高等數(shù)學(xué)備課教案：第五章 定積分 第六節(jié)廣義積分審斂法

第六節(jié) 廣義積分審斂法 判定一個(gè)廣義積分的收斂性,是一個(gè)重要的問題. 當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)求不出來,或者求原函數(shù)的計(jì)算過于復(fù)雜時(shí),利用廣義積分的定義來判斷它的收斂性就不適用了. 因此,我們需要其它方法來判斷廣義積分的收斂性. 分布圖示 ★ 無窮限廣義積分的審斂法 ★ 比較審斂原理 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 絕對(duì)收斂 ★ 例6 ★ 例7 ★ 無界函數(shù)廣義積分的比較審斂原理 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ -函數(shù) ★ -函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì) ★ 例11 ★ 例12 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 習(xí)題5-6 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、無窮限廣義積分的審斂法 二、無界函數(shù)的廣義積分審斂法 三、函數(shù)： 定義 性質(zhì) 例題選講 無窮限廣義積分的審斂法 例1 (E01) 判別廣義積分的斂散性. 解 因?yàn)檫@里故由推論1知，題設(shè)廣義積分收斂. 例2 (E02) 判別廣義積分的斂散性. 解 因?yàn)檫@里故由推論2知，題設(shè)廣義積分收斂. 例3 判別廣義積分的斂散性. 解 因?yàn)? 故根據(jù)推論2知，題設(shè)廣義積分發(fā)散. 例4 (E03) 判別廣義積分的斂散性. 解 因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 故由推論1知，題設(shè)廣義積分發(fā)散 . 例5 (E04) 判別廣義積分的斂散性. 解 因?yàn)?故根據(jù)推論2知，題設(shè)廣義積分發(fā)散 . 例6 判別廣義積分的收斂性，其中都是常數(shù)，且 解 而收斂 . 收斂，故題設(shè)廣義積分收斂 . 例7 (E05) 判別廣義積分. 解 由于而收斂，故收斂，即 絕對(duì)收斂 . 無界函數(shù)的廣義積分審斂法 例8 (E06) 判別廣義積分的收斂性. 解 被積函數(shù)在點(diǎn)的右鄰域內(nèi)無界.又由洛必達(dá)法則知 故根據(jù)推論4知，題設(shè)廣義積分發(fā)散. 例9 判別廣義積分的收斂性. 解 因?yàn)槎諗?，根?jù)比較審斂原理知， 廣義積分收斂，從而題設(shè)廣義積分也收斂. 例10 (E07) 判別廣義積分的收斂性. 解 由于是的瑕點(diǎn)，且 所以，當(dāng)即時(shí)，題設(shè)廣義積分收斂 ;當(dāng)即時(shí)，題設(shè)廣義積分發(fā)散 . 例11計(jì)算下列各式的值: 解 由公式得: 由公式得: 例12 計(jì)算下列廣義積分: (1) (2) 已知計(jì)算 (3) 解 令則于是 令則于是