高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔:第一部分 考點(diǎn)十六 直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題
考點(diǎn)十六 直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題
一、選擇題
1.(2019·安徽蕪湖模擬)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為,右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為,則此雙曲線的焦距等于( )
A. B.2
C.3 D.6
答案 B
解析 由題意得焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線bx+ay=0的距離為d===b,即b=,又=,c2=a2+b2,可解得c=,∴該雙曲線的焦距為2c=2,故選B.
2.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸;反之,平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).若拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,一平行于x軸的光線從點(diǎn)M(3,1)射出,經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后,再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出,則直線AB的斜率為( )
A. B.-
C.± D.-
答案 B
解析 由題意可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,1),代入y2=4x得12=4x0,x0=,又焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),所以kAB=kAF==-,故選B.
3.(2019·河南安陽(yáng)二模)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,直線x=a與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為B.若∠BFA=30°,則雙曲線的離心率為( )
A. B.
C.2 D.3
答案 C
解析 由題意可得A(a,0),雙曲線的漸近線方程為ay±bx=0,不妨設(shè)B點(diǎn)為直線x=a與y=x的交點(diǎn),則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),因?yàn)锳B⊥FA,∠BFA=30°,所以tan∠BFA====,解得e=2,故選C.
4.(2019·四川五校高三聯(lián)考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P,直線l:4x-3y=0與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=6,點(diǎn)P到直線l的距離不小于,則橢圓C的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 如圖所示,設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn),連接AF′,BF′,則四邊形AF′BF是平行四邊形,可得6=|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a,得a=3,取P(0,b),由點(diǎn)P到直線l的距離不小于,可得≥,解得|b|≥2.
所以e==≤ =,故選C.
5.已知圓O:x2+y2=4,從圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP1(P1在y軸上),點(diǎn)M在直線PP1上,且向量=2,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是( )
A.4x2+16y2=1 B.16x2+4y2=1
C.+=1 D.+=1
答案 D
解析 由題可知P是MP1的中點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M(x,y),P(x0,y0),P1(0,y0),則又x+y=4,故2+y2=4,即+=1.故選D.
6.(2019·安徽皖南八校第三次聯(lián)考)已知F是橢圓C:+=1的右焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),A(1,2),則|PA|+|PF|的最大值為( )
A.4+ B.4
C.4+ D.4
答案 D
解析 如圖,設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′,則
|PF|+|PF′|=2,又F′(-1,0),
|AF′|= =2,
∴|PA|+|PF|=2+|PA|-|PF′|,根據(jù)圖形可以看出||PA|-|PF′||≤|AF′|,∴當(dāng)P在線段AF′的延長(zhǎng)線上時(shí),|PA|-|PF′|最大,為|AF′|=2,
∴|PA|+|PF|的最大值為2+2=4,故選D.
7.已知拋物線y2=4x上有10個(gè)不同的點(diǎn),坐標(biāo)分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P10(x10,y10),且橫坐標(biāo)x1,x2,x3,…,x10成等差數(shù)列,x2,x9為方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根,拋物線的焦點(diǎn)為F,則|FP1|+|FP2|+…+|FP10|的值為( )
A.20 B.30
C.25 D.35
答案 D
解析 由x2,x9為方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根,可知x2+x9=5,x1+x2+…+x10===25,|FP1|+|FP2|+…+|FP10|=x1+x2+…+x10+10=35.
8.已知拋物線y2=x,點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),且直線AB與x軸交于點(diǎn)(a,0),若∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
答案 B
解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0>y2),直線AB的斜率不為0,設(shè)直線AB的方程為x=my+a,由得y2-my-a=0,則y1+y2=m,y1y2=-a,又因?yàn)椤螦OB為銳角,所以·=x1x2+y1y2=(y1y2)2+y1y2>0,因?yàn)閥1y2<0,所以y1y2<-1,即a>1.
二、填空題
9.已知直角坐標(biāo)系中A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=|PB|,則點(diǎn)P的軌跡方程為________,軌跡為________.
答案 x2+y2-12x+4=0 一個(gè)圓
解析 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)閨PA|=|PB|,
所以=,
整理得x2+y2-12x+4=0,軌跡為一個(gè)圓.
10.已知P為橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn),∠F1PF2取最大值時(shí)cos∠F1PF2=,則橢圓的離心率為________.
答案
解析 易知∠F1PF2取最大值時(shí),點(diǎn)P為橢圓+=1與y軸的交點(diǎn),由余弦定理及橢圓的定義得2a2-=4c2,即a=c,所以橢圓的離心率e==.
11.已知拋物線Γ:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)P在Γ上且|PK|=|PF|,則△PKF的面積為________.
答案 8
解析 由已知得,F(xiàn)(2,0),K(-2,0),過(guò)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,則|PM|=|PF|,又|PK|=|PF|,所以|PM|=|MK|=|PF|,所以PF⊥x軸,△PFK的高等于|PF|,不妨設(shè)P(m2,2m)(m>0),則m2+2=4,解得m=,故△PFK的面積S=4×2××=8.
12.(2019·山東濰坊三模)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,以F為圓心,|FA|為半徑的圓交C的右支于M,N兩點(diǎn),且線段AM的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N,則C的離心率為________.
答案
解析 由題意得A(-a,0),F(xiàn)(c,0),另一個(gè)焦點(diǎn)F′(-c,0),由對(duì)稱性知,|AM|=|AN|,又因?yàn)榫€段AM的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N,則|AN|=|MN|,可得△AMN是正三角形,如圖所示,連接MF,則|AF|=|MF|=a+c,由圖象的對(duì)稱性可知,∠MAF=∠NAF=∠MAN=30°,又因?yàn)椤鰽MF是等腰三角形,則∠AFM=120°,在△MFF′中,|FF′|2+|FM|2-2|FF′||FM|cos120°=|F′M|2=(|FM|+2a)2,即4c2+(a+c)2-2×2c(a+c)×=(3a+c)2,整理得3c2-ac-4a2=0,即(c+a)·(3c-4a)=0,則3c-4a=0,故e==.
三、解答題
13.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)已知曲線C:y=,D為直線y=-上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.
(1)證明:直線AB過(guò)定點(diǎn);
(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切,且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn),求四邊形ADBE的面積.
解 (1)證明:設(shè)D,A(x1,y1),則x=2y1.
因?yàn)閥′=x,所以切線DA的斜率為x1,
故=x1.
整理得2tx1-2y1+1=0.
設(shè)B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.
故直線AB的方程為2tx-2y+1=0.
所以直線AB過(guò)定點(diǎn).
(2)由(1)得直線AB的方程為y=tx+.
由
可得x2-2tx-1=0.
于是x1+x2=2t,x1x2=-1,
y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,
|AB|=|x1-x2|
=×=2(t2+1).
設(shè)d1,d2分別為點(diǎn)D,E到直線AB的距離,
則d1=,d2=.
因此,四邊形ADBE的面積
S=|AB|(d1+d2)=(t2+3) .
設(shè)M為線段AB的中點(diǎn),則M.
因?yàn)椤?,而?t,t2-2),
與向量(1,t)平行,
所以t+(t2-2)t=0,解得t=0或t=±1.
當(dāng)t=0時(shí),S=3;當(dāng)t=±1時(shí),S=4.
因此,四邊形ADBE的面積為3或4.
14.(2019·湖北武漢5月模擬)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng),M,N為橢圓C的上、下頂點(diǎn),且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線l交橢圓C于異于M,N的A,B兩點(diǎn),直線AM,BN交于點(diǎn)T.求證:點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為定值3.
解 (1)由題意可知2c=a,2b=2,
又a2=b2+c2,則b=,c=1,a=2,
故橢圓C的方程為+=1.
(2)證明:由題意知直線l的斜率存在,
設(shè)其方程為y=kx+1,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0),
由得(4k2+3)x2+8kx-8=0,
所以x1+x2=,
x1x2=,且x1+x2=kx1x2,
又lBN:y=·x-,lAM:y=·x+,
由得=·,
故=·
=,
整理得=,
故y=×
=×
=×=3.
故點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為3.
一、選擇題
1.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F1作垂直于x軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),△ABF2是銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A.(1,2) B.(1,)
C.(1,5) D.(,+∞)
答案 B
解析 利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解.由等腰△ABF2是銳角三角形可得∠AF2F1<45°,即|AF1|<|F1F2|,所以|AF1|=<|F1F2|=2c,所以b2=c2-a2<4a2,離心率e=<,又雙曲線的離心率e>1,所以離心率e的取值范圍是(1,),故選B.
2.已知橢圓C:+=1,若直線l經(jīng)過(guò)M(0,1),與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且=-,則直線l的方程為( )
A.y=±x+1 B.y=±x+1
C.y=±x+1 D.y=±x+1
答案 B
解析 依題意,設(shè)直線l:y=kx+1,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).則由消去y,整理得(9k2+5)x2+18kx-36=0,Δ=(18k)2+4×36×(9k2+5)>0,由此解得k=±,即直線l的方程為y=±x+1,選B.
3.已知雙曲線E:-=1,直線l交雙曲線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則l的方程為( )
A.4x+y-1=0 B.2x+y=0
C.2x+8y+7=0 D.x+4y+3=0
答案 C
解析 依題意,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則有兩式相減得=,即=×.又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是,因此x1+x2=2×=1,y1+y2=(-1)×2=-2,=-,=-,即直線AB的斜率為-,直線l的方程為y+1=-,即2x+8y+7=0,選C.
4.雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個(gè)區(qū)域(不含邊界),若點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi),則雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 依題意,雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x,且“右”區(qū)域由不等式組所確定,又點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi),于是有1<,即>,因此題中的雙曲線的離心率e=∈,選B.
5.設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線C右支上一點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=6a,且∠PF1F2=30°,則雙曲線C的漸近線方程是( )
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±2y=0 D.2x±y=0
答案 A
解析 因?yàn)镻為右支上一點(diǎn),由雙曲線的定義,可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得,|PF1|=4a,|PF2|=2a,且|F1F2|=2c,又∠PF1F2=30°,由余弦定理,可得cos30°===.則有c2+3a2=2ac,即c=a,則b==a,則雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x,故選A.
6.P是雙曲線C:-y2=1右支上一點(diǎn),直線l是雙曲線C的一條漸近線,P在l上的射影為Q,F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點(diǎn),則|PF1|+|PQ|的最小值為( )
A.1 B.2+
C.4+ D.2+1
答案 D
解析 設(shè)F2是雙曲線C的右焦點(diǎn),因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|+|PQ|=2+|PF2|+|PQ|,顯然當(dāng)F2,P,Q三點(diǎn)共線且P在F2,Q之間時(shí),|PF2|+|PQ|最小,且最小值為F2到直線l的距離.易知l的方程為y=或y=-,F(xiàn)2(,0),可求得F2到l的距離為1,故|PF1|+|PQ|的最小值為2+1.選D.
7.(2019·五省名校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),連接PB交y軸于點(diǎn)E,連接AE交PQ于點(diǎn)M,若M是線段PF的中點(diǎn),則橢圓C的離心率為( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 如圖,連接BQ,則由橢圓的對(duì)稱性易得∠PBF=∠QBF,∠EAB=∠EBA,所以∠EAB=∠QBF,所以ME∥BQ,因?yàn)椤鱌ME∽△PQB,所以=,因?yàn)椤鱌BF∽△EBO,所以=,從而有=,又因?yàn)镸是線段PF的中點(diǎn),所以e====,故選C.
8.已知拋物線x2=8y,過(guò)點(diǎn)P(b,4)作該拋物線的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,若直線AB恒過(guò)定點(diǎn),則該定點(diǎn)為( )
A.(4,0) B.(3,2)
C.(0,-4) D.(4,1)
答案 C
解析 設(shè)A,B的坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),y=,y′=,PA,PB的方程分別為y-y1=(x-x1),y-y2=(x-x2),由y1=,y2=得y=x-y1,y=x-y2,因?yàn)榍芯€PA,PB都過(guò)點(diǎn)P(b,4),
所以4=b-y1,4=b-y2,故可知過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線方程為4=x-y,當(dāng)x=0時(shí),y=-4,所以直線AB恒過(guò)點(diǎn)(0,-4).
二、填空題
9.(2019·河北唐山一模)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-2,0)的直線交C于A,B兩點(diǎn),若OA∥BF(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則|AB|=________.
答案
解析 如圖,拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-2,0)的直線交C于A,B兩點(diǎn),由OA∥BF,得A是BM的中點(diǎn),不妨設(shè)B(m,2),
可得A,可得2m=4(m-2),解得m=4,所以B(4,4),A(1,2),所以|AB|==.
10.(2019·安徽合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P為橢圓C上一點(diǎn),且∠F1PF2=,若F1關(guān)于∠F1PF2平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上,則該橢圓的離心率為________.
答案
解析 ∵F1關(guān)于∠F1PF2平分線的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓C上,則|PF1|=|PQ|,∵∠F1PQ=60°,
∴△F1PQ為正三角形,
∴|F1Q|=|F1P|,
又∵|F1Q|+|F2Q|=|F1P|+|F2P|=2a,
∴|F2Q|=|F2P|,
∴PQ⊥x軸,設(shè)|PF2|=t,
則|PF1|=2t,|F1F2|=t,即
即e===.
11.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)M與雙曲線C的焦點(diǎn)不重合,點(diǎn)M關(guān)于F1,F(xiàn)2的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的右支上,若|AN|-|BN|=12,則a=________.
答案 3
解析 如圖,設(shè)MN的中點(diǎn)為P.
∵F1為MA的中點(diǎn),F(xiàn)2為MB的中點(diǎn),
∴|AN|=2|PF1|,|BN|=2|PF2|,
又|AN|-|BN|=12,
∴|PF1|-|PF2|=6=2a,∴a=3.
12.已知M(-5,0),N(5,0)是平面上的兩點(diǎn),若曲線C上至少存在一點(diǎn)P,使|PM|=|PN|+6,則稱曲線C為“黃金曲線”.下列五條曲線:
①-=1;②y2=4x;③-=1;④+=1;⑤x2+y2-2x-3=0.
其中為“黃金曲線”的是________(寫出所有“黃金曲線”的序號(hào)).
答案?、冖?
解析 由已知得,點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)2a=6的雙曲線的右支,
可得b2=c2-a2=52-32=16.則雙曲線的方程為-=1(x>0).
對(duì)于①,兩方程聯(lián)立,無(wú)解,則①錯(cuò)誤;
對(duì)于②,解得x=成立,②成立;
對(duì)于③,兩方程聯(lián)立,無(wú)解,則③錯(cuò)誤;
對(duì)于④,兩方程聯(lián)立,無(wú)解,則④錯(cuò)誤;
對(duì)于⑤,消去y整理得
25x2-18x-171=0,必有一個(gè)正根,⑤成立.
故所有“黃金曲線”的序號(hào)為②⑤
三、解答題
13.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率;
(2)如果存在點(diǎn)P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.
解 (1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的離心率為e==-1.
(2)由題意可知,滿足條件的點(diǎn)P(x,y)存在當(dāng)且僅當(dāng)
|y|·2c=16,·=-1,+=1,
即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
+=1.③
由②③及a2=b2+c2得y2=.
又由①知y2=,故b=4.
由②③及a2=b2+c2得x2=(c2-b2),
所以c2≥b2,從而a2=b2+c2≥2b2=32,
故a≥4.
當(dāng)b=4,a≥4時(shí),存在滿足條件的點(diǎn)P.
所以b=4,a的取值范圍為[4,+∞).
14.(2019·湖北四地七校期末)已知點(diǎn)F(0,1),點(diǎn)A(x,y)(y≥0)為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)A作x軸的垂線,垂足為B,滿足|AF|=|AB|+1.
(1)求曲線C的方程;
(2)直線l與曲線C交于兩不同點(diǎn)P,Q(非原點(diǎn)),過(guò)P,Q兩點(diǎn)分別作曲線C的切線,兩切線的交點(diǎn)為M.設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N,若|FM|=|FN|,求直線l的斜率.
解 (1)由|AF|=|AB|+1得=|y|+1,
化簡(jiǎn)得曲線C的方程為x2=4y.
(2)由題意可知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+b,
聯(lián)立x2=4y得x2-4kx-4b=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則x1+x2=4k,x1x2=-4b,
設(shè)N(xN,yN),則xN==2k,yN=2k2+b,
又曲線C的方程為x2=4y,即y=,y′=,
所以過(guò)P點(diǎn)的切線斜率為,
切線方程為y-y1=(x-x1),即y=x-x,
同理,過(guò)Q點(diǎn)的切線方程為y=x-x,
聯(lián)立兩切線方程可得
xM==2k,yM=x1x2=-b,所以xM=xN,
又因?yàn)閨FM|=|FN|,所以MN中點(diǎn)縱坐標(biāo)為1,
即2k2+b-b=2,即k2=1,所以k=±1,
故直線l的斜率為k=±1.