易拉罐的優(yōu)化設(shè)計.doc
易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計
組員:邢登峰,張娜,劉夢云
摘要
研究易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)約的資源是很可觀的。
問題一,我們通過實際測量得出(355ml)易拉罐各部分的數(shù)據(jù)。
問題二,在假設(shè)易拉罐蓋口厚度與其他部分厚度之比為3:1的條件下,建立易拉罐用料模型,由微積分方法求最優(yōu)解,結(jié)論:易拉罐高與直徑之比2:1,用料最?。?在假定易拉罐高與直徑2:1的條件下,將易拉罐材料設(shè)想為外體積減內(nèi)體積,得用料模型:
用微積分方法得最優(yōu)解:易拉罐蓋子厚度與其他部分厚度為3:1。
問題三,在易拉罐基本尺寸,高與直徑之比2:1的條件下,將上面為正圓臺的易拉罐用料優(yōu)化設(shè)計,轉(zhuǎn)化為正圓柱部分一定而研究此正圓臺的用料優(yōu)化設(shè)計。
模型
圓臺面積
用數(shù)學(xué)軟件求得最優(yōu)解r=1.467, h=1.93時,s=45.07最小。
結(jié)論:易拉罐總高:底直徑=2:1,上下底之比=1:2,與實際比較分析了各種原因。
問題四,從重視外觀美學(xué)要求(黃金分割),認(rèn)為高與直徑之比1:0.4更別致、美觀。對這種比例的正圓柱體易拉罐作了實際優(yōu)化分析。
另從美學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度提出正四面柱體易拉罐的創(chuàng)新設(shè)想,分析了這樣易拉罐的優(yōu)缺點和尺寸優(yōu)化設(shè)計。
最后寫出了我們對數(shù)學(xué)建模的體會文章。
關(guān)鍵詞:易拉罐 最優(yōu)設(shè)計 數(shù)學(xué)建模
問題重述
在生活中我們會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的??磥?,這并非偶然,這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計。當(dāng)然,對于單個的易拉罐來說,這種最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)省的錢可能是很有限的,但是如果是生產(chǎn)幾億,甚至幾十億個易拉罐的話,可以節(jié)約的錢就很可觀了。
現(xiàn)在就請你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計問題。具體說,請你們完成以下的任務(wù):
1. 取一個凈含量為355毫升的易拉罐,例如355毫升的可口可樂飲料罐,測量你們認(rèn)為驗證模型所需要的數(shù)據(jù),例如易拉罐各部分的直徑、高度,厚度等,并把數(shù)據(jù)列表加以說明;如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的,那么你們必須注明出處。
2. 設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計?其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸,例如說,半徑和高之比,等等。
3. 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示,即上面部分是一個正圓臺,下面部分是一個正圓柱體。
什么是它的最優(yōu)設(shè)計?其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。
4. 利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力,做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計。
一、問題的提出
我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。看來,這并非偶然,這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計。當(dāng)然,對于單個的易拉罐來說,這種最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)省的錢可能是很有限的,但是如果是生產(chǎn)幾億,甚至幾十億個易拉罐的話,可以節(jié)約的錢就很可觀了。對于易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計我們提出了以下問題:
1. 取一個飲料量為355毫升的易拉罐,例如355毫升的可口可樂飲料罐,測量你們認(rèn)為驗證模型所需要的數(shù)據(jù),例如易拉罐各部分的直徑、高度,厚度等,并把數(shù)據(jù)列表加以說明;如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的,那么你們必須注明出處。
2. 設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計?其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸,例如說,半徑和高之比,等等。
3. 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖⑴所示,即上面部分是一個正圓臺,下面部分是一個正圓柱體,什么是它的最優(yōu)設(shè)計?其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。
4. 利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力,做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計。
二、模型假設(shè)
1、假設(shè)易拉罐的各個組成部分是同一種材料;不考慮具體的用料(假設(shè)為鋁材),也不考慮易拉罐的工藝過程。
2、易拉罐的形狀和尺寸假設(shè)為“正圓柱體”或“正圓臺與正圓柱體的結(jié)合”等等。
3、實際測量允許有一定的誤差。
4、問題二中的假設(shè):
① 在本問題的研究中,假設(shè)易垃罐是一個正圓柱體;
② 假設(shè)易拉罐側(cè)面和底面的厚度相同,頂部的厚度是側(cè)面厚度的3倍;
三.模型的假設(shè)與求解
問題一:
上圓臺
上底直徑
59
蓋厚
0.30
下底直徑
67
上圓臺側(cè)面厚
0.20
高度
13
正圓柱
直徑
67
壁厚
0.10
高度
110
我們測得355ml易拉罐(雪碧)尺寸如下(單位mm):(以后尺寸均以其為基本單位)
問題二:
本題建立在易拉罐是一個正圓柱體的基礎(chǔ)之上,如圖(2)
假設(shè)易拉罐側(cè)面厚度與底面厚度相同,與頂蓋厚度不同。
1. 符號說明:
r:易拉罐的半徑;
h:易拉罐的高;
v:易拉罐內(nèi)體積(容積);
sv:易拉罐所用材料的體積;
b:易拉罐除頂蓋外的厚度;
:頂蓋厚度參數(shù),即頂蓋厚度。
(2)
2. 問題分析與模型
由于易拉罐尺寸優(yōu)化設(shè)計要研究到易拉罐各部分厚度問題,可設(shè)想一個易拉罐所用材料是易拉罐外形體積減去內(nèi)部體積(見圖2)。
易拉罐用料=側(cè)面材料+底面材料+頂蓋材料
將上式化簡,并以為參數(shù),看作為自變量。
有
作簡化,因為,則很小,所以可將帶的項忽略。
有
記(v是已知的,即罐容積一定)。
得數(shù)學(xué)模型
3. 模型求解
由約束條件,得,代入目標(biāo)函數(shù)
令
得
因為
所以為極小值點。
又由于極值點只有此一個,因此也是全局極小。
又由于,則由對問題二的前一解的結(jié)論,,得,
結(jié)論:。
4. 結(jié)果分析
易拉罐頂蓋厚度是側(cè)面厚度的3倍(),與我們對355ml可口可樂等易拉罐的實測數(shù)據(jù)完全一致(見問題(1)的解)。
問題三:
本題建立在易拉罐上面是一個正圓臺,下面是一個正圓柱體的基礎(chǔ)之上,如圖(3)
1. 符號說明
R:易拉罐正圓柱體半徑(也即是正圓臺下底半徑);
r:易拉罐正圓臺上底半徑;
h1:易拉罐正圓柱體高;
V1:易拉罐正圓柱體容積;
h :易拉罐正圓臺高;
V:易拉罐正圓臺容積。
3.問題分析與模型
因為上述解問題二的結(jié)論(正圓柱體易拉罐用料最省的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計是h=2D)已確定了圓柱形易拉罐的基本尺寸,若易拉罐體積一定,則基本的高與半徑可大致確定,即易拉罐的圓柱體部分確定。所以這里我們可以由此簡化問題為研究正圓臺部分的優(yōu)化設(shè)計。以常見的可口可樂等355ml易拉罐為例,易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是測算出V=355ml.
于是問題三轉(zhuǎn)化為,已知易拉罐上部正圓臺體積V一定,底半徑R一定時,其上底半徑r和高h(yuǎn)為何值(或r與h比例是多少)正圓臺的表面積最小,如圖(4):
(4)
求正圓臺的面積得模型:
正圓臺面積=頂蓋面積+圓臺側(cè)面積
用數(shù)學(xué)軟件求S的最小值(其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm),
得: 當(dāng)r=1.467cm,h=1.93cm時,
結(jié)論:常見的正圓臺與正圓柱體結(jié)合的易拉罐,只考慮形狀和尺寸變化用料最少的優(yōu)化設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)是:①總高度與底直徑之比為2:1, ②正圓臺的高與上底直徑之比約為2:3(即h:2r≈2:3),相應(yīng)易拉罐上下底直徑之比為。
問題四:新設(shè)計
現(xiàn)今常見的易拉罐都是圓柱形,對于一定容積的柱體,以正圓柱體的表面積最小,且圓柱形的外形也較為美觀。但易拉罐流行至今幾十年都是圓柱形,也太常見有審美疲勞。因而我們考慮易拉罐基本造型有一個較大的變化,如創(chuàng)新設(shè)計為了正四方柱體、正三面柱體、球體等。
其實我們都知道球體是更省料的,像太白酒等酒的瓶子就是這樣。
假設(shè)瓶口直徑為20,瓶頸高30(類似于礦泉水瓶口的設(shè)計),設(shè)球的半徑為R,
則:
S=S1+S2=4πR2+Фπh
得S=28624.708mm2
該值遠(yuǎn)小于以上計算結(jié)果,故此種設(shè)計更優(yōu)。