（浙江專(zhuān)版）2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.1-1.1.2 變化率問(wèn)題 導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc

1．1.1&1.1.2　變化率問(wèn)題　導(dǎo)數(shù)的概念 預(yù)習(xí)課本P2～6，思考并完成下列問(wèn)題 (1)平均變化率的定義是什么？平均變化率的幾何意義是什么？ 　 　 (2)瞬時(shí)變化率的定義是怎樣的？如何求瞬時(shí)變化率？ 　 　 　 (3)如何用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)？ 　 　 　　　　 1．函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 (1)定義式：＝. (2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比． (3)意義：刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢． (4)平均變化率的幾何意義： 設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲線(xiàn)y＝f(x)上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)y＝f(x)的平均變化率＝＝為割線(xiàn)AB的斜率，如圖所示． [點(diǎn)睛]　Δx是變量x2在x1處的改變量，且x2是x1附近的任意一點(diǎn)，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以為正，也可以為負(fù)． 2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率 定義式 ＝ 實(shí)質(zhì) 瞬時(shí)變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，平均變化率趨近的值 作用 刻畫(huà)函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢 [點(diǎn)睛]　“Δx無(wú)限趨近于0”的含義 Δx趨于0的距離要多近有多近，即|Δx－0|可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終Δx≠0. 3．導(dǎo)數(shù)的概念 定義式 ＝ 記法 f′(x0)或y′|x＝x0 實(shí)質(zhì) 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx值的正、負(fù)無(wú)關(guān)．(　　) (2)瞬時(shí)變化率是刻畫(huà)某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量．(　　) (3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零．(　　) 答案：(1)√　(2)　(3) 2．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s(t)＝t2＋3，則從3到3＋Δt的平均速度為(　　) A．6＋Δt　　　　　　　 　B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 答案：A 3．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上兩點(diǎn)A，B，且xA＝1，xB＝1.1，則函數(shù)f(x)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的平均變化率為(　　) A．4 B．4x C．4.2 D．4.02 答案：C 4．在f′(x0)＝ 中，Δx不可能為(　　) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．大于0或小于0 答案：C 求函數(shù)的平均變化率 [典例]　求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx的值為，哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大？ [解]　在x＝1附近的平均變化率為 k1＝＝＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均變化率為 k2＝＝＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均變化率為 k3＝＝＝6＋Δx； 若Δx＝，則k1＝2＋＝，k2＝4＋＝， k3＝6＋＝， 由于k1＜k2＜k3， 故在x＝3附近的平均變化率最大． 求平均變化率的步驟 (1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再計(jì)算自變量的改變量Δx＝x1－x0. (3)求平均變化率＝.　　　　　　 [活學(xué)活用] 求函數(shù)y＝x3從x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并計(jì)算當(dāng)x0＝1，Δx＝時(shí)平均變化率的值． 解：當(dāng)自變量從x0變化到x0＋Δx時(shí)，函數(shù)的平均變化率為＝＝ ＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2， 當(dāng)x0＝1，Δx＝時(shí)平均變化率的值為 312＋31＋2＝. 求瞬時(shí)速度 [典例]　一做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s(t)＝3t－t2. (1)求此物體的初速度； (2)求此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度． [解]　(1)當(dāng)t＝0時(shí)的速度為初速度．在0時(shí)刻取一時(shí)間段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(30－02)＝3Δt－(Δt)2， ＝＝3－Δt，li ＝li (3－Δt)＝3. ∴物體的初速度為3. (2)取一時(shí)間段[2,2＋Δt]， ∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(32－22) ＝－Δt－(Δt)2， ＝＝－1－Δt， ＝ (－1－Δt)＝－1， ∴當(dāng)t＝2時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為－1. 1．求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟 (1)求時(shí)間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度＝； (3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)v，即為瞬時(shí)速度． 2．求(當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí))的極限的方法 (1)在極限表達(dá)式中，可把Δx作為一個(gè)數(shù)來(lái)參與運(yùn)算； (2)求出的表達(dá)式后，Δx無(wú)限趨近于0就是令Δx＝0，求出結(jié)果即可．　　　　 　　[活學(xué)活用] 一木塊沿某一斜面自由滑下，測(cè)得下滑的水平距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系為s＝t2，則t＝2時(shí)，此木塊在水平方向的瞬時(shí)速度為(　　) A．2　　　　　　　　　 　B．1 C. D. 解析：選A　∵＝＝Δt＋2， ∴ ＝ ＝2，故選A. 求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) [典例]　(1)函數(shù)y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______． (2)如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)由定點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t的位移函數(shù)為y＝f(t)＝t3＋3， ①當(dāng)t1＝4，Δt＝0.01時(shí)，求Δy和比值； ②求t1＝4時(shí)的導(dǎo)數(shù)． [解析]　(1)Δy＝－1， ＝＝， li ＝，所以y′|x＝1＝. 答案：(1) (2)解：①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3tΔt＋3t1(Δt)2＋(Δt)3，故當(dāng)t1＝4，Δt＝0.01時(shí)，Δy＝0.481 201，＝48.120 1. ② ＝ [3t＋3t1Δt＋(Δt)2]＝3t＝48， 故函數(shù)y＝t3＋3在t1＝4處的導(dǎo)數(shù)是48， 即y′|t1＝4＝48. 1．用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟 (1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率＝； (3)求極限 . 2．瞬時(shí)變化率的變形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)．　　　　 [活學(xué)活用] 求函數(shù)y＝x－在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． 解：因?yàn)棣＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，所以＝＝1＋. 當(dāng)Δx→0時(shí)，→2， 所以函數(shù)y＝x－在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為2. 層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．如果一個(gè)函數(shù)的瞬時(shí)變化率處處為0，則這個(gè)函數(shù)的圖象是(　　) A．圓　　　　　　　　　 　B．拋物線(xiàn) C．橢圓 D．直線(xiàn) 解析：選D　當(dāng)f(x)＝b時(shí)，瞬時(shí)變化率 ＝ ＝0，所以f(x)的圖象為一條直線(xiàn)． 2．設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，當(dāng)自變量x由1變?yōu)?.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為(　　) A．2.1 B．1.1 C．2 D．0 解析：選A　＝＝＝2.1. 3．設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則(　　) A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 解析：選C　f′(x0)＝ ＝ (a＋bΔx)＝a. 4．如果質(zhì)點(diǎn)A按照規(guī)律s＝3t2運(yùn)動(dòng)，則在t0＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為(　　) A．6　　　 B．18　　　　 C．54　　　　 D．81 解析：選B　∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332＝18Δt＋3(Δt)2.∴＝18＋3Δt.∴ ＝ (18＋3Δt)＝18，故應(yīng)選B. 5．已知f(x)＝x2－3x，則f′(0)＝(　　) A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0 解析：選C　f′(0)＝ ＝li ＝ (Δx－3)＝－3.故選C. 6．設(shè)f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，則a＝________. 解析：∵f′(1)＝ ＝ ＝a，∴a＝2. 答案：2 7.汽車(chē)行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為1，2，3，則三者的大小關(guān)系為_(kāi)_______． 解析：1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC， 由圖象知kOA＜kAB＜kBC. 答案：1＜2＜3 8．球的半徑從1增加到2時(shí)，球的體積平均膨脹率為_(kāi)_____． 解析：∵Δy＝π23－π13＝， ∴＝＝. 答案： 9．質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)＝at2＋1做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)(s單位：m，t單位：s)．若質(zhì)點(diǎn)在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s，求常數(shù)a的值． 解：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[a(2＋Δt)2＋1]－(a22＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt， ∴在t＝2時(shí)，瞬時(shí)速度為 ＝4a,4a＝8，∴a＝2. 10．已知函數(shù)f(x)＝求f′(4)f′(－1)的值． 解：當(dāng)x＝4時(shí)，Δy＝－＋ ＝－＝ ＝. ∴＝. ∴ ＝ ＝＝. ∴f′(4)＝. 當(dāng)x＝－1時(shí)，＝ ＝＝Δx－2， 由導(dǎo)數(shù)的定義，得f′(－1)＝li (Δx－2)＝－2， ∴f′(4)f′(－1)＝(－2)＝－. 層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(diǎn)(1，－2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，－2＋Δy)，則等于(　　) A．4　　　　　　　　　　 　B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析：選C?。剑剑剑?Δx＋4. 2.甲、乙兩人走過(guò)的路程s1(t)，s2(t)與時(shí)間t的關(guān)系如圖，則在[0，t0]這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人的平均速度v甲，v乙的關(guān)系是(　　) A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙 C．v甲＝v乙 D．大小關(guān)系不確定 解析：選B　設(shè)直線(xiàn)AC，BC的斜率分別為kAC，kBC，由平均變化率的幾何意義知，s1(t)在[0，t0]上的平均變化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均變化率v乙＝kBC.因?yàn)閗AC＜kBC，所以v甲＜v乙． 3．若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且滿(mǎn)足 ＝－1，則f′(0)＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：選B　∵f(x)圖象過(guò)原點(diǎn)，∴f(0)＝0， ∴f′(0)＝ ＝ ＝－1， ∴選B. 4．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，則m的值等于(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．2 解析：選D　f′(x)＝ ＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝2. 5．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋x在區(qū)間[t,1]上的平均變化率為2，則t＝________. 解析：∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t， ∴＝＝－t. 又∵＝2，∴t＝－2. 答案：－2 6．一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝7t2＋8，則其在t＝________時(shí)的瞬時(shí)速度為1. 解析：＝＝7Δt＋14t0， 當(dāng) (7Δt＋14t0)＝1時(shí)，t＝t0＝. 答案： 7．槍彈在槍筒中運(yùn)動(dòng)可以看作勻加速運(yùn)動(dòng)，如果它的加速度是5.0105 m/s2，槍彈從槍口射出時(shí)所用時(shí)間為1.610－3 s，求槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度． 解：位移公式為s＝at2， ∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2， ∴＝at0＋aΔt，∴ ＝ ＝at0， 已知a＝5.0105m/s2，t0＝1.610－3s，∴at0＝800 m/s. 所以槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度為800 m/s. 8．設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，求下列各式的值． (1) ； (2) . 解：(1) ＝－m ＝－mf′(x0)． (2)原式 ＝ ＝ － ＝4 －5 ＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．