高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第23課 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

第23課兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 兩角和(差)的正弦、余弦及正切 √ 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝. 2．有關(guān)公式的變形和逆用 (1)公式T(α±β)的變形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 3．輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)在銳角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不確定．(　　) (3)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對(duì)任意角α，β都成立．(　　) (4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值與a，b的值無(wú)關(guān)．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________. 　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.] 3．(2017·蘇州模擬)若α∈(0，π)，cos α＝－，則tan ＝________. 　[∵α∈(0，π)，cos α＝－，∴sin α＝＝， ∴tan α＝－. ∴tan＝＝＝.] 4．若sin α＋cos α＝1，且α∈，則α＝________. 　[∵sin α＋cos α＝2sin＝1， ∴sin＝，又α∈， ∴α＋＝，∴α＝.] 5．若tan α＝，tan(α＋β )＝，則tan β＝________. 　[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.] 三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用 　(2014·江蘇高考)已知α∈，sin α＝. (1)求sin的值； (2)求cos的值． [解]　(1)因?yàn)棣痢?，sin α＝， 所以cos α＝－＝－. 故sin＝sincos α＋cos sin α ＝×＋×＝－. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝， 所以cos＝coscos 2α＋sin sin 2α ＝×＋×＝－. [規(guī)律方法]　1.使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征． 2．使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值． [變式訓(xùn)練1]　(1)若α∈，tan＝，則sin α＝________. (2)已知cos＝－，則cos x＋cos的值是________． (1)　(2)－1　[(1)∵tan＝＝， ∴tan α＝－＝，∴cos α＝－sin α. 又∵sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝. 又∵α∈，∴sin α＝. (2)cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x ＝cos x＋sin x ＝ ＝cos＝－1.] 三角函數(shù)公式的逆用及變形應(yīng)用 　(1)若銳角α，β滿足tan α＋tan β＝－tan αtan β，則α＋β＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172128】 (2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________. (1)　(2)1　[(1)∵tan(α＋β)＝＝＝. 又α，β∈， ∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝. (2)sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50° ＝sin 50°× ＝sin 50°× ＝＝＝＝1.] [規(guī)律方法]　1.逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式． 2．tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用． [變式訓(xùn)練2]　(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值為________． (2)在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，則角A的值為________． (1)　(2)　[(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝. (2)由題意知：sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式兩邊同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－， 又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，所以A＝.] 角的變換問(wèn)題 　(1)設(shè)α，β都是銳角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，則cos β＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172129】 (2)若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，則cos等于________． (1)　(2)　[(1)依題意得 sin α＝＝， cos(α＋β)＝±＝±. 又α，β均為銳角，所以0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)． 因?yàn)?gt;>－， 所以cos(α＋β)＝－. 于是cos β＝cos ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝. (2)∵0<α<，∴<＋α<π， 所以由cos＝， 得sin＝， 又－<β<0，∴<－<，且cos＝， ∴sin＝， 故cos＝cos ＝coscos＋sinsin＝.] [規(guī)律方法]　1.解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”． 2．常見的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等． [變式訓(xùn)練3]　定義運(yùn)算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，則β等于________． 　[依題意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜， 故cos(α－β)＝＝， 而cos α＝，∴sin α＝， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝.故β＝.] [思想與方法] 1．三角恒等變換的變“角”與變“名”問(wèn)題的解題思路 (1)角的變換：明確各個(gè)角之間的關(guān)系(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角的拆分與組合的技巧，半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°， ＋＝，＝2×等． (2)名的變換：明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦． 2．三角恒等變換的變“形”問(wèn)題的求解思路 根據(jù)三角恒等式子的“結(jié)構(gòu)特征”進(jìn)行變“形”，使得變換后的式子更接近已知的三角函數(shù)式，常用技巧有： (1)常值代換： 1＝sin2α＋cos2α＝cos 2α＋2sin2α＝tan ， ＝sin ＝cos ，＝sin ＝cos 等． (2)逆用、變用公式： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等． (3)通分、約分：如：1＋tan α＝. (4)分解、組合：如：(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2. (5)平方、開方：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α等． [易錯(cuò)與防范] 1．運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通． 2．在三角函數(shù)求值時(shí)，一定不要忽視題中給出的或隱含的角的范圍． 課時(shí)分層訓(xùn)練(二十三) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．設(shè)tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的兩根，則tan(α＋β)的值為________． －3　[由題意可知 ∴tan(α＋β)＝＝＝－3.] 2．(2017·鹽城模擬)tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值等于________． －　[∵tan 120°＝tan(50°＋70°)＝＝－，∴tan 50°＋tan 70°＝－＋tan 50°tan 70°， 即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.] 3．在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若角α終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,4)，則tan＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172130】 －3　[由題意可知tan α＝＝2. ∴tan＝＝＝－3.] 4．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α是第二象限角，則tan等于________． 　[∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝， ∴cos α＝－. 又α是第二象限角，∴sin α＝，則tan α＝－. ∴tan＝＝＝.] 5．已知sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，α，β∈，則sin 3α＋sin 3β＝________. 0　[由已知得：sin α＋cos α＝cos β－sin β， 即cos＝cos， 又α－∈，β＋∈. 故α－＝β＋，即α＝β＋. ∴sin 3α＋sin 3β＝sin(3β＋π)＋sin 3β＝0.] 6．若cos－sin α＝，則cos＝________. 　[cos－sin α＝，cos α－sin α＝，cos α－sin α＝cos＝.] 7．若sin＝，sin(α－β)＝，則的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172131】 5　[由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝得 ∴ ∴＝＝5.] 8．(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研二)若tan α＝，tan(α－β)＝－，則tan(β－2α)＝________. －　[∵tan α＝，tan(α－β)＝－， ∴tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－＝－＝－.] 9．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172132】 　[∵sin 2α＝，α∈， ∴cos 2α＝－且α∈， 又∵sin(β－α)＝，β∈. ∴cos(β－α)＝－. 因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝×＋×＝－，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝×－×＝，又α＋β∈，所以α＋β＝.] 10．(2017·如皋市高三調(diào)研一)若sin β＝3sin(2α－β)，則tan(α－β)＋tan α＝________. 0　[由sin β＝3sin(2α－β)得 －sin[(α－β)－α]＝3sin[α＋(α－β)]， ∴cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝3[sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)]， ∴－4cos αsin(α－β)＝2sin αcos(α－β)， ∴tan(α－β)＝－tan α. ∴tan(α－β)＋tan α＝－tan α＋tan α＝0.] 二、解答題 11．已知α∈，且sin＋cos＝. (1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值． [解]　(1)因?yàn)閟in＋cos＝， 兩邊同時(shí)平方，得sin α＝. 又＜α＜π，所以cos α＝－＝－. (2)因?yàn)椋鸡粒鸡?，＜β＜π，所以－＜α－β? 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝. cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－×＋×＝－. 12．(2017·啟東中學(xué)高三第一次月考)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，已知sin＝2cos A. (1)求角A的值； (2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sin B. [解]　由sin＝2cos A，得sin A＋cos A＝2cos A，即sin A＝cos A．因?yàn)锳∈(0，π)，且cos A≠0，所以tan A＝，所以A＝. (2)因?yàn)锽∈，所以A－B＝－B∈. 因?yàn)閟in2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，所以sin(A－B)＝，所以sin B＝sin(A－(A－B))＝sin Acos(A－B)－cos Asin(A－B)＝. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．已知0＜θ＜π，tan＝，那么sin θ＋cos θ＝________. －　[由tan＝＝，解得tan θ＝－，即＝－，∴cos θ＝－sin θ， ∴sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋sin2θ＝sin2θ＝1. ∵0＜θ＜π，∴sin θ＝，∴cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－.] 2．若tan α＝2tan，則＝________. 3　[∵cos＝cos＝sin， ∴原式＝＝＝. 又∵tan α＝2tan，∴原式＝＝3.] 3．已知函數(shù)f(x)＝Acos，x∈R，且f＝. (1)求A的值； (2)設(shè)α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值． [解]　(1)因?yàn)閒＝Acos＝Acos ＝A＝，所以A＝2. (2)由f＝2cos ＝2cos＝－2sin α＝－， 得sin α＝，又α∈，所以cos α＝. 由f＝2cos ＝2cos β＝，得cos β＝， 又β∈，所以sin β＝， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－. 4．(2017·泰州中學(xué)高三摸底考試)已知0<α<<β<π，且sin(α＋β)＝，tan ＝. (1)求cos α的值； (2)證明：sin β>. [解]　(1)將tan ＝代入tan α＝，得tan α＝， ∴ 又α∈， 解得cos α＝. (2)證明：由題意易得<α＋β<，又sin(α＋β)＝， ∴cos(α＋β)＝－， 由(1)可得sin α＝， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝>.