高等數(shù)學備課教案：第五章 定積分 第三節(jié)微積分基本公式

第三節(jié) 微積分基本公式 積分學中要解決兩個問題：第一個問題是原函數(shù)的求法問題,我們在第四章中已經(jīng)對它做了討論；第二個問題就是定積分的計算問題. 如果我們要按定積分的定義來計算定積分,那將是十分困難的. 因此尋求一種計算定積分的有效方法便成為積分學發(fā)展的關(guān)鍵. 我們知道,不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個概念. 但是,牛頓和萊布尼茨不僅發(fā)現(xiàn)而且找到了這兩個概念之間存在著的深刻的內(nèi)在聯(lián)系. 即所謂的“微積分基本定理”,并由此巧妙地開辟了求定積分的新途徑——牛頓-萊布尼茨公式. 從而使積分學與微分學一起構(gòu)成變量數(shù)學的基礎(chǔ)學科——微積分學. 牛頓和萊布尼茨也因此作為微積分學的奠基人而載入史冊. 分布圖示 ★ 引言 ★ 引例 ★ 積分上限函數(shù) ★ 積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ★ 例1 ★ 例2-3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 原函數(shù)存在定理 ★ 牛頓-萊布尼茲公式 ★ 牛頓-萊布尼茲公式的幾何解釋 ★ 例8-9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習 ★ 習題5-3 ★ 返回 內(nèi)容要點 一、引例 二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)： 定理2 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則函數(shù) 就是在上的一個原函數(shù). 三、牛頓—萊布尼茲公式 定理3 若函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù),則 . (3.6) 公式(3.4)稱為牛頓—萊布尼茨公式. 例題選講 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 例1 (E01) 求右圖中陰影區(qū)域的面積 解 由題意，得到 陰影區(qū)域的面積 . 例2 (E02) 求 . 解 例 3(E03) 求 . 解 這里是的函數(shù)，因而是的復(fù)合函數(shù)，令則根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有 例4 設(shè)是連續(xù)函數(shù), 試求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1) ; (2) ; (3) 解 (1) (2) 因為所以 (3) 因為，所以， 例5(E05) 設(shè)函數(shù)由方程所確定. 求 解 在方程兩邊同時對求導(dǎo): 于是 即 故 例6 (E04) 求 . 分析:這是型不定式,應(yīng)用洛必達法則. 解 故 例7(E06) 設(shè)在內(nèi)連續(xù),且 證明函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù). 證 因為 所以 故在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù). 牛頓—萊布尼茲公式 例8 (E07) 求定積分 . 解 是的一個原函數(shù)，由牛頓-萊布尼茨公式得: 例9 求 解 當時, 的一個原函數(shù)是 例10 設(shè) 求 解 如圖(見系統(tǒng)演示)，在上規(guī)定: 當時, 則由定積分性質(zhì)得: 例11 計算 解 因為 所以 例12 (E08) 求定積分 . 解 例13 (E09) 求 解 由圖形(見系統(tǒng)演示)可知 例14 計算由曲線在之間及軸所圍成的圖形的面積 解 如圖(見系統(tǒng)演示), 根據(jù)定積分的幾何意義, 所求面積為 例15 (E10) 汽車以每小時36km速度行駛, 到某處需要減速停車. 設(shè)汽車以等加速度剎車. 問從開始剎車到停車, 汽車駛過了多少距離? 解 首先要算出從開始剎車到停車經(jīng)過的時間. 設(shè)開始剎車的時刻為 此時汽車速度為 km/h 剎車后汽車減速行駛, 其速度為 當汽車停住時, 速度 故由 于是這段時間內(nèi), 汽車所駛過的距離為 即在剎車后, 汽車需駛過才能停住. 例16 (E11) 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 證明在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點使 證 因連續(xù), 故它的原函數(shù)存在, 設(shè)為 即設(shè)在上 根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式, 有 顯然函數(shù)在區(qū)間上滿足微分中值定理的條件, 因此按微分中值定理, 在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點 使 故 注: 本例的結(jié)論是對積分中值定理的改進. 從其證明中不難看出積分中值定理與微分中值定理的聯(lián)系. 課堂練習 1.設(shè)在上連續(xù), 則與是x的函數(shù)還是t與u的函數(shù)? 它們的導(dǎo)數(shù)存在嗎? 如果存在等于什么? 2.用定積分定義和性質(zhì)求極限 3.計算定積分.