高中數(shù)學(xué)北師大版選修21練習(xí)： 第二章章末綜合檢測(cè) Word版含解析

2019學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)精品資料 (時(shí)間：100分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是(　　) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 解析：選A.∵＝＋＝2(a＋2b)＝2，B為公共點(diǎn)， ∴A、B、D三點(diǎn)共線． 2．化簡(jiǎn)－＋所得的結(jié)果是(　　) A. B． C．0 D． 解析：選C.－＋＝＋＝0. 3．若向量，，的起點(diǎn)M和終點(diǎn)A，B，C互不重合且無(wú)三點(diǎn)共線，則能使向量，，成為空間一組基底的關(guān)系是(　　) A.＝＋＋ B.＝＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 解析：選C.對(duì)于選項(xiàng)A，由結(jié)論＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面知，，，共面；對(duì)于B，D選項(xiàng)，易知，，共面，故只有選項(xiàng)C中，，不共面． 4．平行六面體ABCDA1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，則x＋y＋z等于(　　) A．1 B． C. D． 解析：選B.在平行六面體中，＝x＋2y＋3z＝＋＋＝＋－. 比較系數(shù)知x＝1，y＝，z＝－， ∴x＋y＋z＝. 5．已知兩個(gè)平面的一個(gè)法向量分別是m＝(1，2，－1)，n＝(1，－1，0)，則這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角的余弦值為(　　) A．－ B． C．－或 D．－或 解析：選C.cos〈m，n〉＝＝＝－， 由于兩平面所成角的二面角與〈m，n〉相等或互補(bǔ)．故選C. 6．已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為(　　) A. B． C．4 D．8 解析：選A.cos〈a，b〉＝＝＝， sin〈a，b〉＝＝， ∴S＝|a||b|sin〈a，b〉＝9×＝. 7．在正方體ABCD­A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B，AC的中點(diǎn)，則MN與平面B1BCC1的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能確定 解析：選B. 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， ＝(0，a，0)為平面B1BCC1的一個(gè)法向量， M(a，a，a)， N(a，a，a)， ＝(－a，0，a)， 由于·＝0，且MN?平面B1BCC1， ∴MN∥平面B1BCC1. 8． 如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是邊BC上的高，則·的值等于(　　) A．0 B． C．4 D．－ 解析：選C.在△ABC中，由余弦定理得，|AC|2＝42＋42－2×4×4cos 30°＝32－16， ∴|AC|＝2(－)，cos∠CAD＝cos〈，〉＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝， 又AD＝AB＝2， ∴·＝||||cos〈，〉＝4(－)×＝4，故選C. 9．在正方體ABCD­A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值是(　　) A. B． C. D． 解析：選C. 以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)． ∴＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，0，1)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面DA1B的一個(gè)法向量， 則即 ∴x＝－y＝－z. 令x＝1，得n＝(1，－1，－1)． 設(shè)直線BC1與平面A1BD所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝. 10．四棱錐P­ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點(diǎn)，則P到直線EF的距離為(　　) A．1 B． C. D． 解析：選D.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，∵|PB|＝|PD|， ∴PO⊥BD， 又O(1，1，0)， ∴P點(diǎn)到BD的距離為|PO|＝＝， 又EF綊BD， ∴P到EF的距離為. 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上) 11．已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，則λ＝________． 解析：λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ＞0，解得λ＝3. 答案：3 12．若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，當(dāng)||取最小值時(shí)，x的值等于________． 解析：＝(1－x，2x－3，－3x＋3)， 所以||＝ ＝＝， 當(dāng)x＝時(shí)，||取得最小值． 答案： 13．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是________． 解析：a·b＝－3－2(x－1)－3＝－2x－4，由題意知cos〈a，b〉∈(－1，0)，即－1≠＜0，解之得x＞－2且x≠. 答案：(－2，)∪(，＋∞) 14．在三棱柱ABC­A1B1C1中，各側(cè)面均為正方形，側(cè)面AA1C1C的對(duì)角線相交于點(diǎn)M，則BM與平面AA1C1C所成角的大小是________． 解析：法一：取AC的中點(diǎn)D，連接BD，MD，由于BD⊥平面AA1C1C，故∠BMD即為所求直線與平面所成角，設(shè)三棱柱棱長(zhǎng)為a，其中BD＝a，DM＝， 故tan∠BMD＝＝，解得∠BMD＝60°. 法二：由題意知此三棱柱為各棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱，設(shè)棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則B(，1，0)，M(0，1，1)，＝(－，0，1)， 取平面ACC1A1的一個(gè)法向量n＝(1，0，0)， cos〈，n〉＝＝－， 設(shè)BM與平面ACC1A1所成的角為θ， 則sin θ＝，∴θ＝60°. 答案：60° 15.如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為________． 解析：∵A1B1∥平面D1EF， ∴G到平面D1EF之距等于A1點(diǎn)到平面D1EF之距，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，F(xiàn)(1，1，)，E(1，0，)，設(shè)平面D1EF的法向量為n＝(x，y，z)，由， 易求得平面D1EF的一個(gè)法向量n＝(1，0，2)，＝(0，0，－)， ∴d＝ ＝. 答案： 三、解答題(本大題共5小題，共55分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分10分)(2014·德州高二檢測(cè))已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，若向量a分別與向量，垂直，且|a|＝，求向量a的坐標(biāo)． 解：＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，設(shè)a＝(x，y，z)， 由題意知，即， 解得或. ∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1)． 17．(本小題滿分10分) 已知在空間四邊形OABC中，M，N分別是對(duì)邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且MG＝2GN，如圖所示，記＝a，＝b，＝c，試用向量a，b，c表示向量. 解：＝(b＋c)，＝a，＝b＋c－a， ∵＝2，∴＝＝b＋c－a， ∴＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c. 18．(本小題滿分10分)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AA1上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，在線段DD1上是否存在一點(diǎn)G，使CG∥EF？若存在，求出點(diǎn)G的位置，若不存在，說明理由． 解：存在．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則E(1，，0)，F(xiàn)(1，0，)，C(0，1，0)，假設(shè)在DD1上存在一點(diǎn)G，使CG∥EF，則∥，由于點(diǎn)G在z軸上，設(shè)G(0，0，z)，∴＝(0，－，)，＝(0，－1，z)． ∵∥，∴＝λ，即(0，－1，z)＝λ(0，－，)， ∴解得 由于z＝∈[0，1]，所以點(diǎn)G在線段DD1上，其坐標(biāo)為(0，0，)， 故在線段DD1上存在一點(diǎn)G，使CG∥EF，點(diǎn)G是DD1上靠近點(diǎn)D1的三等分點(diǎn)． 19．(本小題滿分12分) 如圖，在三棱錐P­ABC中，PC⊥底面ABC，且∠ACB＝90°，AC＝BC＝CP＝2. (1)求二面角B­AP­C的余弦值； (2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離． 解：(1)如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系． 則C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)． 易得面PAC的法向量為n1＝(1，0，0)， ＝(0，2，－2)，＝(2，0，－2)， n2＝(x，y，z)為平面PAB的法向量， ∴，即. 可取n2＝(1，1，1)． ∴cos〈n1，n2〉＝＝＝. ∴二面角B­AP­C的余弦值為. (2)d＝＝＝， ∴點(diǎn)C到平面PAB的距離為. 20．(本小題滿分13分) 已知在幾何體A­BCED中，∠ACB＝90°，CE⊥平面ABC，平面BCED為梯形，且AC＝CE＝BC＝4，DB＝1. (1)求異面直線DE與AB所成角的余弦值； (2)試探究在DE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQ⊥BQ，并說明理由． 解：(1)由題知，CA，CB，CE兩兩垂直，以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 則A(4，0，0)，B(0，4，0)，D(0，4，1)，E(0，0，4)， ∴＝(0，－4，3)，＝(－4，4，0)， ∴cos〈，〉＝－， ∴異面直線DE與AB所成角的余弦值為. (2)設(shè)滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在，其坐標(biāo)為(0，m，n)，則＝(－4，m，n)， ＝(0，m－4，n)，＝(0，m，n－4)，＝(0，4－m，1－n)． ∵AQ⊥BQ，∴m(m－4)＋n2＝0，① ∵點(diǎn)Q在ED上，∴存在λ∈R(λ＞0)使得＝λ， ∴(0，m，n－4)＝λ(0，4－m，1－n)，∴m＝，② n＝.③ 由①②③得＝， ∴λ2－8λ＋16＝0，解得λ＝4. ∴m＝，n＝. ∴滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在，其坐標(biāo)為.