāng)?shù)列{an}的通項an＝，則數(shù)列{an}中的最大值是(　　) A．3 B．19 C. D. 解析：因為an＝，運(yùn)用基本不等式得，≤，由于n∈N*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n＝9或10時，an＝最大． 答案：C 3．(2014年銀川模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝1－，記數(shù)列{an}的前n項之積為Tn，則T2 013的值為(　　) A．－ B．－1 [來源:數(shù)理化網(wǎng)] C. D．2 解析：由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，從而T2 013＝(－1)671＝－1. 答案：B 4．已知每項均大于零的數(shù)列{an}中，首項a1＝1且前n項和Sn滿足Sn－Sn－1＝2(n∈N*且n≥2)，則a81＝(　　) A．638 B．639 C．640 D．641 解析：由已知Sn－Sn－1＝2可得，－＝2，∴{}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故選C. 答案：C 5．(2014年長沙模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的正數(shù)x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，則an為(　　) A．2n－1 B．n C．2n－1 D.n－1 解析：由題意知f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，兩式相減得，2an＝3an－1(n≥2)，又n＝1時，S1＋2＝3a1＝a1＋2，∴a1＝1，∴數(shù)列{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，∴an＝n－1. 答案：D 6．(2014年石家莊模擬)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍為(　　) A．λ>2 B．λ>3 C．λ<2 D．λ<3 解析：由已知可得＝＋1，＋1＝2，＋1＝2≠0，則＋1＝2n，bn＋1＝2n(n－λ)，bn＝2n－1(n－1－λ)(n≥2，)．b1＝－λ也適合上式，故bn＝2n－1(n－1－λ)(n∈N*)．由bn＋1>bn，得2n(n－λ)>2n－1(n－1－λ)，即λ<n＋1恒成立，而n＋1的最小值為2，故λ的取值范圍為λ<2. 答案：C 二、填空題[來源:] 7．(2014年沈陽模擬)數(shù)列{an}滿足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 解析：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，把n換成n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，兩項相減得an＝3n. 答案：3n 8．根據(jù)下圖5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，猜測第n個圖中有________個點． 解析：觀察圖中5個圖形點的個數(shù)分別為1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n個圖中點的個數(shù)為 (n－1)×n＋1＝n2－n＋1. 答案：n2－n＋1 9．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n＋2)n，則當(dāng)an取得最大值時，n等于________． 解析：由題意知 ∴ 解得∴n＝5或6. 答案：5或6 三、解答題 10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求{an}的通項公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝4n＋b.[來源:] 解析：(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－1， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4n－5. 又∵a1＝－1，適合an＝4n－5，∴an＝4n－5. (2)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4＋b. n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1， 因此，當(dāng)b＝－1時，a1＝3適合an＝3·4n－1， ∴an＝3·4n－1. 當(dāng)b≠－1時，a1＝4＋b不適合an＝3·4n－1， ∴an＝ 綜上可知當(dāng)b＝－1時，an＝3·4n－1； 當(dāng)b≠－1時，an＝[來源:] 11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)． (1)求a2，a3； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 解析：(1)由已知：{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)， ∴a2＝a1＋4＝5，a3＝a2＋7＝12. (2)由已知an＝an－1＋3n－2(n≥2)得： an－an－1＝3n－2，由遞推關(guān)系， 得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，a2－a1＝4， 疊加得： an－a1＝4＋7＋…＋3n－2 ＝＝， ∴an＝(n≥2)． 當(dāng)n＝1時，1＝a1＝＝1， ∴數(shù)列{an}的通項公式an＝. 12．(能力提升)(2014年合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N，n≥2)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)這個數(shù)列從第幾項開始及其以后各項均小于？[來源:] 解析：(1)an＝··…···a1 ＝n－1·n－2·…·2·1 ＝1＋2＋…＋(n－1)＝，∴an＝. (2)當(dāng)n≤4時，≤6，an＝≥， 當(dāng)n≥5時，≥10，an＝≤. ∴從第5項開始各項均小于. [B組　因材施教·備選練習(xí)] 1．(2014年石家莊模擬)已知數(shù)列an：，，，，，，，，，，…，依它的前10項的規(guī)律，則a99＋a100的值為(　　) A. B. C. D. 解析：通過將數(shù)列的前10項分組得到第一組有一個數(shù)，分子分母之和為2；第二組有兩個數(shù)，，分子分母之和為3；第三組有三個數(shù)，，，分子分母之和為4；第四組有四個數(shù)，依次類推，a99，a100分別是第十四組的第8個，第9個數(shù)，分子分母之和為15，所以a99＝，a100＝，故選A. 答案：A 2．(2014年濟(jì)南模擬)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差數(shù)列{bn}滿足b3＝3，b5＝9. (1)分別求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式； (2)設(shè)cn＝(n∈N*)，求證：cn＋1<cn≤. 解析：(1)由an＋1＝2Sn＋1?、?， 得an＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)　②， ①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)， ∴an＋1＝3an(n≥2，n∈N*)， 又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，∴an＝3n－1. ∵b5－b3＝2d＝6，∴d＝3， ∴bn＝3n－6. (2)∵an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n， ∴cn＝＝， ∴cn＋1－cn＝<0， ∴cn＋1<cn<…<c1＝， 則cn＋1<cn≤.