《高等數(shù)學(xué)：第四章 第4節(jié) 分部積法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：第四章 第4節(jié) 分部積法（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1第四節(jié) 分部積分一、分部積分公式一、分部積分公式二、分部積分舉例二、分部積分舉例三、總結(jié)三、總結(jié)2 2 由上節(jié)可知，基礎(chǔ)上得到的，積函數(shù)是由兩個不同類型函數(shù)的乘積時，如：xdxxxdxxdxxexdxxxlnarctansin等，換元積分法就不一定有效了。本節(jié)中，我們將利用兩個函數(shù)乘積的微分或?qū)?shù)公式推得另一個求積分的基本方法分部積分法分部積分法換元積分法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的是一種應(yīng)用廣泛的積分法則。但是當(dāng)被3 3由微分公式dvuvduduv兩邊同時積分得:vuduvuvdxvuuvxvudduvvuvudd1) v 容易求得 ;vuvdud)2比容易計算 .:)(的原則或及選取vdvu分
2、部積分公式分部積分公式設(shè)函數(shù))()(xvvxuu具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)分部積分法分部積分法4,dxvuuvdxvu.duvuvudv 分部積分公式分部積分公式問題問題 ?dxxexdxxexxxdedxexexxcexexxcxex) 1(5例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解（一）解（一） xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行.vu ,解（二）解（二） xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx )(cos221xdxxdxxxcoscos22226例例2 2 求積分求積分.2 dxexx解解
3、 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx 總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函就考慮設(shè)冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))uxdex2xxxdeex227一般地：一般地：xdxxP sin)(xdxxP cos)(dxexPx )(dxaxPx )(3例例dxxx532 )(xdx53251)(ln )()(ln32553251xdxxx)(lndxxxx5253251Cxxxln)(ln5512532518例例4 4 求積
4、分求積分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx )(arctan221xdx9例例5 5 求積分求積分.ln3 xdxx解解 xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx )(ln441xxd6例例dxxx2lnxxd1lnlndxxxxx111Cxxx11ln10一般地：一般地：xdxxQarcsin)(xdxxQarctan)(xdxxQarccos)(xdxxQln)(7
5、例例dxxxarcsin221dxxarcsinarcsindxxxxx222121arcsindxxxxx22211121Cxxxxxxarcsinarcsinarcsin211212121212211例例8 8 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 12例例9 9 求積分求積分.sin xdxex解解 xd
6、xexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式1310例例xdx3secxdxx2secsecxxd tansecxdxxxxxtansectantansecxdxxxxsec)(sectansec12xdxxdxxxsecsectansec3)tanln(secsectansecxxxdxxx3Cxxxxxdx)tanln(sectansecsec21314例例1
7、111 求積分求積分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 15dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 16例例 1212 已知已知)(xf的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是2xe , 求求 dxxfx)(. 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxf
8、xxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時對兩邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 1713例例dxxxxexsinsincos2dxxedxxxexxsinsincos22dxxexdexxsinsin222dxxedxxexexxxsinsinsin2222Cxexsin2218合理選擇合理選擇 ，正確使用分部積，正確使用分部積分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 二、小結(jié)19習(xí)題與思考題習(xí)題與思考題 1 、在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時，、在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時， 應(yīng)注意什么？應(yīng)注意
9、什么？解答解答注意前后幾次所選的注意前后幾次所選的 應(yīng)為同類型函數(shù)應(yīng)為同類型函數(shù).u例例 xdxexcos第一次時若選第一次時若選xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次時仍應(yīng)選第二次時仍應(yīng)選xusin2 202、求.dcoscosln2xxx解解:原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxx tandxxx2cos1coslnxdxtancosln21213、求.d xI23)1 (2x解法解法1 先換元后分部令,arctanxt 即,tantx 則teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan2222xeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法解法2 用分部積分法xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctan
高等數(shù)學(xué)：第四章 第4節(jié) 分部積法
