6、0.24＋100×0.08＋108×0.02＝84.52.
3．(2017·石家莊質檢二)交強險是車主必須為機動車購買的險種．若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：
交強險浮動因素和浮動費率比率表
浮動因素
浮動比率
A1
上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故
下浮10%
A2
上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故
下浮20%
A3
上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故
下浮30%
A4
上
7、一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故
0%
A5
上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故
上浮10%
A6
上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故
上浮30%
某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：
類型
A1
A2
A3
A4
A5
A6
數量
10
5
5
20
15
5
以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：
(1)按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定，a＝9
8、50.記X為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求X的分布列與數學期望；(數學期望值保留到個位數字)
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車．假設購進一輛事故車虧損5 000元，一輛非事故車盈利10 000元：
①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；
②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值．
解析 (1)由題意可知，X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a.
由統(tǒng)計數據可知：
P(X＝0.9a)＝，P(X
9、＝0.8a)＝，P(X＝0.7a)＝，
P(X＝a)＝，P(X＝1.1a)＝，P(X＝1.3a)＝.
所以X的分布列為
X
0.9a
0.8a
0.7a
a
1.1a
1.3a
P
所以E(X)＝0.9a×＋0.8a×＋0.7a×＋a×＋1.1a×＋1.3a×＝＝≈942.
(2)①由統(tǒng)計數據可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P＝(1－)3＋C31()2＝.
②設Y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為－5 000，10 000.
所以Y的分布列為
Y
－5 000
1
10、0 000
P
所以E(Y)＝－5 000×＋10 000×＝5 000，
所以該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌的二手車獲得利潤的期望值為100×E(Y)＝500 000元．
4．(2017·長沙一模)張老師開車上班，有路線①與路線②兩條路線可供選擇．路線①：沿途有A，B兩處獨立運行的交通信號燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為，，若A處遇紅燈或黃燈，則導致延誤時間2分鐘；若B處遇紅燈或黃燈，則導致延誤時間3分鐘；若兩處都遇綠燈，則全程所花時間為20分鐘．
路線②：沿途有a，b兩處獨立運行的交通信號燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為，，若a處遇紅燈或黃燈，則導致延誤時間8
11、分鐘；若b處遇紅燈或黃燈，則導致延誤時間5分鐘；若兩處都遇綠燈，則全程所花時間為15分鐘．
(1)若張老師選擇路線①，求他20分鐘能到校的概率；
(2)為使張老師日常上班途中所花時間較少，你建議張老師選擇哪條路線？并說明理由．
解析 (1)走路線①，20分鐘能到校意味著張老師在A，B兩處均遇到綠燈，記該事件發(fā)生的概率為P，則P＝×＝.
(2)設選擇路線①的延誤時間為隨機變量ξ，則ξ的所有可能取值為0，2，3，5.
則P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝5)＝×＝.
ξ的數學期望E(ξ)＝0×＋2×＋3×＋5×＝2.
設選擇路線②的延誤時間為隨機
12、變量η，則η的所有可能取值為0，8，5，13.
則P(η＝0)＝×＝，
P(η＝8)＝×＝，
P(η＝5)＝×＝，
P(η＝13)＝×＝.
η的數學期望E(η)＝0×＋8×＋5×＋13×＝5.
因此選擇路線①平均所花時間為20＋2＝22分鐘，選擇路線②平均所花時間為15＋5＝20分鐘，
所以為使張老師日常上班途中所花時間較少，建議張老師選擇路線②.
5．(2017·唐山檢測)某課題組對全班45名同學的飲食習慣進行了一次調查，并用如圖所示的莖葉圖表示45名同學的飲食指數．說明：飲食指數低于70的人被認為喜食蔬菜，飲食指數不低于70的人被認為喜食肉類．
(1)根據莖葉圖，完成下面
13、2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“喜食蔬菜還是喜食肉類與性別有關”，說明理由；
喜食蔬菜
喜食肉類
合計
男同學
女同學
合計
(2)用分層抽樣的方法按照喜食蔬菜、喜食肉類從全班同學中隨機抽取15名同學進行進一步調查，記抽到的喜食肉類的女同學的人數為ξ，求ξ的分布列和數學期望E(ξ)．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
解析 (1)根據莖葉圖，完成的2×2列聯(lián)表如下：
喜食蔬菜
喜食肉類
合計
男同學
19
6
25
女同
14、學
17
3
20
合計
36
9
45
計算得K2＝＝0.562 5<2.706，
對照臨界值得出，沒有90%的把握認為“喜食蔬菜還是喜食肉類與性別有關”．
(2)因為從喜食肉類的同學中抽取的人數為9×＝3，所以ξ的可能取值有0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
所以ξ的數學期望
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
概率、統(tǒng)計專練·作業(yè)(二十二)
1．(2017·蘭州實戰(zhàn)模擬)某手機廠商推出一款6寸大屏手機，現對500名該手機使用
15、者(200名女性，300名男性)進行調查，對手機進行打分，打分的頻數分布表如下：
女性
用戶
分值區(qū)間
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
頻數
20
40
80
50
10
男性
用戶
分值區(qū)間
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
頻數
45
75
90
60
30
(1)完成下列頻率分布直方圖，并比較女性用戶和男性用戶評分的波動大小(不計算具體值，給出結論即可)；
(2)根據評分的不同，運用分層抽樣的方法從男性用戶中抽取20名用戶，再從
16、這20名用戶中滿足評分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶，求3名用戶中評分小于90分的人數X的分布列和數學期望．
解析 (1)女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖如圖．
由圖可知女性用戶評分的波動小，男性用戶評分的波動大．
(2)運用分層抽樣的方法從男性用戶中抽取20名用戶，評分不低于80分的用戶有6人，其中評分小于90分的有4人，
從6人中任取3人，則X的可能取值為1，2，3，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
所以X的分布列為
X
1
2
3
P
E(X)＝＋＋＝2.
2．(2017·廣州綜合測試二)某商場擬對某
17、商品進行促銷，現有兩種方案供選擇，每種促銷方案都需分兩個月實施，且每種方案中第一個月與第二個月的銷售相互獨立．根據以往促銷的統(tǒng)計數據，若實施方案1，預計第一個月的銷量是促銷前的1.2倍和1.5倍的概率分別是0.6和0.4，第二個月的銷量是第一個月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若實施方案2，預計第一個月的銷量是促銷前的1.4倍和1.5倍的概率分別是0.7和0.3，第二個月的銷量是第一個月的1.2倍和1.6倍的概率分別是0.6和0.4.令ξi(i＝1，2)表示實施方案i的第二個月的銷量是促銷前銷量的倍數．
(1)求ξ1，ξ2的分布列；
(2)不管實施哪種方案，ξi與第二個月的利潤之間的
18、關系如下表，試比較哪種方案第二個月的利潤更大．
銷量倍數
ξi≤1.7
1.7<ξi<2.3
ξi≥2.3
利潤(萬元)
15
20
25
解析 (1)由題意，ξ1的所有取值為1.68，1.92，2.1，2.4，
因為P(ξ1＝1.68)＝0.6×0.5＝0.30，
P(ξ1＝1.92)＝0.6×0.5＝0.30，
P(ξ1＝2.1)＝0.4×0.5＝0.20，
P(ξ1＝2.4)＝0.4×0.5＝0.20，
所以ξ1的分布列為
ξ1
1.68
1.92
2.1
2.4
P1
0.30
0.30
0.20
0.20
由題意，ξ2的所有取值為1.
19、68，1.8，2.24，2.4，
因為P(ξ2＝1.68)＝0.7×0.6＝0.42，
P(ξ2＝1.8)＝0.3×0.6＝0.18.
P(ξ2＝2.24)＝0.7×0.4＝0.28.
P(ξ2＝2.4)＝0.3×0.4＝0.12，
所以ξ2的分布列為
ξ2
1.68
1.8
2.24
2.4
P2
0.42
0.18
0.28
0.12
(2)令Qi表示實施方案i在第二個月所獲得的利潤，則
Q1
15
20
25
P
0.30
0.50
0.20
Q2
15
20
25
P
0.42
0.46
0.12
所以E(Q1)
20、＝15×0.30＋20×0.50＋25×0.20＝19.5.
E(Q2)＝15×0.42＋20×0.46＋25×0.12＝18.5.
因為E(Q1)>E(Q2)，
所以實施方案1，第二個月的利潤更大．
3．(2017·深圳調研二)隨著移動互聯(lián)網的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網的共享單車應運而生．某市場研究人員為了了解共享單車運營公司M的經營狀況，對該公司最近六個月內的市場占有率進行了統(tǒng)計，并繪制了相應的折線圖．
(1)由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y與月份代碼x之間的關系，求y關于x的線性回歸方程，并預測M公司2017年4月份(即x＝7時)的市場占有率；
(2)為進
21、一步擴大市場，公司擬再采購一批單車．現有采購成本分別為1 000元/輛和1 200元/輛的A，B兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會導致車輛報廢年限各不相同．考慮到公司運營的經濟效益，該公司決定先對兩款車型的單車各100輛進行科學模擬測試，得到兩款單車使用壽命頻數表如下：
報廢年限
車型
1年
2年
3年
4年
總計
A
20
35
35
10
100
B
10
30
40
20
100
經測算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元．不考慮除采購成本之外的其他成本，假設每輛單車的使用壽命都是整數年，且
22、以頻率作為每輛單車使用壽命的概率．如果你是M公司的負責人，以每輛單車產生利潤的期望值為決策依據，你會選擇采購哪款車型？
參考公式：回歸直線方程為＝ x＋，其中＝,=-.
解析 (1)由折線圖中所給的數據計算可得
＝＝3.5，
＝＝16.
∴＝
＝＝2.
∴＝16－2×3.5＝9.
∴月度市場占有率y與月份代碼x之間的線性回歸方程為＝2x＋9.
當x＝7時，＝2×7＋9＝23.
∴M公司2017年4月份的市場占有率預計為23%.
(2)方法1：由頻率估計概率，每輛A款車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.2，0.35，0.35和0.1.
∴每輛A款車可產生的利潤期
23、望值為
E(ξ1)＝(500－1 000)×0.2＋(1 000－1 000)×0.35＋(1 500－1 000)×0.35＋(2 000－1 000)×0.1＝175.
由頻率估計概率，每輛B款車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.1，0.3，0.4和0.2.
∴每輛B款車可產生的利潤期望值為
E(ξ2)＝(500－1 200)×0.1＋(1 000－1 200)×0.3＋(1 500－1 200)×0.4＋(2 000－1 200)×0.2＝150.
∵E(ξ1)>E(ξ2)，
∴應該采購A款單車．
方法2：由頻率估計慨率，每輛A款車可使用1年、2年、3年和4年的概
24、率分別為0.2，0.35，0.35和0.1.
∴每輛A款車可使用年限的期望為
E(η1)＝1×0.2＋2×0.35＋3×0.35＋4×0.1＝2.35.
∴每輛A款車可產生的利潤期望值為
2．35×500－1 000＝175.
由頻率估計概率，每輛B款年可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.1，0.3，0.4和0.2.
∴每輛B款車可使用年限的期望為
E(η2)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.2＝2.7.
∴每輛B款車可產生的利潤期望值為
2．7×500－1 200＝150.
∵E(η1)>E(η2)，
∴應該采購A款單車．
4．(2017·湖北四校
25、聯(lián)考一)某班級的10名同學參加某項比賽的預賽，他們所得分數(單位：分)的莖葉圖如圖所示．
這10名同學的平均成績記為，并規(guī)定分數在平均成績以上的同學參加決賽，分數在[80，]內的同學作為替補，其余同學被淘汰．
(1)從參加決賽及替補的同學中任選2人，求這2人中至少有1人參加決賽的概率；
(2)從參加決賽及替補的同學中任選4人，記抽取的4人中參加決賽的人數為X，求X的分布列和數學期望．
解析 (1)根據莖葉圖可知＝＝89.
則分數在以上的有5人，在[80，]內的有3人，從參加決賽及替補的同學中任選2人的所有情況共有C82種，其中2人都為替補的情況有C32種．
所以2人中至少有1人
26、參加決賽的概率為P＝1－＝.
(2)由題意得X的所有可能取值為1，2，3，4，
則P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列為
X
1
2
3
4
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
5．(2017·課標全國Ⅱ，理)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：
(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”，估計A的概率；
(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量
27、與養(yǎng)殖方法有關：
箱產量<50 kg
箱產量≥50 kg
舊養(yǎng)殖法
新養(yǎng)殖法
(3)根據箱產量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較．
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
，
K2＝.
解析 (1)舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg的頻率為
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，
故P(A)的估計值為0.62.
(2)根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：
箱產量<50 kg
箱產量≥50 kg
合計
舊養(yǎng)殖法
6
28、2
38
100
新養(yǎng)殖法
34
66
100
總計
96
104
200
K2＝≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關．
(3)箱產量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的產量平均值(或中位數)在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度高．因此，可以認為新養(yǎng)殖法的箱產量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．
1．(2017·福建質檢)某學校為鼓勵家校互動，與某手機通訊商合作，為教師辦理流量套餐．為了解該校教
29、師手機流量使用情況，通過抽樣，得到100位教師近2年每人手機月平均使用流量L(單位：M)的數據，其頻率分布直方圖如下：
若將每位教師的手機月平均使用流量分別視為其手機月使用流量，并將頻率視為概率，回答以下問題．
(1)從該校教師中隨機抽取3人，求這3人中至多有1人手機月使用流量不超過300 M的概率；
(2)現該通訊商推出三款流量套餐，詳情如下：
套餐名稱
月套餐費/元
月套餐流量/M
A
20
300
B
30
500
C
38
700
這三款套餐都有如下附加條款：套餐費月初一次性收取，手機使用流量一旦超出套餐流量，系統(tǒng)就自動幫用戶充值200 M流量，資費
30、20元；如果又超出充值流量，系統(tǒng)就再次自動幫用戶充值200 M流量，資費20元，以此類推，如果當月流量有剩余，系統(tǒng)將自動清零，無法轉入次月使用．
學校欲訂購其中一款流量套餐，為教師支付月套餐費，并承擔系統(tǒng)自動充值的流量資費的75%，其余部分由教師個人承擔，問學校訂購哪一款套餐最經濟？說明理由．
解析 (1)記“從該校隨機抽取1位教師，該教師手機月使用流量不超過300 M”為事件D.
依題意，P(D)＝(0.000 8＋0.002 2)×100＝0.3.
從該校教師中隨機抽取3人，設這3人中手機月使用流量不超過300 M的人數為X，
則X～B(3，0.3)，
所以從該校教師中隨機抽取
31、3人，至多有1人手機月使用流量不超過300 M的概率為P(X＝0)＋P(X＝1)＝C30×0.30×(1－0.3)3＋C31×0.3×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.
(2)依題意，從該校隨機抽取1位教師，該教師手機月使用流量L∈(300，500]的概率為(0.002 5＋0.003 5)×100＝0.6，L∈(500，700]的概率為(0.000 8＋0.000 2)×100＝0.1.
當學校訂購A套餐時，設學校為1位教師承擔的月費用為X1元，則X1的所有可能取值為20，35，50，
且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P(X1＝50)＝0.1，
32、
所以X1的分布列為
X1
20
35
50
P
0.3
0.6
0.1
所以E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．
當學校訂購B套餐時，設學校為1位教師承擔的月費用為X2元，
則X2的所有可能取值為30，45，且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，
所以X2的分布列為
X2
30
45
P
0.9
0.1
所以E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．
當學校訂購C套餐時，設學校為1位教師承擔的月費用為x3元，則X3的所有可能取值為38，且P(X3＝38)＝1，所以E(X3)＝
33、38×1＝38(元)．
因為E(X2)
34、取的城市進行評價，每個專家組給檢查到的城市評價為優(yōu)的概率為，若四個專家組均評價為優(yōu)則檢查通過不用復檢，否則需進行復檢．設需進行復檢的城市的個數為X，求X的分布列和期望．
解析 (1)隨機選取，共有34＝81種不同方法，
恰有一個城市沒有專家組選取的有C31(C41A22＋C42)＝42種不同方法，
故恰有一個城市沒有專家組選取的概率為＝.
(2)設事件A：“一個城市需復檢”，則P(A)＝1－()4＝，
X的所有可能取值為0，1，2，3，
P(X＝0)＝C30·()3＝，
P(X＝1)＝C31·()2·＝，
P(X＝2)＝C32··()2＝，
P(X＝3)＝C33·()3＝.
35、
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P
X～B(3，)．E(X)＝3×＝.
3．(2017·四川廣元二診)某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數，得到如下資料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
溫差
x(℃)
10
11
13
12
8
發(fā)芽數
y(顆)
23
25
30
26
16
該農科所確定的研究方案是：先從這5組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回
36、歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗．
(1)求選取的2組數據恰好是不相鄰兩天數據的概率．
(2)若選取的是12月1日與12月5日的數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程＝x＋.
(3)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆．則認為得到的線性回歸方程是可靠的．試問(2)中所得到的線性回歸方程是可靠的嗎？
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
＝,=- .
解析 (1)設“選取的2組數據恰好是不相鄰兩天的數據”為事件A.
從5組數據中選取2組數據共有10種情況：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(
37、2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中數據為12月份的日期數．
每種情況都是等可能出現的，事件A包括的基本事件有6種．
∴P(A)＝＝選取的2組數據恰好是不相鄰兩天數據的概率是.
(2)由數據可得＝＝12，
＝＝27.
∴＝＝，
＝－＝27－×12＝－3.
∴y關于x的線性回歸方程為＝x－3.
(3)當x＝10時，＝×10－3＝22，|22－23|<2；
同理，當x＝8時，＝×8－3＝17，|17－16|<2.
∴(2)中所得到的線性回歸方程是可靠的．
4．(2017·云南統(tǒng)一檢測)某地高中數學學業(yè)水平考試的原始成績采用百分制，發(fā)布成績
38、使用等級制．各等級劃分標準：85分及以上，記為A等級；分數在[70，85)內，記為B等級；分數在[60，70)內，記為C等級；60分以下，記為D等級．同時認定等級為A，B，C的學生成績?yōu)楹细?，等級為D的學生成績?yōu)椴缓细瘢?
已知甲、乙兩所學校學生的原始成績均分布在[50，100]內，為了比較兩校學生的成績，分別抽取50名學生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分組作出甲校樣本的頻率分布直方圖(如圖1所示)，乙校的樣本中等級為C，D的所有數據的莖葉圖(如圖2所示)．
(1)求圖1中x的值，并根據樣本數據比較甲、乙兩
39、校的合格率；
(2)在選取的樣本中，從甲、乙兩校C等級的學生中隨機抽取3名學生進行調研，用X表示所抽取的3名學生中甲校的學生人數，求隨機變量X的分布列和數學期望．
解析 (1)由題意，可知10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，
∴x＝0.004.
∴甲學校的合格率為(1－10×0.004)×100%＝0.96×100%＝96%，
乙學校的合格率為(1－)×100%＝0.96×100%＝96%.
∴甲、乙兩校的合格率均為96%.
(2)樣本中甲校C等級的學生人數為0.012×10×50＝6，乙校C等級的學生人數為4.
∴隨機抽取3名學
40、生中甲校學生人數X的可能取值為0，1，2，3.
∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列為
X
0
1
2
3
P
數學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
5．(2017·衡水調研)為了解當代中學生喜歡文科、理科的情況，某中學一課外活動小組在學校高一進行文、理分科時進行了問卷調查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績(單位：分)進行統(tǒng)計，將數據按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5組，繪制的頻率分布直
41、方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科意向”學生，低于60分的稱為“理科意向”學生．
(1)根據已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科意向”與性別有關？
(2)將頻率視為概率，現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科意向”的人數為ξ，若每次抽取的結果是相互獨立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．
參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
參考臨界值：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
42、5.024
6.635
7.879
10.828
解析 (1)由頻率分布直方圖可得分數在[60，80)之間的學生人數為0.012 5×20×200＝50，在[80，100]之間的學生人數為0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的學生人數為120.因此列聯(lián)表為
理科意向
文科意向
合計
男
80
30
110
女
40
50
90
合計
120
80
200
又K2＝≈16.498>6.635，
所以有99%的把握認為是否為“文科意向”與性別有關．
(2)易知從該校高一學生中隨機抽取1人，則該人為“文科意向”的概率為p＝＝.依題意知ξ～
43、B(3，)，
所以P(ξ＝i)＝C3i()i(1－)3－i(i＝0，1，2，3)，
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
所以期望E(ξ)＝np＝，方差D(ξ)＝np(1－p)＝.
6．(2017·山西5月聯(lián)考)一個袋中有大小、質地完全相同的4個紅球和1個白球，共5個球，現從中每次隨機取出2個球，若取出的有白球必須把白球放回去，紅球不放回，然后取第二次，第三次，…，直到把紅球取完只剩下1個白球為止．用ξ表示終止時取球的次數．
(1)求ξ＝2的概率；
(2)求ξ的分布列及數學期望．
解析 (1)∵隨機變量ξ＝2表示從袋中隨機取球2次且每次取的都是紅球
44、，
∴P(ξ＝2)＝×＝，即ξ＝2的概率為.
(2)由題意知隨機變量ξ的所有可能取值為2，3，4，
由(1)知P(ξ＝2)＝，
又P(ξ＝4)＝×××＝，
∴P(ξ＝3)＝＝，
∴ξ的分布列為
ξ
2
3
4
P
E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.
7．(2017·合肥質檢二)某校計劃面向高一年級1 200名學生開設校本選修課程，為確保工作的順利實施，先按性別進行分層抽樣，抽取了180名學生對社會科學類、自然科學類這兩大類校本選修課程進行選課意向調查，其中男生有105人．在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45人．
(1)分別計算抽取的樣本中男生
45、及女生選擇社會科學類的頻率，并以統(tǒng)計的頻率作為概率，估計實際選課中選擇社會科學類學生的人數；
(2)根據抽取的180名學生的調查結果，完成下列2×2列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關？
選擇自然科學類
選擇社會科學類
合計
男生
女生
合計
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.
46、706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解析 (1)由條件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．男生選擇社會科學類的頻率為＝，女生選擇社會科學類的頻率為＝.
由題意，男生總人數為1 200×＝700，女生總人數為1 200×＝500.所以估計實際選課中選擇社會科學類的學生人數為700×＋500×＝600.
(2)根據統(tǒng)計數據，可得2×2列聯(lián)表如下：
選擇自然科學類
選擇社會科學類
合計
男生
60
45
105
女生
30
45
75
合計
90
90
180
所以K2＝＝≈5.142 9>5.024.
所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關．
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