2018屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 講重點(diǎn) 解答題專練作業(yè)21-22 概率、統(tǒng)計(jì) 理

概率、統(tǒng)計(jì)專練 1．(2017·福州質(zhì)檢)考試過(guò)后，某校為了解理科班學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理學(xué)習(xí)情況，利用隨機(jī)數(shù)表法從全年級(jí)600名理科生抽取100名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．已知學(xué)生考號(hào)的后三位分別為000，001，002，…，599. (1)若從隨機(jī)數(shù)表的第5行第7列的數(shù)開(kāi)始向右讀，請(qǐng)依次寫出抽取的前7人的后三位考號(hào)； (2)如果(1)中隨機(jī)抽取到的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)(單位：分)對(duì)應(yīng)如下表： 數(shù)學(xué)成績(jī) 90 97 105 113 127 130 135 物理成績(jī) 105 116 120 127 135 130 140 從這7名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)，記這3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望(規(guī)定成績(jī)不低于120分的為優(yōu)秀)． 附：(下面是摘自隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行) …… 16 27 77 94 39　49 54 43 54 82　17 37 93 23 78 87 35 20 96 43　84 26 34 91 64(第4行) 12 56 85 99 26　96 96 68 27 31　05 03 72 93 15 57 12 10 14 21　88 26 49 81 76(第5行) 55 59 56 35 64　38 54 82 46 22　31 62 43 09 90 06 18 44 32 53　23 83 01 30 30(第6行) …… 解析　(1)抽出的前7人的后三位考號(hào)分別為310，503，315，571，210，142，188. (2)ξ的可能取值為0，1，2，3. P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2．(2017·鄭州預(yù)測(cè)二)某食品公司研發(fā)生產(chǎn)一種新的零售食品，從產(chǎn)品中抽取100件作為樣本，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖： (1)求直方圖中a的值； (2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(200，12.22)，試計(jì)算數(shù)據(jù)落在(187.8，212.2)上的概率； 參考數(shù)據(jù)： 若Z～N(μ，δ2)，則P(μ－δ<Z<μ＋δ)＝0.682 6， P(μ－2δ<Z<μ＋2δ)＝0.954 4. (3)設(shè)生產(chǎn)成本為y，質(zhì)量指標(biāo)值為x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)值之間滿足函數(shù)關(guān)系y＝假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，試計(jì)算生產(chǎn)該食品的平均成本． 解析　(1)由已知，得(0.002＋0.009＋0.022＋a＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝1，解得a＝0.033. (2)Z～N(200，12.22)，從而 P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6. (3)由題設(shè)條件及食品的質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分布直方圖，得食品生產(chǎn)成本分組與頻率分布表如下： 組號(hào) 分組 頻率 1 [66，70] 0.02 2 (70，74] 0.09 3 (74，78] 0.22 4 (78，82] 0.33 5 (82，92] 0.24 6 (92，100] 0.08 7 (100，108] 0.02 根據(jù)題意，生產(chǎn)該食品的平均成本為 70×0.02＋74×0.09＋78×0.22＋82×0.33＋92×0.24＋100×0.08＋108×0.02＝84.52. 3．(2017·石家莊質(zhì)檢二)交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種．若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表： 交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表 浮動(dòng)因素 浮動(dòng)比率 A1 上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮10% A2 上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮20% A3 上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮30% A4 上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 上浮10% A6 上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 上浮30% 某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格： 類型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 數(shù)量 10 5 5 20 15 5 以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問(wèn)題： (1)按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定，a＝950.記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字) (2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車．假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損5 000元，一輛非事故車盈利10 000元： ①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率； ②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤(rùn)的期望值． 解析　(1)由題意可知，X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a. 由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知： P(X＝0.9a)＝，P(X＝0.8a)＝，P(X＝0.7a)＝， P(X＝a)＝，P(X＝1.1a)＝，P(X＝1.3a)＝. 所以X的分布列為 X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3a P 所以E(X)＝0.9a×＋0.8a×＋0.7a×＋a×＋1.1a×＋1.3a×＝＝≈942. (2)①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P＝(1－)3＋C31()2＝. ②設(shè)Y為該銷售商購(gòu)進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn)，Y的可能取值為－5 000，10 000. 所以Y的分布列為 Y －5 000 10 000 P 所以E(Y)＝－5 000×＋10 000×＝5 000， 所以該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌的二手車獲得利潤(rùn)的期望值為100×E(Y)＝500 000元． 4．(2017·長(zhǎng)沙一模)張老師開(kāi)車上班，有路線①與路線②兩條路線可供選擇．路線①：沿途有A，B兩處獨(dú)立運(yùn)行的交通信號(hào)燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為，，若A處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間2分鐘；若B處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間3分鐘；若兩處都遇綠燈，則全程所花時(shí)間為20分鐘． 路線②：沿途有a，b兩處獨(dú)立運(yùn)行的交通信號(hào)燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為，，若a處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間8分鐘；若b處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間5分鐘；若兩處都遇綠燈，則全程所花時(shí)間為15分鐘． (1)若張老師選擇路線①，求他20分鐘能到校的概率； (2)為使張老師日常上班途中所花時(shí)間較少，你建議張老師選擇哪條路線？并說(shuō)明理由． 解析　(1)走路線①，20分鐘能到校意味著張老師在A，B兩處均遇到綠燈，記該事件發(fā)生的概率為P，則P＝×＝. (2)設(shè)選擇路線①的延誤時(shí)間為隨機(jī)變量ξ，則ξ的所有可能取值為0，2，3，5. 則P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＝， P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝5)＝×＝. ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋2×＋3×＋5×＝2. 設(shè)選擇路線②的延誤時(shí)間為隨機(jī)變量η，則η的所有可能取值為0，8，5，13. 則P(η＝0)＝×＝， P(η＝8)＝×＝， P(η＝5)＝×＝， P(η＝13)＝×＝. η的數(shù)學(xué)期望E(η)＝0×＋8×＋5×＋13×＝5. 因此選擇路線①平均所花時(shí)間為20＋2＝22分鐘，選擇路線②平均所花時(shí)間為15＋5＝20分鐘， 所以為使張老師日常上班途中所花時(shí)間較少，建議張老師選擇路線②. 5．(2017·唐山檢測(cè))某課題組對(duì)全班45名同學(xué)的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用如圖所示的莖葉圖表示45名同學(xué)的飲食指數(shù)．說(shuō)明：飲食指數(shù)低于70的人被認(rèn)為喜食蔬菜，飲食指數(shù)不低于70的人被認(rèn)為喜食肉類． (1)根據(jù)莖葉圖，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“喜食蔬菜還是喜食肉類與性別有關(guān)”，說(shuō)明理由； 喜食蔬菜 喜食肉類 合計(jì) 男同學(xué) 女同學(xué) 合計(jì) (2)用分層抽樣的方法按照喜食蔬菜、喜食肉類從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取15名同學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到的喜食肉類的女同學(xué)的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 附：K2＝. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 解析　(1)根據(jù)莖葉圖，完成的2×2列聯(lián)表如下： 喜食蔬菜 喜食肉類 合計(jì) 男同學(xué) 19 6 25 女同學(xué) 17 3 20 合計(jì) 36 9 45 計(jì)算得K2＝＝0.562 5<2.706， 對(duì)照臨界值得出，沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“喜食蔬菜還是喜食肉類與性別有關(guān)”． (2)因?yàn)閺南彩橙忸惖耐瑢W(xué)中抽取的人數(shù)為9×＝3，所以ξ的可能取值有0，1，2，3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 所以ξ的數(shù)學(xué)期望 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. 概率、統(tǒng)計(jì)專練·作業(yè)(二十二) 1．(2017·蘭州實(shí)戰(zhàn)模擬)某手機(jī)廠商推出一款6寸大屏手機(jī)，現(xiàn)對(duì)500名該手機(jī)使用者(200名女性，300名男性)進(jìn)行調(diào)查，對(duì)手機(jī)進(jìn)行打分，打分的頻數(shù)分布表如下： 女性 用戶 分值區(qū)間 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 頻數(shù) 20 40 80 50 10 男性 用戶 分值區(qū)間 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 頻數(shù) 45 75 90 60 30 (1)完成下列頻率分布直方圖，并比較女性用戶和男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大小(不計(jì)算具體值，給出結(jié)論即可)； (2)根據(jù)評(píng)分的不同，運(yùn)用分層抽樣的方法從男性用戶中抽取20名用戶，再?gòu)倪@20名用戶中滿足評(píng)分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶，求3名用戶中評(píng)分小于90分的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解析　(1)女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖如圖． 由圖可知女性用戶評(píng)分的波動(dòng)小，男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大． (2)運(yùn)用分層抽樣的方法從男性用戶中抽取20名用戶，評(píng)分不低于80分的用戶有6人，其中評(píng)分小于90分的有4人， 從6人中任取3人，則X的可能取值為1，2，3， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 所以X的分布列為 X 1 2 3 P E(X)＝＋＋＝2. 2．(2017·廣州綜合測(cè)試二)某商場(chǎng)擬對(duì)某商品進(jìn)行促銷，現(xiàn)有兩種方案供選擇，每種促銷方案都需分兩個(gè)月實(shí)施，且每種方案中第一個(gè)月與第二個(gè)月的銷售相互獨(dú)立．根據(jù)以往促銷的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若實(shí)施方案1，預(yù)計(jì)第一個(gè)月的銷量是促銷前的1.2倍和1.5倍的概率分別是0.6和0.4，第二個(gè)月的銷量是第一個(gè)月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若實(shí)施方案2，預(yù)計(jì)第一個(gè)月的銷量是促銷前的1.4倍和1.5倍的概率分別是0.7和0.3，第二個(gè)月的銷量是第一個(gè)月的1.2倍和1.6倍的概率分別是0.6和0.4.令ξi(i＝1，2)表示實(shí)施方案i的第二個(gè)月的銷量是促銷前銷量的倍數(shù)． (1)求ξ1，ξ2的分布列； (2)不管實(shí)施哪種方案，ξi與第二個(gè)月的利潤(rùn)之間的關(guān)系如下表，試比較哪種方案第二個(gè)月的利潤(rùn)更大． 銷量倍數(shù) ξi≤1.7 1.7<ξi<2.3 ξi≥2.3 利潤(rùn)(萬(wàn)元) 15 20 25 解析　(1)由題意，ξ1的所有取值為1.68，1.92，2.1，2.4， 因?yàn)镻(ξ1＝1.68)＝0.6×0.5＝0.30， P(ξ1＝1.92)＝0.6×0.5＝0.30， P(ξ1＝2.1)＝0.4×0.5＝0.20， P(ξ1＝2.4)＝0.4×0.5＝0.20， 所以ξ1的分布列為 ξ1 1.68 1.92 2.1 2.4 P1 0.30 0.30 0.20 0.20 由題意，ξ2的所有取值為1.68，1.8，2.24，2.4， 因?yàn)镻(ξ2＝1.68)＝0.7×0.6＝0.42， P(ξ2＝1.8)＝0.3×0.6＝0.18. P(ξ2＝2.24)＝0.7×0.4＝0.28. P(ξ2＝2.4)＝0.3×0.4＝0.12， 所以ξ2的分布列為 ξ2 1.68 1.8 2.24 2.4 P2 0.42 0.18 0.28 0.12 (2)令Qi表示實(shí)施方案i在第二個(gè)月所獲得的利潤(rùn)，則 Q1 15 20 25 P 0.30 0.50 0.20 Q2 15 20 25 P 0.42 0.46 0.12 所以E(Q1)＝15×0.30＋20×0.50＋25×0.20＝19.5. E(Q2)＝15×0.42＋20×0.46＋25×0.12＝18.5. 因?yàn)镋(Q1)>E(Q2)， 所以實(shí)施方案1，第二個(gè)月的利潤(rùn)更大． 3．(2017·深圳調(diào)研二)隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生．某市場(chǎng)研究人員為了了解共享單車運(yùn)營(yíng)公司M的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的折線圖． (1)由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)M公司2017年4月份(即x＝7時(shí))的市場(chǎng)占有率； (2)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，公司擬再采購(gòu)一批單車．現(xiàn)有采購(gòu)成本分別為1 000元/輛和1 200元/輛的A，B兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會(huì)導(dǎo)致車輛報(bào)廢年限各不相同．考慮到公司運(yùn)營(yíng)的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對(duì)兩款車型的單車各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩款單車使用壽命頻數(shù)表如下： 　　報(bào)廢年限 車型　　　　 1年 2年 3年 4年 總計(jì) A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 經(jīng)測(cè)算，平均每輛單車每年可以帶來(lái)收入500元．不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率．如果你是M公司的負(fù)責(zé)人，以每輛單車產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你會(huì)選擇采購(gòu)哪款車型？ 參考公式：回歸直線方程為＝ x＋，其中＝,=-. 解析　(1)由折線圖中所給的數(shù)據(jù)計(jì)算可得 ＝＝3.5， ＝＝16. ∴＝ ＝＝2. ∴＝16－2×3.5＝9. ∴月度市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的線性回歸方程為＝2x＋9. 當(dāng)x＝7時(shí)，＝2×7＋9＝23. ∴M公司2017年4月份的市場(chǎng)占有率預(yù)計(jì)為23%. (2)方法1：由頻率估計(jì)概率，每輛A款車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.2，0.35，0.35和0.1. ∴每輛A款車可產(chǎn)生的利潤(rùn)期望值為 E(ξ1)＝(500－1 000)×0.2＋(1 000－1 000)×0.35＋(1 500－1 000)×0.35＋(2 000－1 000)×0.1＝175. 由頻率估計(jì)概率，每輛B款車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.1，0.3，0.4和0.2. ∴每輛B款車可產(chǎn)生的利潤(rùn)期望值為 E(ξ2)＝(500－1 200)×0.1＋(1 000－1 200)×0.3＋(1 500－1 200)×0.4＋(2 000－1 200)×0.2＝150. ∵E(ξ1)>E(ξ2)， ∴應(yīng)該采購(gòu)A款單車． 方法2：由頻率估計(jì)慨率，每輛A款車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.2，0.35，0.35和0.1. ∴每輛A款車可使用年限的期望為 E(η1)＝1×0.2＋2×0.35＋3×0.35＋4×0.1＝2.35. ∴每輛A款車可產(chǎn)生的利潤(rùn)期望值為 2．35×500－1 000＝175. 由頻率估計(jì)概率，每輛B款年可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.1，0.3，0.4和0.2. ∴每輛B款車可使用年限的期望為 E(η2)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.2＝2.7. ∴每輛B款車可產(chǎn)生的利潤(rùn)期望值為 2．7×500－1 200＝150. ∵E(η1)>E(η2)， ∴應(yīng)該采購(gòu)A款單車． 4．(2017·湖北四校聯(lián)考一)某班級(jí)的10名同學(xué)參加某項(xiàng)比賽的預(yù)賽，他們所得分?jǐn)?shù)(單位：分)的莖葉圖如圖所示． 這10名同學(xué)的平均成績(jī)記為，并規(guī)定分?jǐn)?shù)在平均成績(jī)以上的同學(xué)參加決賽，分?jǐn)?shù)在[80，]內(nèi)的同學(xué)作為替補(bǔ)，其余同學(xué)被淘汰． (1)從參加決賽及替補(bǔ)的同學(xué)中任選2人，求這2人中至少有1人參加決賽的概率； (2)從參加決賽及替補(bǔ)的同學(xué)中任選4人，記抽取的4人中參加決賽的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解析　(1)根據(jù)莖葉圖可知＝＝89. 則分?jǐn)?shù)在以上的有5人，在[80，]內(nèi)的有3人，從參加決賽及替補(bǔ)的同學(xué)中任選2人的所有情況共有C82種，其中2人都為替補(bǔ)的情況有C32種． 所以2人中至少有1人參加決賽的概率為P＝1－＝. (2)由題意得X的所有可能取值為1，2，3，4， 則P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列為 X 1 2 3 4 P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 5．(2017·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，理)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計(jì)A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較． 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ， K2＝. 解析　(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P(A)的估計(jì)值為0.62. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表： 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 合計(jì) 舊養(yǎng)殖法 62 38 100 新養(yǎng)殖法 34 66 100 總計(jì) 96 104 200 K2＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． (3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高．因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法． 1．(2017·福建質(zhì)檢)某學(xué)校為鼓勵(lì)家?；?dòng)，與某手機(jī)通訊商合作，為教師辦理流量套餐．為了解該校教師手機(jī)流量使用情況，通過(guò)抽樣，得到100位教師近2年每人手機(jī)月平均使用流量L(單位：M)的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如下： 若將每位教師的手機(jī)月平均使用流量分別視為其手機(jī)月使用流量，并將頻率視為概率，回答以下問(wèn)題． (1)從該校教師中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至多有1人手機(jī)月使用流量不超過(guò)300 M的概率； (2)現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐，詳情如下： 套餐名稱 月套餐費(fèi)/元 月套餐流量/M A 20 300 B 30 500 C 38 700 這三款套餐都有如下附加條款：套餐費(fèi)月初一次性收取，手機(jī)使用流量一旦超出套餐流量，系統(tǒng)就自動(dòng)幫用戶充值200 M流量，資費(fèi)20元；如果又超出充值流量，系統(tǒng)就再次自動(dòng)幫用戶充值200 M流量，資費(fèi)20元，以此類推，如果當(dāng)月流量有剩余，系統(tǒng)將自動(dòng)清零，無(wú)法轉(zhuǎn)入次月使用． 學(xué)校欲訂購(gòu)其中一款流量套餐，為教師支付月套餐費(fèi)，并承擔(dān)系統(tǒng)自動(dòng)充值的流量資費(fèi)的75%，其余部分由教師個(gè)人承擔(dān)，問(wèn)學(xué)校訂購(gòu)哪一款套餐最經(jīng)濟(jì)？說(shuō)明理由． 解析　(1)記“從該校隨機(jī)抽取1位教師，該教師手機(jī)月使用流量不超過(guò)300 M”為事件D. 依題意，P(D)＝(0.000 8＋0.002 2)×100＝0.3. 從該校教師中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中手機(jī)月使用流量不超過(guò)300 M的人數(shù)為X， 則X～B(3，0.3)， 所以從該校教師中隨機(jī)抽取3人，至多有1人手機(jī)月使用流量不超過(guò)300 M的概率為P(X＝0)＋P(X＝1)＝C30×0.30×(1－0.3)3＋C31×0.3×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784. (2)依題意，從該校隨機(jī)抽取1位教師，該教師手機(jī)月使用流量L∈(300，500]的概率為(0.002 5＋0.003 5)×100＝0.6，L∈(500，700]的概率為(0.000 8＋0.000 2)×100＝0.1. 當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)A套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為X1元，則X1的所有可能取值為20，35，50， 且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P(X1＝50)＝0.1， 所以X1的分布列為 X1 20 35 50 P 0.3 0.6 0.1 所以E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)． 當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)B套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為X2元， 則X2的所有可能取值為30，45，且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1， 所以X2的分布列為 X2 30 45 P 0.9 0.1 所以E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)． 當(dāng)學(xué)校訂購(gòu)C套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為x3元，則X3的所有可能取值為38，且P(X3＝38)＝1，所以E(X3)＝38×1＝38(元)． 因?yàn)镋(X2)<E(X1)<E(X3)， 所以學(xué)校訂購(gòu)B套餐最經(jīng)濟(jì)． 2．(2017·洛陽(yáng)統(tǒng)考一)霧霾天氣對(duì)人體健康有傷害，應(yīng)對(duì)霧霾污染、改善空氣質(zhì)量的首要任務(wù)是控制PM 2.5，要從壓減燃煤、嚴(yán)格控車、調(diào)整產(chǎn)業(yè)、強(qiáng)化管理、聯(lián)防聯(lián)控、依法治理等方面采取重大舉措，聚焦重點(diǎn)領(lǐng)域，嚴(yán)格指標(biāo)考核．某省環(huán)保部門為加強(qiáng)環(huán)境執(zhí)法監(jiān)管，派遣四個(gè)不同的專家組對(duì)A、B、C三個(gè)城市進(jìn)行治霾落實(shí)情況抽查． (1)若每個(gè)專家組隨機(jī)選取一個(gè)城市，四個(gè)專家組選取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一個(gè)城市沒(méi)有專家組選取的概率； (2)每一個(gè)城市都要由四個(gè)專家組分別對(duì)抽查情況進(jìn)行評(píng)價(jià)，并對(duì)所選取的城市進(jìn)行評(píng)價(jià)，每個(gè)專家組給檢查到的城市評(píng)價(jià)為優(yōu)的概率為，若四個(gè)專家組均評(píng)價(jià)為優(yōu)則檢查通過(guò)不用復(fù)檢，否則需進(jìn)行復(fù)檢．設(shè)需進(jìn)行復(fù)檢的城市的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望． 解析　(1)隨機(jī)選取，共有34＝81種不同方法， 恰有一個(gè)城市沒(méi)有專家組選取的有C31(C41A22＋C42)＝42種不同方法， 故恰有一個(gè)城市沒(méi)有專家組選取的概率為＝. (2)設(shè)事件A：“一個(gè)城市需復(fù)檢”，則P(A)＝1－()4＝， X的所有可能取值為0，1，2，3， P(X＝0)＝C30·()3＝， P(X＝1)＝C31·()2·＝， P(X＝2)＝C32··()2＝， P(X＝3)＝C33·()3＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P X～B(3，)．E(X)＝3×＝. 3．(2017·四川廣元二診)某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 溫差 x(℃) 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù) y(顆) 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)． (1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率． (2)若選取的是12月1日與12月5日的數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋. (3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆．則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的．試問(wèn)(2)中所得到的線性回歸方程是可靠的嗎？ 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： ＝,=- . 解析　(1)設(shè)“選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天的數(shù)據(jù)”為事件A. 從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中數(shù)據(jù)為12月份的日期數(shù)． 每種情況都是等可能出現(xiàn)的，事件A包括的基本事件有6種． ∴P(A)＝＝選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率是. (2)由數(shù)據(jù)可得＝＝12， ＝＝27. ∴＝＝， ＝－＝27－×12＝－3. ∴y關(guān)于x的線性回歸方程為＝x－3. (3)當(dāng)x＝10時(shí)，＝×10－3＝22，|22－23|<2； 同理，當(dāng)x＝8時(shí)，＝×8－3＝17，|17－16|<2. ∴(2)中所得到的線性回歸方程是可靠的． 4．(2017·云南統(tǒng)一檢測(cè))某地高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的原始成績(jī)采用百分制，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制．各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)：85分及以上，記為A等級(jí)；分?jǐn)?shù)在[70，85)內(nèi)，記為B等級(jí)；分?jǐn)?shù)在[60，70)內(nèi)，記為C等級(jí)；60分以下，記為D等級(jí)．同時(shí)認(rèn)定等級(jí)為A，B，C的學(xué)生成績(jī)?yōu)楹细?，等?jí)為D的學(xué)生成績(jī)?yōu)椴缓细瘢? 已知甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績(jī)均分布在[50，100]內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績(jī)，分別抽取50名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分組作出甲校樣本的頻率分布直方圖(如圖1所示)，乙校的樣本中等級(jí)為C，D的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖(如圖2所示)． (1)求圖1中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲、乙兩校的合格率； (2)在選取的樣本中，從甲、乙兩校C等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用X表示所抽取的3名學(xué)生中甲校的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解析　(1)由題意，可知10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1， ∴x＝0.004. ∴甲學(xué)校的合格率為(1－10×0.004)×100%＝0.96×100%＝96%， 乙學(xué)校的合格率為(1－)×100%＝0.96×100%＝96%. ∴甲、乙兩校的合格率均為96%. (2)樣本中甲校C等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為0.012×10×50＝6，乙校C等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為4. ∴隨機(jī)抽取3名學(xué)生中甲校學(xué)生人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3. ∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 5．(2017·衡水調(diào)研)為了解當(dāng)代中學(xué)生喜歡文科、理科的情況，某中學(xué)一課外活動(dòng)小組在學(xué)校高一進(jìn)行文、理分科時(shí)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問(wèn)卷成績(jī)(單位：分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科意向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科意向”學(xué)生． (1)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科意向”與性別有關(guān)？ (2)將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科意向”的人數(shù)為ξ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)． 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 參考臨界值： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析　(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在[60，80)之間的學(xué)生人數(shù)為0.012 5×20×200＝50，在[80，100]之間的學(xué)生人數(shù)為0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為 理科意向 文科意向 合計(jì) 男 80 30 110 女 40 50 90 合計(jì) 120 80 200 又K2＝≈16.498>6.635， 所以有99%的把握認(rèn)為是否為“文科意向”與性別有關(guān)． (2)易知從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則該人為“文科意向”的概率為p＝＝.依題意知ξ～B(3，)， 所以P(ξ＝i)＝C3i()i(1－)3－i(i＝0，1，2，3)， 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 所以期望E(ξ)＝np＝，方差D(ξ)＝np(1－p)＝. 6．(2017·山西5月聯(lián)考)一個(gè)袋中有大小、質(zhì)地完全相同的4個(gè)紅球和1個(gè)白球，共5個(gè)球，現(xiàn)從中每次隨機(jī)取出2個(gè)球，若取出的有白球必須把白球放回去，紅球不放回，然后取第二次，第三次，…，直到把紅球取完只剩下1個(gè)白球?yàn)橹梗忙伪硎窘K止時(shí)取球的次數(shù)． (1)求ξ＝2的概率； (2)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解析　(1)∵隨機(jī)變量ξ＝2表示從袋中隨機(jī)取球2次且每次取的都是紅球， ∴P(ξ＝2)＝×＝，即ξ＝2的概率為. (2)由題意知隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為2，3，4， 由(1)知P(ξ＝2)＝， 又P(ξ＝4)＝×××＝， ∴P(ξ＝3)＝＝， ∴ξ的分布列為 ξ 2 3 4 P E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝. 7．(2017·合肥質(zhì)檢二)某校計(jì)劃面向高一年級(jí)1 200名學(xué)生開(kāi)設(shè)校本選修課程，為確保工作的順利實(shí)施，先按性別進(jìn)行分層抽樣，抽取了180名學(xué)生對(duì)社會(huì)科學(xué)類、自然科學(xué)類這兩大類校本選修課程進(jìn)行選課意向調(diào)查，其中男生有105人．在這180名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類的男生、女生均為45人． (1)分別計(jì)算抽取的樣本中男生及女生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率，并以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率，估計(jì)實(shí)際選課中選擇社會(huì)科學(xué)類學(xué)生的人數(shù)； (2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成下列2×2列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)？ 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 女生 合計(jì) 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析　(1)由條件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．男生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率為＝，女生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率為＝. 由題意，男生總?cè)藬?shù)為1 200×＝700，女生總?cè)藬?shù)為1 200×＝500.所以估計(jì)實(shí)際選課中選擇社會(huì)科學(xué)類的學(xué)生人數(shù)為700×＋500×＝600. (2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表如下： 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合計(jì) 90 90 180 所以K2＝＝≈5.142 9>5.024. 所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)． - 19 -