高等數(shù)學(xué)：第四章 第4節(jié) 分部積法

1第四節(jié) 分部積分一、分部積分公式一、分部積分公式二、分部積分舉例二、分部積分舉例三、總結(jié)三、總結(jié)2 2 由上節(jié)可知，基礎(chǔ)上得到的，積函數(shù)是由兩個(gè)不同類型函數(shù)的乘積時(shí)，如：xdxxxdxxdxxexdxxxlnarctansin等，換元積分法就不一定有效了。本節(jié)中，我們將利用兩個(gè)函數(shù)乘積的微分或?qū)?shù)公式推得另一個(gè)求積分的基本方法分部積分法分部積分法換元積分法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的是一種應(yīng)用廣泛的積分法則。但是當(dāng)被3 3由微分公式dvuvduduv兩邊同時(shí)積分得:vuduvuvdxvuuvxvudduvvuvudd1) v 容易求得 ;vuvdud)2比容易計(jì)算 .:)(的原則或及選取vdvu分部積分公式分部積分公式設(shè)函數(shù))()(xvvxuu具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)分部積分法分部積分法4,dxvuuvdxvu.duvuvudv 分部積分公式分部積分公式問(wèn)題問(wèn)題 ?dxxexdxxexxxdedxexexxcexexxcxex) 1(5例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解（一）解（一） xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行.vu ,解（二）解（二） xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx )(cos221xdxxdxxxcoscos22226例例2 2 求積分求積分.2 dxexx解解 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx 總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函就考慮設(shè)冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))uxdex2xxxdeex227一般地：一般地：xdxxP sin)(xdxxP cos)(dxexPx )(dxaxPx )(3例例dxxx532 )(xdx53251)(ln )()(ln32553251xdxxx)(lndxxxx5253251Cxxxln)(ln5512532518例例4 4 求積分求積分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx )(arctan221xdx9例例5 5 求積分求積分.ln3 xdxx解解 xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx )(ln441xxd6例例dxxx2lnxxd1lnlndxxxxx111Cxxx11ln10一般地：一般地：xdxxQarcsin)(xdxxQarctan)(xdxxQarccos)(xdxxQln)(7例例dxxxarcsin221dxxarcsinarcsindxxxxx222121arcsindxxxxx22211121Cxxxxxxarcsinarcsinarcsin211212121212211例例8 8 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 12例例9 9 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式1310例例xdx3secxdxx2secsecxxd tansecxdxxxxxtansectantansecxdxxxxsec)(sectansec12xdxxdxxxsecsectansec3)tanln(secsectansecxxxdxxx3Cxxxxxdx)tanln(sectansecsec21314例例1111 求積分求積分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 15dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 16例例 1212 已知已知)(xf的一個(gè)原函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)是2xe , 求求 dxxfx)(. 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 1713例例dxxxxexsinsincos2dxxedxxxexxsinsincos22dxxexdexxsinsin222dxxedxxexexxxsinsinsin2222Cxexsin2218合理選擇合理選擇 ，正確使用分部積，正確使用分部積分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 二、小結(jié)19習(xí)題與思考題習(xí)題與思考題 1 、在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)，、在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)， 應(yīng)注意什么？應(yīng)注意什么？解答解答注意前后幾次所選的注意前后幾次所選的 應(yīng)為同類型函數(shù)應(yīng)為同類型函數(shù).u例例 xdxexcos第一次時(shí)若選第一次時(shí)若選xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次時(shí)仍應(yīng)選第二次時(shí)仍應(yīng)選xusin2 202、求.dcoscosln2xxx解解:原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxx tandxxx2cos1coslnxdxtancosln21213、求.d xI23)1 (2x解法解法1 先換元后分部令,arctanxt 即,tantx 則teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan2222xeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法解法2 用分部積分法xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctan