2021-2022年 八年級數(shù)學上冊 等腰三角形性質 填空題練習（天津市紅橋區(qū) 鈴鐺閣中學 ）

2021-2022年 八年級數(shù)學上冊 等腰三角形性質 填空題練習（天津市紅橋區(qū) 鈴鐺閣中學 ） 填空題 等腰三角形的兩邊長分別為3和5，則它的周長為__________。   【答案】11或13 【解析】試題分析：題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形． 解：有兩種情況：①腰長為3，底邊長為5，三邊為：3，3，5可構成三角形，周長=3+3+5=11； ②腰長為5，底邊長為3，三邊為：5，5，3可構成三角形，周長=5+5+3=13． 故答案為：11或13． 填空題 課間，頑皮的小剛拿著老師的等腰直角三角板放在黑板上畫好了的平面直角坐標系內(如圖)，已知直角頂點H的坐標為(0，1)，另一個頂點G的坐標為(4，4)，則點K的坐標為___________   【答案】（3，-3） 【解析】解：作GP⊥y軸，KQ⊥y軸，如圖，∴∠GPH=∠KQH=90°． ∵GH=KH，∠GHK=90°，∴∠GHP+∠KHQ=90°．又∠HKQ+∠KHQ=90°，∴∠GHP=∠HKQ． 在△GPH和△HQK中，∵∠GPH=∠HQK，∠GHP=∠HKQ，GH=KH，Rt△GPH≌Rt△KHQ（AAS），KQ=PH=4?1=3；HQ=GP=4．∵QO=QH?HO=4?1=3，∴K（3，?3），故答案為：（3，?3）． 填空題 一塊直角三角形綠地，兩直角邊長分別為3m，4m，現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充時只能延長長為3m的直角邊，則擴充后等腰三角形綠地的面積為____m2．   【答案】8或10或12或 【解析】解：∵兩直角邊長為3m，4m，∴由勾股定理得到：AB==5m． ①如圖1，當AC=CD=8m時；∵AC⊥CB，此時等腰三角形綠地的面積： ×4×4=8（m2）； ②如圖2中，延長BC到D使CD等于3m，此時BD=6m，此時等腰三角形綠地的面積： ×6×4=12（m2）； ③BD=BA時，此時等腰三角形綠地的面積： ×5×4=10（m2）； ④DA=DB時，設DA=DB=x，在Rt△ADC中，有x2=42+（x?3）2，解得x=，此時等腰三角形綠地的面積： ××4=（m2）； 綜上所述，擴充后等腰三角形綠地的面積為8m2或12m2或10m2或m2． 故答案為：8或12或10或． 填空題 如圖，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠EFC=______°．   【答案】45 【解析】試題解析：根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出∠BAC=∠ABE=45°，再根據等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根據等腰三角形三線合一的性質可得BF=CF，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BF=EF，根據等邊對等角求出∠BEF=∠CBE，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°． 填空題 如圖，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且PD∥AB，PE∥AC，則△PDE的周長是______cm．   【答案】8 【解析】試題分析：利用角平分線的性質和平行線的判定，可得△DBP和△ECP為等腰三角形，由等腰三角形的性質得BD=PD，CE=PE，則△PDE的周長即可轉化為BC邊的長，即為8cm． 填空題 在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，3），在x軸上找一點P，使得△AOP是等腰三角形，則這樣的點P共有 個．   【答案】8. 【解析】試題分析：在x軸的正半軸和y軸的正半軸上各有2個，在x軸的負半軸和y軸的負半軸上各有1個，總計有6個. 填空題 如圖，△ABC為等邊三角形，BD⊥AB，BD=AB，則∠DCB= _______ °．   【答案】15° 【解析】試題分析：首先根據等邊三角形和等腰直角三角形求得∠DBC的度數(shù)，然后利用等腰三角形的性質求得∠DCB的度數(shù)即可． 解：∵△ABC為等邊三角形，BD⊥AB， ∴∠DBC=90°+60°=150°， ∵BD=AB， ∴DB=CB， ∴∠DCB=（180°?150°）=15°， 故答案為：15°． 填空題 等腰三角形的周長是25 cm,一腰上的中線將周長分為3∶2兩部分，則此三角形的底邊長為________ ．   【答案】或 【解析】試題解析：設該三角形的腰長是xcm，底邊長是ycm．根據題意，得： 或，解得或． 經檢驗，都符合三角形的三邊關系． 因此三角形的底邊長為cm或5cm． 填空題 等腰三角形的一個角為100°，則它的兩底角為_______．   【答案】40°、40° 【解析】解：當100°為頂角時，其他兩角都為40°、40°，當100°為底角時，等腰三角形的兩底角相等，由三角形的內角和定理可知，底角應小于90°，故底角不能為100°，所以等腰三角形的底角為40°、40°．故答案為：40°、40°． 填空題 一個等腰三角形的周長為21，若有一邊長為9，則等腰三角形的三邊長為_____。   【答案】6、6、9或9、9、3  【解析】解：①當9為腰長時，則腰長為9，底邊=21?9?9=9，因為3＜9+9，所以能構成三角形； ②當9為底邊時，則腰長=（21?9）÷2=6，因為0＜9＜6+6，所以能構成三角形； 則等腰三角形的邊長為6、6、9或9、9、3，故答案為：6、6、9或9、9、3． 填空題 如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=BD，∠BAD=70°，∠DAC=____°．   【答案】30° 【解析】 解：∵AB=BD，∴∠ADB=∠BAD=70°，∴∠B=180°?70°?70°=40°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∴∠BAC=180°?40°?40°=100°，∴∠DAC=∠BAC?∠BAD=100°?70°=30°，故答案為：30． 填空題 一等腰三角形，一邊長為9cm,另一邊長為5cm,則等腰三角形的周長是? .   【答案】19或23cm 【解析】試題分析：當腰長為9cm時，則三角形的周長為：9+9+5=23cm；當腰長為5cm時，則三角形的周長為：9+5+5=19cm. 填空題 如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AF⊥BC于點F，BE⊥AC于點E，且點D是AB的中點，△DEF的周長是11，則AB=______．   【答案】8 【解析】∵AB=AC， AF⊥BC，∴∠AFB=90°，BF=CF，又∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠BEA=90°，∴EF= BC=3，又∵D為AB中點，∴DE=DF= AB，∵DE+DF+EF=11，∴DE+DF=8，∴AB=8. 填空題 如圖，在△ABC中，D在邊AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A=__°．   【答案】80 【解析】∵AB=BD=DC， ∴∠A=∠BDA，∠DBC=∠C=40°， 又∵∠BDA=∠DBC+∠C， ∴∠A=∠DBC+∠C=40°+40°=80°. 填空題 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為_________   【答案】69°或21° 【解析】分兩種情況討論： ①若∠A ∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD=90°， ∵∠ABD=48°， ∴∠A=90°?48°=42°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C= (180°?42°)=69°； ②若∠A>90°，如圖2所示： 同①可得：∠DAB=90°?48°=42°， ∴∠BAC=180°?42°=138°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C= (180°?138°)=21°； 綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為69°或21°. 故答案為：69°或21°. 填空題 如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內的兩點，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，則BC的長是? cm．     【答案】8． 【解析】 試題分析：作出輔助線后根據等邊三角形的判定得出△BDM為等邊三角形，△EFD為等邊三角形，從而得出BN的長，進而求出答案． 試題解析：延長DE交BC于M，延長AE交BC于N，作EF∥BC于F，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM為等邊三角形，∴△EFD為等邊三角形，∵BD=5，DE=3， ∴EM=2，∵△BDM為等邊三角形，∴∠DMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°， ∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm），故答案為8． 填空題 如圖，四邊形ABCD中，連接AC，BD，△ABC是等邊三角形，∠ADC=30°，并且AD = 4.5，BD = 7.5，則CD的長為________．   【答案】6 【解析】試題分析：首先以CD為邊作等邊△CDE，連接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，進而求出DE的長即可． 解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE． ∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE． 又∵∠ADC=30°， ∴∠ADE=90°． 在Rt△ADE中，AE=7.5，AD=4.5， 于是DE==6， ∴CD=DE=6． 故答案為6． 填空題 等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為 ．   【答案】3 cm 【解析】試題解析：當長是3cm的邊是底邊時，三邊為3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立； 當長是3cm的邊是腰時，底邊長是：13-3-3=7cm，而3+3＜7，不滿足三角形的三邊關系． 故底邊長是：3cm． 填空題 如圖，在△ADC中，AD＝BD＝BC，∠C＝30°，則∠ADB＝_____．     【答案】60° 【解析】 試題分析：根據BD=BC可得：∠BDC=∠C=30°，根據外角的性質可得：∠ABD=∠BDC+∠C=30°+30°=60°，根據AD=AB可得：∠ADB=∠ABD=60°． 填空題 如圖，等腰△ABC中，AB=AC，P為其底角平分線的交點，將△BCP沿CP折疊，使B點恰好落在AC邊上的點D處，若DA=DP，則∠A的度數(shù)為__．   【答案】36° 【解析】解：連接AP．∵P為其底角平分線的交點，∴點P是△ABC的內心，∴AP平分∠BAC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，設∠A=2x，則∠DAP=x，∠PBC=∠PCB=45°?x，∵DA=DP，∴∠DAP=∠DPA，由折疊的性質可得：∠PDC=∠PBC=45°?x，則∠ADP=180°?∠PDC=135°+x，在△ADP中，∠DAP+∠DPA+∠ADP=180°，即x+x+135°+x=180°，解得：x=18，則∠A=2x=36°．故答案為：36°． 填空題 如圖，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=92°，則∠CED=________．   【答案】88° 【解析】解：∵在△ABD和△EBD中，∵AB=BE，AD=DE，BD=BD，∴△ABD≌△EBD（SSS），∴∠BED=∠A=92°，∴∠CED=180°?∠DEB=88°，故答案為：88°． 填空題 如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=56°，CD=CB，則∠ABD=________°．   【答案】17 【解析】解：∵∠ABC=90°，∠A=56°，∴∠C=90°?∠A=90°?56°=34°，∵CD=CB，∴∠CBD=（180°?∠C）=（180°?34°）=73°，∴∠ABD=∠ABC?∠CBD=90°?73°=17°．故答案為：17°． 填空題 若等腰三角形頂角的外角為100°，則它的一個底角為____．   【答案】50° 【解析】∵等腰三角形的一個外角為100°， ∴與這個外角相鄰的內角為80°， ∴（1）當這個80°的內角是底角時，這個等腰三角形的底角為80°； （2）當這個80°內角為頂角時，這個等腰三角形的底角為： ； 綜合（1）、（2）可知這個等腰三角形的底角為80°或50°. 填空題 如圖，已知∠MON=30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA2=4，則△AnBnAn+1的邊長為__________．   【答案】2n 【解析】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1=A2B1，∵∠MON=30°，∵OA2=4，∴OA1=A1B1=2，∴A2B1=2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32，以此類推△AnBnAn+1的邊長為 ．故答案為： ． 填空題 若等腰三角形的一個外角為70°，則它的底角為　　度．   【答案】35 【解析】試題分析：∵等腰三角形的一個外角等于70°，∴等腰三角形的一個內角為110°，且只能為頂角，∴等腰三角形的底角為：（180°-110°）÷2=35°，故答案為：35°． 填空題 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是 ．   【答案】70°或110° 【解析】試題分析：本題需要分兩種情況來進行討論，分別畫出圖形得出答案.兩種情況即為銳角三角形和鈍角三角形. 填空題 如圖，在∠ABA1中，∠B=52°，AB=A1B，在A1B上取一點C，延長AA1到A2，使得A1A2=A1C，在A2C上取一點D，延長A1A2到A3，使得A2A3=A2D，……，按此做法進行下去，A7的度數(shù)為____________度   【答案】1 【解析】解：∵在△ABA1中，∠B=52°，AB=A1B，∴∠BA1A=（180°-∠B）÷2= ，∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1=∠BA1A=； 同理可得，∠DA3A2=，∠EA4A3=，∴∠A7==1． 故答案為：1． 填空題 如圖，∠AOB是一角度為10°的鋼架，要使鋼架更加牢固，需在其內部添加一些鋼管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足夠長的情況下，最多能添加這樣的鋼管的根數(shù)為 _________．   【答案】8 【解析】添加的鋼管長度都與OE相等，∠AOB=10°，根據三角形外角的性質和等腰三角形的性質可得∠GEF=∠FGE=20°，再由三角形外角的性質和等腰三角形的性質可得∠GFH=∠GHF=30°，……，由此規(guī)律可得：第一個等腰三角形的底角是10°，第二個是20°，第三個是30°，第四個是40°，第五個是50°，第六個是60°，第七個是70°，第八個是80°，第九個是90°，不符合三角形的內角和定理，不存在．所以一共有8個． 填空題 等腰三角形的一腰上的高與另一腰的夾角是46°，則它的頂角是? ．   【答案】44°或136°. 【解析】 試題分析：等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當為等腰直角三角形時不可能出現(xiàn)題中所說情況，所以舍去不計，另外兩種情況可以根據垂直的性質及外角的性質求出頂角的度數(shù)．①當為銳角三角形時，如圖，高與右邊腰成46°夾角，則頂角為44°；②當為鈍角三角形時，如圖，此時垂足落到三角形外面，∵三角形內角和為180°，由圖可以看出等腰三角形的頂角的補角為44°，所以三角形的頂角為136°． 故答案為：44°或136°． 填空題 若等腰三角形的一個內角為50°，則它的頂角為 ______ .   【答案】50°或80°． 【解析】試題分析：已知給出了等腰三角形的一個內角的度數(shù)，但沒有明確這個內角是頂角還是底角，因此要分類討論；（1）若等腰三角形一個底角為50°，頂角為180°-50°-50°=80°；（2）等腰三角形的頂角為50°．因此這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為50°或80°． 填空題 如圖，在Rt△ABC中，D，E為斜邊AB上的兩個點，且BD=BC，AE=AC，則∠DCE的大小為? （度）．   【答案】45. 【解析】試題解析：設∠DCE=x，∠ACD=y，則∠ACE=x+y，∠BCE=90°-∠ACE=90°-x-y． ∵AE=AC， ∴∠ACE=∠AEC=x+y， ∵BD=BC， ∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°-x-y+x=90°-y． 在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°， ∴x+（90°-y）+（x+y）=180°， 解得x=45°， ∴∠DCE=45°． 填空題 如圖，∠MAN是一鋼架，且∠MAN=15°，為使鋼架更加堅固，需在其內部加一些鋼管CD、DE、EF…添加的鋼管長度都與AC相等，則最多能添加這樣的鋼管______根． ?   【答案】5 【解析】依次計算出圖形中的各個角，根據等腰三角形的底角一定是銳角，不能是直角或鈍角，即可判斷． 解：∵AC=CD ∴∠CDA=∠A=15° ∴∠DCE=∠CDA+∠A=30° 同理，∠CED=∠DCE=30° ∴∠CDE=120° ∴∠EDF=180°-∠ADC-∠CDE=180°-15°-120°=45° ∵DE=EF ∴∠EFD=∠EDF=45° ∴∠DEF=90° ∴∠GEF=180°-∠CED-∠EFD=180°-30°-90°=60° ∵EF=FG ∴∠EFG=60° ∴∠GFN=180°-∠EFD-∠EFG=180°-45°-60°=75° ∵GF=GH ∴∠GHF=∠GFH=75° ∴∠FGH=30° ∴∠PGH=180°-∠EGF-∠FGH=180°-60°-30°=90° 再作與CD相等的線段時，90°的角不能是底角，則最多能作出的線段是：CD、DE、EF、FG、GH共有5條． 故答案是：5． 填空題 如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=______。   【答案】15° 【解析】試題分析：設∠E=x，根據等邊對等角的性質以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解． 解：設∠E=x， ∵DF=DE， ∴∠DFE=∠E=x， ∴∠CDG=∠E+∠DFE=2x， ∵CG=CD， ∴∠CDG=∠CGD=2x， ∴∠ACB=∠CDG+∠CGD=2x+2x=4x， ∵∠ACB=70°， ∴4x=70°， ∴x=17.5°， 即∠E=17.5°． 故答案為：17.5°． 填空題 已知等腰三角形的兩個內角的度數(shù)之比為1：2，則這個等腰三角形的頂角為______? ．   【答案】36°或90° 【解析】解：當頂角與底角的度數(shù)比是1：2時，則等腰三角形的頂角是180°×=36°； 當?shù)捉桥c頂角的度數(shù)比是1：2時，則等腰三角形的頂角是180°×=90°． 即該等腰三角形的頂角為36°或90°． 故答案為：36°或90°． 填空題 如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直線AC上找點P，使△ABP是等腰三角形，則∠APB的度數(shù)為____________．   【答案】20°或40°或70°或100° 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，分四種情況討論： ①當AB=BP1時，∠BAP1=∠BP1A=40°； ②當AB=AP3時，∠ABP3=∠AP3B=∠BAC=×40°=20°； ③當AB=AP4時，∠ABP4=∠AP4B=×（180°?40°）=70°； ④當AP2=BP2時，∠BAP2=∠ABP2，∴∠AP2B=180°?40°×2=100°； 綜上所述：∴∠APB的度數(shù)為：20°、40°、70°、100°． 故答案為：20°或40°或70°或100°． 填空題 如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40°，P是△ABC內一點，且∠ACP=∠PBC，則∠BPC=_____°.   【答案】110 【解析】解：∵∠ABC=∠ACB，∠A=40°，∴∠ACB=（180°?40°）=70°，∵∠1=∠2，∴∠2+∠3=∠1+∠3=∠ACB=70°，在△BPC中，∠BPC=180°?（∠2+∠3）=180°?70°=110°．故答案為：110°． ? 填空題 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，在直線AC或BC上取點M，使得△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有_________個。   【答案】8 【解析】解：如圖，共有8個，故答案為：8． 填空題 如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，那么∠A=__度．   【答案】36 【解析】解：設∠A=x．∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x； ∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x； ∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x，∴∠DBC=x； ∵x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠A=36°． 故答案為：36． 填空題 如圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是2，則六邊形的周長 是__________________   【答案】60 【解析】解：如圖，設第二小的等邊三角形的邊長為x，而中間的小等邊三角形的邊長是2，所以其它等邊三角形的邊長分別x+2，x+4，x+6，由圖形得，x+6=2x，解得x=6，所以這個六邊形的周長=2x+2（x+2）+2（x+4）+x+6=7x+18=7×6+18=60．故答案為：60． 填空題 如圖，在等邊△ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點F，則∠AFE=______．   【答案】60° 【解析】根據題目已知條件可證△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性質及三角形外角和定理求解． 解：∵等邊△ABC， ∴∠ABD=∠C，AB=BC， 在△ABD與△BCE中，， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE， ∵∠ABE+∠EBC=60°， ∴∠ABE+∠BAD=60°， ∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°， ∴∠APE=60°． 故答案為60． 第 13 頁 共 13 頁