（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 14個(gè)填空題專項(xiàng)強(qiáng)化練（十五）推理與證明

14個(gè)填空題專項(xiàng)強(qiáng)化練(十五)　推理與證明 A組——題型分類練 題型一　合情推理 1．已知不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，照此規(guī)律總結(jié)出第n個(gè)不等式為________________________________． 解析：由已知，三個(gè)不等式可以寫成1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，所以照此規(guī)律可得到第n個(gè)不等式為1＋＋＋…＋＋＜＝. 答案：1＋＋＋…＋＋＜ 2．對(duì)于命題：若O是線段AB上一點(diǎn)，則有·＋·＝0. 將它類比到平面的情形是： 若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0. 將它類比到空間的情形應(yīng)該是：若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有________________________________________________________________________． 解析：將平面中的相關(guān)結(jié)論類比到空間，通常是將平面中的圖形的面積類比為空間中的幾何體的體積，因此依題意可知：若O為四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有VOBCD·＋VOACD·＋VOABD·＋VOABC·＝0. 答案：VOBCD·＋VOACD·＋VOABD·＋VOABC·＝0 3．觀察下列等式：＋2＝4，×2＝4；＋3＝，×3＝；＋4＝，×4＝；…，根據(jù)這些等式反映的結(jié)果，可以得出一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的等式，這個(gè)等式可以表示為________________________． 解析：由歸納推理得＋(n＋1)＝＝， ×(n＋1)＝，所以得出結(jié)論＋(n＋1)＝×(n＋1)(n∈N*)． 答案：＋(n＋1)＝×(n＋1)(n∈N*) 4．已知圓的方程是x2＋y2＝r2，則經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為xx0＋yy0＝r2.類比上述性質(zhì)，可以得到過橢圓＋＝1上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為________． 解析：圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個(gè)x與y分別用M(x0，y0)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換．故可得橢圓＋＝1類似的性質(zhì)為：過橢圓＋＝1上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為＋＝1. 答案：＋＝1 題型二　演繹推理 1．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x，對(duì)于等差數(shù)列{an}滿足：f(a2－1)＝2，f(a2 016－3)＝－2，Sn是其前n項(xiàng)和，則S2 017＝________. 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋x為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增， 又因?yàn)閒(a2－1)＝2，f(a2 016－3)＝－2，則a2－1＝－(a2 016－3)，即a2＋a2 016＝4，即a1＋a2 017＝4. 則S2 017＝(a1＋a2 017)＝4 034. 答案：4 034 2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別在x軸與直線y＝(x＋1)上從左向右依次取點(diǎn)Ak，Bk，k＝1,2，…，其中A1是坐標(biāo)原點(diǎn)，使△AkBkAk＋1都是等邊三角形，則△A10B10A11的邊長(zhǎng)是________． 解析：因?yàn)椤鰽kBkBk－1是一個(gè)內(nèi)角為的直角三角形，易得A1A2＝1，且＝2, 所以△A10B10A11的邊長(zhǎng)是以A1A2＝1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的第10項(xiàng)，所以△A10B10A11的邊長(zhǎng)是1×29＝512. 答案：512 3.如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)這樣定義：若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分別是x軸，y軸正方向上的單位向量)，則點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x，y)，向量的斜坐標(biāo)為(x，y)．給出以下結(jié)論： ①若θ＝60°，P(2，－1)，則||＝； ②若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)； ③若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則·＝x1x2＋y1y2； ④若θ＝60°，以O(shè)為圓心、1為半徑的圓的斜坐標(biāo)方程為x2＋y2＋xy－1＝0. 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________． 解析：對(duì)于①，OP是兩鄰邊長(zhǎng)分別為2,1，且一內(nèi)角為60°的平行四邊形較短的對(duì)角線，解三角形可知||＝，故①正確；對(duì)于②，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，故②正確；對(duì)于③，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以·＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)，因?yàn)閑1·e2≠0，所以·≠x1x2＋y1y2，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，設(shè)圓O上任意一點(diǎn)為P(x，y)，因?yàn)镺P＝1，所以(xe1＋ye2)2＝1，所以x2＋y2＋xy－1＝0，故④正確．故填①②④. 答案：①②④ 4．在△ABC中，已知AB＝2，AC2－BC2＝6，則tan C的最大值是________． 解析：法一：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(－1,0)，B(1,0)．設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x，y)(y＞0)，由AC2－BC2＝6，得(x＋1)2＋y2－＝6，即x＝，所以C.過C作CD⊥AB，垂足為D，所以tan∠ACD＝， tan∠BCD＝，所以tan C＝tan∠ACB ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)“y＝，即y＝”時(shí)取等號(hào)，所以tan C的最大值為. 法二：設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則c＝2，b2－a2＝6，所以2b2－2a2＝3c2， 由余弦定理得， cos C＝＝ ＝≥， 故tan C≤. 且當(dāng)a＝，b＝，c＝2時(shí)，tan C＝. 所以tan C的最大值為. 答案： 題型三　直接證明與間接證明 1．用反證法證明命題：若a＋b＋c為偶數(shù)，則“自然數(shù)a，b，c恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)應(yīng)反設(shè)為____________________________． 解析：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定是“自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”． 答案：自然數(shù)a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) 2．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，則在a＋b,2，a2＋b2和2ab中最大的是________． 解析：因?yàn)?<a<1,0<b<1，且a≠b，所以a＋b>2，a2＋b2>2ab，a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)>0，所以a＋b最大． 答案：a＋b 3．下列條件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的條件的序號(hào)是________． 解析：要使＋≥2，只需＞0且＞0成立，即a，b不為0且同號(hào)即可，故①③④都能使＋≥2成立． 答案：①③④ 4．凸函數(shù)的性質(zhì)定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函數(shù)y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為________． 解析：因?yàn)閒(x)＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，且A，B，C∈(0，π)．所以≤f＝f，即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝，所以sin A＋sin B＋sin C的最大值為. 答案： B組——高考提速練 1．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是______________． 解析：因?yàn)镻2＝2a＋7＋2·＝2a＋7＋2，Q2＝2a＋7＋2·＝2a＋7＋2，所以P2<Q2，所以P<Q. 答案：P<Q 2．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件的是________(填序號(hào))． 解析：在①中，假設(shè)a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，則a＋b≤2與題干a＋b>2矛盾，故假設(shè)不成立，所以①能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”．在②中，若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2＞2成立，故②不能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1” . 答案：① 3.將正整數(shù)1,2,3,4，…按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第10行左數(shù)第10個(gè)數(shù)是________． 解析：由三角形數(shù)組可推斷出，第n行共有2n－1項(xiàng)，且最后一項(xiàng)為n2，所以第10行共有19項(xiàng)，最后一項(xiàng)為100，故左數(shù)第10個(gè)數(shù)是91. 答案：91 4．定義運(yùn)算：xy＝例如：34＝3，(－2)4＝4，則函數(shù)f(x)＝x2(2x－x2)的最大值為________ 解析：由題意可得f(x)＝x2(2x－x2)＝當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)∈[0,4]；當(dāng)x＞2或x＜0時(shí)，f(x)∈(－∞，0)． 綜上可得函數(shù)f(x)的最大值為4. 答案：4 5．已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為____________． 解析：由題意知，an＝，bn＝n，所以cn＝－n＝.顯然，cn隨著n的增大而減小，所以cn＞cn＋1. 答案：cn＞cn＋1 6．已知：f(x)＝，設(shè)f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n＞1且n∈N*)，則通過計(jì)算分析，猜想fn(x)(n∈N*)的表達(dá)式為________________． 解析：由f1(x)＝f(x)和fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n＞1且n∈N*)，得f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，f3(x)＝f2[f2(x)]＝＝，…，由此猜想fn(x)＝(n∈N*)． 答案：fn(x)＝(n∈N*) 7．定義：如果一個(gè)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常，那么這個(gè)列叫作等差列，這個(gè)常叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝(1,3)為首項(xiàng)，公差為d＝(1,0)的等差向量列，若向量an與非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，則＝________. 解析：易知an＝(1,3)＋(n－1,0)＝(n,3)，因?yàn)橄蛄縜n與非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，所以＝－，所以＝········＝××××××××＝－. 答案：－ 8．二維空間中，圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2；三維空間中，球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝πr3.應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，則其四維測(cè)度W＝________. 解析：在二維空間中，圓的二維測(cè)度(面積)S＝πr2，則其導(dǎo)數(shù)S′＝2πr，即為圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l＝2πr；在三維空間中，球的三維測(cè)度(體積)V＝πr3，則其導(dǎo)數(shù)V′＝4πr2，即為球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2；應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，則其四維測(cè)度W＝2πr4. 答案：2πr4 9．大數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)這樣說過“數(shù)學(xué)本身賴以獲得真理的重要手段就是歸納和類比”．事實(shí)上，數(shù)學(xué)中的許多重要定理和猜想都是通過歸納總結(jié)出來的，如歐拉公式：觀察三棱錐、四棱錐、三棱柱、五棱柱等多面體，發(fā)現(xiàn)其頂點(diǎn)數(shù)V與面數(shù)F的和與棱數(shù)E相差2，即V＋F－E＝2，于是猜想任意凸多面體都具有這樣的性質(zhì)，后經(jīng)過嚴(yán)格證明確實(shí)如此．利用上述思想，觀察下列等式： 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …… 則第7個(gè)等式左端的和式的最后一個(gè)數(shù)字、右端的結(jié)果分別是________、________. 解析：由1,4,7,10知，第7個(gè)等式左端的和式的最后一個(gè)數(shù)字為1＋6×3＝19；由12,32,52,72知，第7個(gè)等式右端的結(jié)果為132＝169. 答案：19　169 10．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．對(duì)任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，則的最大值為________． 解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝2ax＋b， ∵對(duì)任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立， ∴ax2＋bx＋c≥2ax＋b恒成立， 即ax2＋(b－2a)x＋(c－b)≥0恒成立， 故Δ＝(b－2a)2－4a(c－b)＝b2＋4a2－4ac≤0，且a＞0， 即b2≤4ac－4a2， ∴4ac－4a2≥0， ∴c≥a＞0， ∴－1≥0， 故≤＝ ＝ ＝≤＝2－2. 當(dāng)且僅當(dāng)2＝2時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為2－2. 答案：2－2 11．若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意的n∈N*，只有有限個(gè)正整數(shù)m使得am＜n成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為(an)*，則得到一個(gè)新數(shù)列{(an)*}．例如，若數(shù)列{an}是1,2，3，…，n，則數(shù)列{(an)*}是0,1,2，…，n－1，已知對(duì)任意的n∈N*，an＝n2，則(a5)*＝________，((an)*)*＝______. 解析：因?yàn)閍m＜5，而an＝n2，所以m＝1,2，所以(a5)*＝2. 因?yàn)?a1)*＝0， (a2)*＝1，(a3)*＝1，(a4)*＝1， (a5)*＝2，(a6)*＝2，(a7)*＝2，(a8)*＝2，(a9)*＝2， (a10)*＝3，(a11)*＝3，(a12)*＝3，(a13)*＝3，(a14)*＝3，(a15)*＝3，(a16)*＝3， 所以((a1)*)*＝1，((a2)*)*＝4，((a3)*)*＝9，((a4)*)*＝16， 猜想((an)*)*＝n2. 答案：2　n2 12．如下圖所示的數(shù)陣中，第10行第2個(gè)數(shù)字是________． 1 　 　　 　　　 　　　　 …… 解析：根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，找出每行第2個(gè)數(shù)字的規(guī)律為：從第2行起，每一行第2個(gè)數(shù)字的分母加上所在行數(shù)為下一行的第2個(gè)數(shù)字的分母，所以按照規(guī)律，依次往下推得知，第6行為，第7行為，第8行為，第9行為，第10行為，所以答案為. 答案： 13．已知對(duì)任意的x∈R,3a(sin x＋cos x)＋2bsin 2x≤3(a，b∈R)恒成立，則當(dāng)a＋b取得最小值時(shí)，a的值是________． 解析：令sin x＋cos x＝－， 則sin 2x＝－， 代入得－(a＋b)≤3， 即a＋b≥－2. 而當(dāng)a＋b＝－2時(shí)， 令sin x＋cos x＝t，t∈[－， ]， 代入并整理得－2bt2＋3(2＋b)t＋3＋2b≥0，對(duì)?t∈[－， ]恒成立． 所以Δ＝9(2＋b)2＋8b(3＋2b)≤0， 即(5b＋6)2≤0， 從而b＝－，a＝－. 而當(dāng)a＝－，b＝－時(shí)，3a(sin x＋cos x)＋2bsin 2x＝－2＋3≤3. 所以a＋b取得最小值－2，此時(shí)a＝－. 答案：－ 14．觀察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)； 1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)； 1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)． 可以推測(cè)，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________. 解析：根據(jù)式子中的規(guī)律可知，等式右側(cè)為n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝ n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)． 答案：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) 9