定積分及其應(yīng)用 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)

第七章 定積分及其應(yīng)用 學(xué)習(xí)輔導(dǎo) 定積分及其應(yīng)用 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] ⒈了解定積分的概念；知道定積分的定義、幾何意義和物理意義；了解定積分的主要性質(zhì)，主要是線性性質(zhì)和積分對(duì)區(qū)間的可加性， 　　( 為常數(shù) ) 還應(yīng)熟悉以下性質(zhì) ⒉了解原函數(shù)存在定理；會(huì)求變上限定積分的導(dǎo)數(shù)。 若，則 　?、呈炀氄莆张ｎD——萊布尼茨公式，換元積分法和分部積分法。 4.掌握在直角坐標(biāo)系下計(jì)算平面曲線圍成圖形的面積；會(huì)計(jì)算平面曲線圍成的圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積。 由曲線和及直線圍成的面積，有 　　對(duì)于對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分，要知道 　　當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)有　　 當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)有　　 （一）單項(xiàng)選擇題 （1）．下列式子中，正確的是（ ）。 A. B. C. D. (2). 下列式子中，正確的是（ ） A. B. C. D. (4) 若是上的連續(xù)偶函數(shù)，則 。 A. B． 0 C． D． (5) 若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積( ). A. B. C. D. 答案：（1） A；（2）D； （3）D； （4）C； （5）A。 解：（1）根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知 A正確。 而 B不正確。 在（0，1）區(qū)間內(nèi) C 不正確。 根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān)，而與積分變量的選取無(wú)關(guān)。 故D不正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 ∴A、C不正確。 由定積分定義知 B不正確。 D正確。 （4）C。正確。 （5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) ∴ A正確。 （二） 填空題 (1) (2) (3) 在區(qū)間上，曲線和軸所圍圖形的面積為_(kāi)_____________。 (4) 答案： 解：（1） （2） （2） 所圍圖形的面積S= （3） y= 所圍圖形的面積∴ （三）　計(jì)算下列定積分 (1） (2） （3） （4） （5） 答案： (1） (2） （3） （4） (5) （四）定積分應(yīng)用 例1 計(jì)算拋物線與直線所圍成的圖形面積。 解：1、先畫(huà)所圍的圖形簡(jiǎn)圖 解方程 , 得交點(diǎn)： 和 。 2. 選擇積分變量并定區(qū)間 選取為積分變量，則 3. 給出面積元素 在上， 在上， 4. 列定積分表達(dá)式 另解：若選取為積分變量，則 顯然，解法二較簡(jiǎn)潔，這表明積分變量的選取有個(gè)合理性的問(wèn)題。 求橢圓所圍成的面積 。 解：據(jù)橢圓圖形的對(duì)稱(chēng)性，整個(gè)橢圓面積應(yīng)為位于第一象限內(nèi)面積的4倍。 取為積分變量，則 ， 故 ( * ) 作變量替換 則 ， ( * * ) 計(jì)算心臟線所圍成的圖形面積。 解： 由于心臟線關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)， 第一節(jié) 定積分的概念 思考題： 1. 如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義推出下列積分的值： （1）, （2）, （3）, （4）. 解：若在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積. 若時(shí)，在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍平面圖形面積的負(fù)值. （1）由下圖（1）所示，. 2 A ( 2 ) - 1 - 1 1 1 1 A 1 A ( 1 ) 1 - 1 3 A 4 A 5 A 2 π π ( 3 ) 1 1 (4) （2）由上圖（2）所示，. （3）由上圖（3）所示，. （4）由上圖（4）所示，. 2. 若當(dāng)，有，下面兩個(gè)式子是否均成立，為什么？ （1）, （2）. 答：由定積分的比較性質(zhì)知（1）式成立，而不定積分的結(jié)果表示一族函數(shù)，與不能比較大小，故（2）式不成立. 3. 個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值與連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值有何區(qū)別與聯(lián)系？ 答：二者均反映了多個(gè)數(shù)的平均值大小，后者是前者的推廣，但個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值是有限個(gè)數(shù)的平均值，而連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值反映的是無(wú)限個(gè)數(shù)的平均值，前者計(jì)算公式是,后者計(jì)算公式是. 習(xí)作題： 1. 用定積分的定義計(jì)算定積分,其中為一定常數(shù). 解：任取分點(diǎn),把分成個(gè)小區(qū)間，小區(qū)間長(zhǎng)度記為=-,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)作乘積的和式： , 記, 則. 2. 利用定積分的估值公式，估計(jì)定積分的值. 解：先求在上的最值，由 , 得或. 比較 的大小，知 ， 由定積分的估值公式，得, 即 . 3. 求函數(shù)在閉區(qū)間[-1，1]上的平均值. 解：平均值. 4. 利用定積分的定義證明. 證明：令,則，任取分點(diǎn)…,把分成個(gè)小區(qū)間，并記小區(qū)間長(zhǎng)度為，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作乘積的和式,記, 則 . 第二節(jié) 微積分基本公式 思考題： 1. ? 答：因?yàn)槭且詾樽宰兞康暮瘮?shù)，故=0. 2. 答：因?yàn)槭浅?shù)，故. 3. ？ 答：因?yàn)榈慕Y(jié)果中不含，故0. 4. ？ 答：由變上限定積分求導(dǎo)公式，知. 5. ？ 答：. 6. 若，則=？ 答：=. 7. 當(dāng)為積分區(qū)間上的分段函數(shù)時(shí)，問(wèn)如何計(jì)算定積分？試舉例說(shuō)明. 答：分段函數(shù)的定積分應(yīng)采用定積分關(guān)于積分區(qū)間的分割性質(zhì)，將分解為部分區(qū)間上的定積分來(lái)計(jì)算.例如：若 則 =+==. 8. 對(duì)于定積分，湊微分法還能用嗎？為什么？ 答：能用.因?yàn)槎ǚe分是通過(guò)被積函數(shù)的原函數(shù)來(lái)計(jì)算，而湊微分法所得原函數(shù)不須作變量置換. 習(xí)作題： 1. 計(jì)算下列定積分 （1）, （2）, （3）. 解：（1）=+ ===1. （2）=+ ==4+. （3）=+ ==2+2=4. 2. 求極限. 解：此極限是“”型未定型，由洛必達(dá)法則，得 == 3. 計(jì)算下列各題： （1）， （2）， （3）, （4）, （5）, （6）, （7）, （8）, （9）, （10）, （11）, （12）, （13）. 解：（1）=. （2）=. （3）. （4）=. （5）. （6）. （7）===. （8）== =. (9) ==. (10) ===. （11）===. （12）==. （13）===. 求下列定積分 ① ② 解：原式 ③ ④ 第三節(jié) 定積分的積分方法 思考題： 1. 下面的計(jì)算是否正確，請(qǐng)對(duì)所給積分寫(xiě)出正確結(jié)果： （1）= = =. （2） = ==2 =2. 答：（1）不正確，應(yīng)該為： =. （2）不正確，應(yīng)該為： =2. 2. 定積分與不定積分的換元法有何區(qū)別與聯(lián)系？ 答：定積分與不定積分的換元法的區(qū)別在于：不定積分換元積分后要作變量回代，定積分在換元時(shí)要同時(shí)變換積分限，而不用作變量回代. 聯(lián)系在于：二者均要求置換的變?cè)獑握{(diào)可導(dǎo)，且選擇變?cè)囊?guī)律相同. 3. 利用定積分的幾何意義，解釋奇偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分所具有的規(guī)律. 答：如圖, 設(shè)在上滿足≥0，則表示由曲線，直線，及軸所圍圖形的面積，不妨記為，則當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，(如下圖(1)所示)，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，(如下圖(2)所示). x y O a -a A A x y a -a A A O （1） （2） 習(xí)作題: 1. 計(jì)算下列定積分: (1), (2). 解：（1）令=, 則, 當(dāng)= 0 時(shí)，= 0 ; 當(dāng)= 4 時(shí)，， 于是 =. （2）==. 解：令，則，， 原式= 解：令，則，， 原式= 2. 計(jì)算下列定積分： （1）, （2）, （3）, （4）. 解：（1）== =. (2) = . (3) = =0= = 移項(xiàng)合并得. （4） =. 解：令，則 原式 其他題目： A A AD C C 14