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1、
考點(diǎn)11 三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)
1.（2010·四川高考理科·Ｔ6）將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把
所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【命題立意】主要考查三角函數(shù)圖象的平移變換，周期變換.
【思路點(diǎn)撥】變換原則：平移變換，左加右減；周期變換為前系數(shù)的變換.
【規(guī)范解答】選C.將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象的解
析式為，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解
析式是.故選C.
2、
【方法技巧】平移變換是指系數(shù)為1時(shí)的變換.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，即的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼?
2.（2010·全國(guó)高考卷Ⅱ理科·Ｔ7）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（ ）
（A）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 （B）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位
（C）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 （D）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位
【命題立意】本題考查了三角函數(shù)的圖象平移變換的知識(shí).
【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用平移知識(shí)解決.
【規(guī)范解答】 選B 由得2φ，所以.
【方法技巧】⑴當(dāng)函數(shù)解析式中x的系數(shù)不是1時(shí)，平移變換時(shí)要先提出x的系數(shù)，此題防止錯(cuò)選D項(xiàng).
⑵平移的方向?yàn)?“左加右
3、減”.
3.（2010·江西高考文科·Ｔ１２）如圖，四位同學(xué)在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別選定了一個(gè)適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，各自作出三個(gè)函數(shù)， ，的圖象如下.結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有一位同學(xué)作出的圖象有錯(cuò)誤，那么有錯(cuò)誤的圖象是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
【命題立意】本題主要考查三角函數(shù)圖象的作圖、識(shí)圖能力.
【思路點(diǎn)撥】將三個(gè)函數(shù)的圖象作在同一個(gè)坐標(biāo)系中進(jìn)行比較即可，或仔細(xì)觀察四個(gè)選項(xiàng)的
相同
4、與不同之處.
【規(guī)范解答】選C.作圖，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行比較，A，B，D相同，只有C不同.
【方法技巧】從題設(shè)條件出發(fā)，結(jié)合所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)“四選一”的要求，逐步剔除干擾項(xiàng)，從而得出正確的判斷.這種方法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題.當(dāng)題目中的變化情況較多時(shí)，先根據(jù)某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以排除，再根據(jù)另一些條件在縮小的選擇支的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選項(xiàng).它與特例法、圖解法等結(jié)合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中考查較多.
4.（2010·湖北高考文科·Ｔ2）函數(shù)f(x)= 的最小正周期為（ ）
(A) (B) (C)2
5、 (D)4
【命題立意】本題主要考查型函數(shù)的周期．
【思路點(diǎn)撥】型函數(shù)的最小正周期.
【規(guī)范解答】選D.由型函數(shù)的最小正周期可得函數(shù)
f(x)=的最小正周期.
【方法技巧】（）型函數(shù)的最小正周期；型函數(shù)的最小正周期.
5.（2010·上海高考理科·Ｔ１5）“”是“”成立的（ ）
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分條件 （D）既不充分也不必要條件
【命題立意】本題考查了充要條件、三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．
【思路點(diǎn)撥】先將等價(jià)轉(zhuǎn)化，求出相應(yīng)的x的值，再與作比較．
【規(guī)范解答】選A. ，
，
6、
所以“”是“”成立的充分不必要條件．
【方法技巧】（1）,則A是B的充分條件，B是A的必要條件；（2）“”是的充分條件，是的必要條件．
第（6）題
6.（2010·重慶高考理科·Ｔ6）已知函數(shù)
的部分圖象如圖所示，則（ ）
（A）=1，= （B）=1，=
（C）=2，= （D）=2，=
【命題立意】本小題考查形如的函數(shù)的圖象和性質(zhì)，如周期，平移等，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.
【思路點(diǎn)撥】從圖象上找出兩個(gè)已知點(diǎn)（，1）和是關(guān)鍵.
【規(guī)范解答】選D .（方法一）觀察函數(shù)的圖象可知，圖象過點(diǎn)（，
7、1）和，所以所以
（方法二）觀察函數(shù)的圖象可知，是四分之一個(gè)周期，所以函數(shù)的最小正周期是，所以，，排除A，B，再由，所以，選D.
【方法技巧】由圖象中的條件判斷出到 之間的長(zhǎng)度是四分之一個(gè)周期可以簡(jiǎn)捷解答.
7.（2010·江西高考文科·Ｔ６）函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
（A） （B） （C） （D）
【命題立意】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)：定義域和值域；考查換元及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，考查考生的運(yùn)算求解能力．
【思路點(diǎn)撥】可用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.
【規(guī)范解答】選C.令則故選C.
【方法技巧】求函數(shù)的值域一般有以下常見的方法：直接法、公式法、分離變量法、單調(diào)性法、
8、反函數(shù)法、判別式法、換元法、利用有界性、求導(dǎo)法、利用均值不等式等，平時(shí)應(yīng)認(rèn)真體會(huì)并熟練掌握.
8.（2010·重慶高考文科·Ｔ6）下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【命題立意】本小題考查形如的函數(shù)的性質(zhì)：周期性、單調(diào)性、圖象的平移變換等，考查運(yùn)算求解的能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想.
【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)周期排除幾個(gè)選項(xiàng)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定選項(xiàng).
【規(guī)范解答】選A .因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以，，排除C,D；再選取你熟悉的正弦或余弦函數(shù)，取原點(diǎn)附近的一個(gè)減區(qū)間，如函數(shù)在，即上是減函數(shù)，所以在上為減
9、函數(shù)；或函數(shù)在，即上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
【方法技巧】（1）采用排除法，分步判斷選項(xiàng).（2）在選取函數(shù)的減區(qū)間時(shí),注意由正弦或余弦函數(shù)的圖象平移的方向和最短距離，選取原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)減區(qū)間判斷.
9.（2010·江西高考理科·Ｔ１７）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的取值范圍．
（2）當(dāng)時(shí)，，求的值．
【命題立意】本題主要考查二倍角的正弦、余弦和正切、兩角差的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。
【思路點(diǎn)撥】（1）先化簡(jiǎn)，再求取值范圍.（２）也要先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再用二倍角公式求出和
的值，最后代入計(jì)算.
【規(guī)范解答】（1）當(dāng)時(shí)，
，
又
10、由得，所以，
從而．
（２）+-
+
，
由得=，
【方法技巧】三角函數(shù)的綜合問題是每一年必考的內(nèi)容，主要考查三角函數(shù)的變換.特別是二倍角公式，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的訓(xùn)練并熟練掌握函數(shù)的性質(zhì).對(duì)于本題第(2)問，應(yīng)先化簡(jiǎn)到只含和的形式，再利用條件求解.
10.（2010·湖北高考文科·Ｔ16）已經(jīng)函數(shù)
(Ⅰ)函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變化得出？
（Ⅱ）求函數(shù)的最小值，并求使取得最小值的的集合.
【命題立意】本題主要考查三角函數(shù)式的恒等變換、圖象變換以及求三角函數(shù)的最值，同時(shí)考查考生的運(yùn)算求解能力．
【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ) 先將函數(shù)解析式等價(jià)變形為的形式，再與
11、的解析式對(duì)照，比較它們的振幅、周期、相位等寫出變化過程.
（Ⅱ）將函數(shù)變形為或的形式，再利用正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出最小值時(shí)x的集合.
【規(guī)范解答】(Ⅰ)，所以要得到的圖象只需把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可。
（Ⅱ），
當(dāng)且僅當(dāng)Z)時(shí)取得最小值，此時(shí)對(duì)應(yīng)的的集合為{ Z}。
【方法技巧】1、三角函數(shù)中的圖象變換問題一般要先將表達(dá)式化簡(jiǎn)到或的形式（兩函數(shù)所用三角函數(shù)要同名），然后再通過比較兩函數(shù)的振幅、周期、相位等寫出變化過程。
2、三角函數(shù)中的最值問題一般要先借用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角公式等化到或的形式
12、，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解。
11.（2010·湖北高考理科·Ｔ16）已知函數(shù)
，．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期.
（Ⅱ）求函數(shù)的最大值，并求使取得最大值的的集合．
【命題立意】本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，考查函數(shù)=（或=）的最小正周期求法以及利用函數(shù)圖象求函數(shù)值域,考查考生的運(yùn)算求解能力.
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）將函數(shù)化簡(jiǎn)成的形式，然后利用公式求其最小正周期.（Ⅱ）將函數(shù)化簡(jiǎn)成Acos的形式，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求其最大值以及取得最大值的的集合.
【規(guī)范解答】（Ⅰ）
，
因此的最小正周期為.
（Ⅱ），當(dāng)且僅當(dāng)Z)時(shí)，取得最大值，
13、取得最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的的集合為{Z}
【方法技巧】復(fù)雜的三角函數(shù)問題如求周期、值域等，首先要將函數(shù)解析式利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等化到最簡(jiǎn)，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解。
12.（2010·江西高考文科·Ｔ1９）已知函數(shù).
（1）若，求.
（2）若，求的取值范圍.
【命題立意】本題主要考查二倍角的正弦、余弦和正切、兩角和的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力.
【思路點(diǎn)撥】（1）先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再用二倍角公式求出和的值，最后代入計(jì)算；
（２）也要先化簡(jiǎn)，再求取值范圍.
【規(guī)范解答】（1）
，
由得，
，
所以.
（2）由（1）得，
由得，所以
從而.
【方法技巧】三角函數(shù)的綜合問題是每一年必考的內(nèi)容，主要考查三角函數(shù)的變換.特別是二倍角公式，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的訓(xùn)練并熟練掌握函數(shù)的性質(zhì).對(duì)于本題第(1)問，應(yīng)先化簡(jiǎn)到只含和的形式，再利用條件求解.
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高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn) 三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)練習(xí)
