2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸專題 二次函數(shù)（含解析）

《二次函數(shù)》 1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A、點B在x軸上（點A在點B的左側(cè)），點C在第一象限，滿足∠ACB為直角，且恰使△OCA∽△OBC，拋物線y＝ax2﹣8ax+12a（a＜0）經(jīng)過A、B、C三點． （1）求線段OB、OC的長． （2）求點C的坐標(biāo)及該拋物線的函數(shù)關(guān)系式； （3）在x軸上是否存在點P，使△BCP為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的P點的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由． 解：（1）y＝ax2﹣8ax+12a＝a（x﹣6）（x﹣2）， 故OA＝2，OB＝6， △OCA∽△OBC，則，即：OC2＝OA?OB， 解得：CO＝2； （2）過點C作CD⊥x軸于點D， △OCA∽△OBC，則， 設(shè)AC＝2x，則BC＝2x，而AB＝4， 故16＝（2x）2+（2x）2，解得：x＝1， 故AC＝2，BC＝2， S△ABC＝AB×CD＝AC×BC，解得：CD＝， 故OD＝3， 故點C（3，）； 將點C的坐標(biāo)代入拋物線表達式并解得：a＝﹣， 故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x﹣4； （3）設(shè)點P（m，0），而點B、C的坐標(biāo)分別為：（6，0）、（3，）； 則BC2＝12，PB2＝（m﹣6）2，PC2＝（m﹣3）2+3， 當(dāng)BC＝PB時，12＝（m﹣6）2，解得：m＝6； 當(dāng)BC＝PC時，同理可得：m＝6（舍去）或0； 當(dāng)PB＝PC時，同理可得：m＝4， 綜上點P的坐標(biāo)為：（6，0）或（0，0）或（4，0）． 2．直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點． （1）求這個二次函數(shù)的表達式； （2）若P是直線AB上方拋物線上一點； ①當(dāng)△PBA的面積最大時，求點P的坐標(biāo)； ②在①的條件下，點P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為Q，在直線AB上是否存在點M，使得直線QM與直線BA的夾角是∠QAB的兩倍？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：（1）直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，則點A、B的坐標(biāo)分別為：（4，0）、（0，2）， 將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達式得：，解得：， 故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2； （2）①過點P作y軸的平行線交BC于點N，設(shè)P（m，﹣m2+m+2），點N（m，﹣m+2）， 則：△PBA的面積S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m， 當(dāng)m＝2時，S最大，此時，點P（2，5）； ②點P（2，5），則點Q（，5），設(shè)點M（a，﹣a+2）； （Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，則QM1＝AM1， 則（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2， 解得：a＝， 故點M1（，）； （Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1， 則∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2， 作QH⊥AB于H，BQ的延長線交x軸于點N， 則tan∠BAO＝＝，則tan∠QNA＝2， 故直線QH表達式中的k為2， 設(shè)直線QH的表達式為：y＝2x+b，將點Q的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝2， 故直線QH的表達式為：y＝2x+2，故H（0，2）與B重合， M2、M1關(guān)于B對稱， ∴M2（﹣，）； 綜上，點M的坐標(biāo)為：（，）或（﹣，）． 3．如圖已知直線y＝x+與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點，拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于點C（0，﹣），交x軸正半軸于D點，拋物線的頂點為M． （1）求拋物線的解析式； （2）設(shè)點P為直線AB下方的拋物線上一動點，當(dāng)△PAB的面積最大時，求△PAB的面積及點P的坐標(biāo)； （3）若點Q為x軸上一動點，點N在拋物線上且位于其對稱軸右側(cè)，當(dāng)△QMN與△MAD相似時，求N點的坐標(biāo)． 解：（1）將點B（4，m）代入y＝x+， ∴m＝， 將點A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c， 解得a＝，b＝﹣1，c＝﹣， ∴函數(shù)解析式為y＝x2﹣x﹣； （2）設(shè)P（n， n2﹣n﹣）， 則經(jīng)過點P且與直線y＝x+垂直的直線解析式為y＝﹣2x+n2+n﹣， 直線y＝x+與其垂線的交點G（n2+n﹣， n2+n+）， ∴GP＝（﹣n2+3n+4）， 當(dāng)n＝時，GP最大，此時△PAB的面積最大， ∴P（，）， ∵AB＝，PG＝， ∴△PAB的面積＝××＝； （3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0）， ∴AM＝2，AB＝4，MD＝2， ∴△MAD是等腰直角三角形， ∵△QMN與△MAD相似， ∴△QMN是等腰直角三角形， 設(shè)N（t， t2﹣t﹣） ①如圖1，當(dāng)MQ⊥QN時，N（3，0）； ②如圖2，當(dāng)QN⊥MN時，過點N作NR⊥x軸，過點M作MS⊥RN交于點S， ∵QN＝MN，∠QNM＝90°， ∴△MNS≌△NMS（AAS） ∴t﹣1＝﹣t2+t+， ∴t＝±， ∴t＞1， ∴t＝， ∴N（，1﹣）； ③如圖3，當(dāng)QN⊥MQ時，過點Q作x軸的垂線，過點N作NS∥x軸，過點N作NR∥x軸，與過M點的垂線分別交于點S、R； ∵QN＝MQ，∠MQN＝90°， ∴△MQR≌△QNS（AAS）， ∴SQ＝QR＝2， ∴t+2＝1+t2﹣t﹣， ∴t＝5， ∴N（5，6）； ④如圖4，當(dāng)MN⊥NQ時，過點M作MR⊥x軸，過點Q作QS⊥x軸， 過點N作x軸的平行線，與兩垂線交于點R、S； ∵QN＝MN，∠MNQ＝90°， ∴△MNR≌△NQS（AAS）， ∴SQ＝RN， ∴t2﹣t﹣＝t﹣1， ∴t＝2±， ∵t＞1， ∴t＝2+， ∴N（2+，1+）； 綜上所述：N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）． 4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．拋物線的解析式為y＝ax2+bx． （1）如圖1，若拋物線經(jīng)過A，D兩點，直接寫出A點的坐標(biāo)　（4，8）　；拋物線的對稱軸為直線　6　； （2）如圖2：①若拋物線經(jīng)過A、C兩點，求拋物線的表達式． ②若點P為線段AB上一動點，過點P作PE⊥AB交AC于點E，過點E作EF⊥AD于點F交拋物線于點G．當(dāng)線段EG最長時，求點E的坐標(biāo)； （3）若a＝﹣1，且拋物線與矩形ABCD沒有公共點，直接寫出b的取值范圍． 解：（1）點A的坐標(biāo)為：（4，8）；函數(shù)的對稱軸為：x＝（4+8）＝6； 故答案為：（4，8）；6； （2）①將點A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達式并解得：a＝﹣，b＝4， 故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4x； ②由點A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達式為：y＝﹣2x+16； 設(shè)點E（x，﹣2x+16），則點G（x，﹣x2+4x）， EG＝﹣x2+4x﹣（﹣2x+16）＝﹣x2+6x﹣16， 當(dāng)x＝6時，EG由最大值為：2，此時點E（2，4）； （3）若a＝﹣1，則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+bx， 當(dāng)拋物線過點B和點D時，拋物線與矩形有一個交點， 將點B的坐標(biāo)代入拋物線表達式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4， 將點D的坐標(biāo)代入拋物線表達式并解得：b＝9， 故b的取值范圍為：b＜4或b＞9． 5．如圖，直線y＝x﹣1與拋物線y＝﹣x2+6x﹣5相交于A、D兩點．拋物線的頂點為C，連結(jié)AC． （1）求A，D兩點的坐標(biāo)； （2）點P為該拋物線上一動點（與點A、D不重合），連接PA、PD． ①當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為2時，求△PAD的面積； ②當(dāng)∠PDA＝∠CAD時，直接寫出點P的坐標(biāo)． 解：（1）聯(lián)立方程組， 解得，，， ∴A（1，0），D（4，3）， （2）①過P作PE⊥x軸，與AD相交于點E， ∵點P的橫坐標(biāo)為2， ∴P（2，3），E（2，1）， ∴PE＝3﹣1＝2， ∴＝3； ②過點D作DP∥AC，與拋物線交于點P，則∠PDA＝∠CAD， ∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4， ∴C（3，4）， 設(shè)AC的解析式為：y＝kx+b（k≠0）， ∵A（1，0）， ∴， ∴， ∴AC的解析式為：y＝2x﹣2， 設(shè)DE的解析式為：y＝2x+n， 把D（4，3）代入，得3＝8+n， ∴n＝﹣5， ∴DE的解析式為：y＝2x﹣5， 聯(lián)立方程組， 解得，，， ∴此時P（0，﹣5）， 當(dāng)P點在直線AD上方時，延長DP，與y軸交于點F，過F作FG∥AC，F(xiàn)G與AD交于點G， 則∠FGD＝∠CAD＝∠PDA， ∴FG＝FD， 設(shè)F（0，m）， ∵AC的解析式為：y＝2x﹣2， ∴FG的解析式為：y＝2x+m， 聯(lián)立方程組， 解得，， ∴G（﹣m﹣1，﹣m﹣2）， ∴FG＝，F(xiàn)D＝， ∵FG＝FD， ∴＝， ∴m＝﹣5或1， ∵F在AD上方， ∴m＞﹣1， ∴m＝1， ∴F（0，1）， 設(shè)DF的解析式為：y＝qx+1（q≠0）， 把D（4，3）代入，得4q+1＝3， ∴q＝， ∴DF的解析式為：y＝x+1， 聯(lián)立方程組 ∴，， ∴此時P點的坐標(biāo)為， 綜上，P點的坐標(biāo)為（0，﹣5）或． 6．綜合與探究 如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A、B、C，已知點C（0，4），△AOC∽△COB，且，點P為拋物線上一點（異于A，B） （1）求拋物線和直線AC的表達式 （2）若點P是直線AC上方拋物線上的點，過點P作PF⊥AB，與AC交于點E，垂足為F．當(dāng)PE＝EF時，求點P的坐標(biāo) （3）若點M為x軸上一動點，是否存在點P，使得由B，C，P，M四點組成的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 解：（1），則OA＝4OC＝8，故點A（﹣8，0）； △AOC∽△COB，則△ABC為直角三角形， 則CO2＝OA?OB，解得：OB＝2，故點B（2，0）； 則拋物線的表達式為：y＝a（x﹣2）（x+8），將點C的坐標(biāo)代入上式并解得： a＝﹣， 故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣x+4； 由點A、C的坐標(biāo)可得直線AC的表達式為：y＝x+4； （2）設(shè)點P（x，﹣x2﹣x+4），則點E（x， x+4）， PE＝EF，即﹣x2﹣x+4﹣x﹣4＝x+4； 解得：x＝﹣8（舍去）或﹣2， 故點P（﹣2，6）； （3）設(shè)點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，點M（s，0），而點B、C的坐標(biāo)分別為：（2，0）、（0，4）； ①當(dāng)BC是邊時， 點B向左平移2個單位向上平移4個單位得到C， 同樣點P（M）向左平移2個單位向上平移4個單位得到M（P）， 即m﹣2＝s，n+4＝0或m+2＝s，n﹣4＝0， 解得：m＝﹣6或﹣3， 故點P的坐標(biāo)為：（﹣6，4）或（﹣3，﹣4）或（﹣﹣3，﹣4）； ②當(dāng)BC是對角線時， 由中點公式得：2＝m+s，n＝4， 故點P（﹣6，4）； 綜上，點P的坐標(biāo)為：（﹣6，4）或（﹣3，﹣4）或（﹣﹣3，﹣4）． 7．如圖1，拋物線y＝x2+mx+4m與x軸交于點A（x1，0）和點B（x2，0），與y軸交于點C，且x1，x2滿足x12+x22＝20，若對稱軸在y軸的右側(cè)． （1）求拋物線的解析式． （2）如圖2，若點P為線段AB上的一動點（不與A、B重合），分別以AP、BP為斜邊，在直線AB的同側(cè)作等腰直角三角形△APM和△BPN，試確定△MPN最大時P點的坐標(biāo)． （3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線上的兩點，當(dāng)a≤x1≤a+2，x2≥時，均有y1≤y2，求a的取值范圍． 解：（1）x1+x2＝﹣2m，x1x2＝8m， 則x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝20， 即（﹣2m）2﹣16m＝20， 解得：m＝5（舍去）或﹣1； 故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣4； （2）令y＝0，則x＝﹣2或4，故點A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣2，0）、（4，0），則AB＝6； 設(shè)：AP＝a，則PN＝6﹣a，∠MPN＝180°﹣∠MPA﹣∠NPB＝90°； S△MPN＝×PN×PM ＝a××（6﹣a） ＝a（6﹣a） ＝﹣（a﹣3）2+； ∴當(dāng)a＝3時，S△MPN最大，此時OP＝1，故點P（1，0）； （3）函數(shù)的對稱軸為x＝1，如圖， x＝﹣2.5和x＝關(guān)于函數(shù)對稱軸對稱，縱坐標(biāo)均為， 由圖象看，a≥﹣且a+2≤， 解得：﹣≤a≤． 8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點B，C，D的坐標(biāo)分別（1，0），（3，0），（3，4），以A為頂點的拋物線y＝ax2+bx+c過點C．動點P從點A出發(fā)，以每秒個單位的速度沿線段AD向點D勻速運動，過點P作PE⊥x軸，交對角線AC于點N．設(shè)點P運動的時間為t（秒）． （1）求拋物線的解析式； （2）若PN分△ACD的面積為1：2的兩部分，求t的值； （3）若動點P從A出發(fā)的同時，點Q從C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CD向點D勻速運動，點H為線段PE上一點．若以C，Q，N，H為頂點的四邊形為菱形，求t的值． 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，且B（1，0），C（3，0），D（3，4）， ∴A（1，4）， 設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4， 將C（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4， 得0＝4a+4， 解得a＝﹣1， ∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3； （2）∵PE⊥x軸，DC⊥x軸， ∴PE∥DC， ∴△APN∽△ADC， ∵PN分△ACD的面積為1：2的兩部分， ∴＝或， 當(dāng)＝時，＝＝， ∵AD＝2， ∴AP＝， ∴t的值為×2＝； 當(dāng)＝時，＝＝， ∵AD＝2， ∴AP＝， ∴t的值為×2＝， 綜上所述，t的值為或； （3）如圖2﹣1，當(dāng)CN為菱形的對角線時， 點P，N的橫坐標(biāo)均為， 設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b， 將A（1，4），C（3，0）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴直線AC的表達式為y＝﹣2x+6， 將點N的橫坐標(biāo)代入y＝﹣2x+6， 得， 即EN＝4﹣t， 由菱形CQNH可得，CQ＝NH＝t＝CH， 可得EH＝（4﹣t）﹣t＝4﹣2t， ∵， ∴， 在Rt△CHE中， ∵CE2+EH2＝CH2， ∴， 解得，t1＝，t2＝4（舍）； 如圖2﹣2，當(dāng)CN為菱形的邊時， 由菱形CQHN可得，CQ＝CN＝t， 在Rt△CNE中， ∵NE2+CE2＝CN2， ∴（4﹣t）2+（2﹣t）2＝t2， 解得，t1＝20﹣8，t2＝20+8（舍）； 綜上所述，t的值為或． 9．如圖1，過原點的拋物線與x軸交于另一點A，拋物線頂點C的坐標(biāo)為，其對稱軸交x軸于點B． （1）求拋物線的解析式； （2）如圖2，點D為拋物線上位于第一象限內(nèi)且在對稱軸右側(cè)的一個動點，求使△ACD面積最大時點D的坐標(biāo)； （3）在對稱軸上是否存在點P，使得點A關(guān)于直線OP的對稱點A'滿足以點O、A、C、A'為頂點的四邊形為菱形．若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0） ∵頂點， ∴， 又∵圖象過原點， ∴， 解出：， ∴， 即； （2）令y＝0，即， 解得：x1＝0，x2＝4， ∴A（4，0）， 設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b， 將點A（4，0），代入， 得， 解得， ∴直線AC的解析式為y＝﹣x+4， 過點D作DF∥y軸交AC于點F， 設(shè)，則， ∴， ∴＝， ∴當(dāng)m＝3時，S△ACD有最大值， 當(dāng)m＝3時，， ∴； （3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，， ∴， ∴OA＝OC＝AC＝4， ∴△AOC為等邊三角形， ①如圖3﹣1，當(dāng)點P在C時，OA＝AC＝CA'＝OA'， ∴四邊形ACA'O是菱形， ∴； ②作點C關(guān)于x軸的對稱點C'，當(dāng)點A'與點C'重合時，OC＝AC＝AA'＝OA'， ∴四邊形OCAA'是菱形， ∴點P是∠AOA'的角平分線與對稱軸的交點，記為P2， ∴， ∵∠OBP2＝90°，OB＝2， ∴OP2＝2BP2， ∵∠OBP2＝90°，OB＝2， ∴OP2＝2BP2， 設(shè)BP2＝x， ∴OP2＝2x， 又∵， ∴（2x）2＝22+x2， 解得或， ∴； 綜上所述，點P的坐標(biāo)為或． 10．已知二次函數(shù)與x軸交于A、B（A在B的左側(cè)）與y軸交于點C，連接AC、BC． （1）如圖1，點P是直線BC上方拋物線上一點，當(dāng)△PBC面積最大時，點M、N分別為x、y軸上的動點，連接PM、PN、MN，求△PMN的周長最小值； （2）如圖2，點C關(guān)于x軸的對稱點為點E，將拋物線沿射線AE的方向平移得到新的拋物線y'，使得y'交x軸于點H、B（H在B的左側(cè)）．將△CHB繞點H順時針旋轉(zhuǎn)90°至△C'HB'．拋物線y'的對稱軸上有一動點S，坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點K，使得以O(shè)、C'、K、S為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：（1）如圖1，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）， ∴直線BC的解析式為， 過點P作y軸平行線，交線段BC于點Q， 設(shè)， ∴＝， ∵0＜m＜8， ∴P（4，6）． 作P點關(guān)于y軸的對稱點P1，P點關(guān)于x軸的對稱點P2，連接P1P2交x軸、y軸分別為M，N， 此時△PMN的周長最小，其周長等于線段P1P2的長； ∵P1（﹣4，6），P2（4，﹣6）， ∴． （2）如圖2中，∵E（0，﹣4），平移后的拋物線經(jīng)過E，B， ∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+bx﹣4，把B（8，0）代入得到b＝4， ∴平移后的拋物線的解析式為y＝﹣x+4x﹣4＝﹣（x﹣2）（x﹣8）， 令y＝0，得到x＝2或8， ∴H（2，0）， ∵△CHB繞點H順時針旋轉(zhuǎn)90°至△C′HB′， ∴C′（6，2）， 當(dāng)OC′＝C′S時，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S2K2， ∵OC′＝C′S＝＝2， ∴可得S1（5，2﹣），S2（5，2+）， ∵點C′向左平移一個單位，向下平移得到S1， ∴點O向左平移一個單位，向下平移個單位得到K1， ∴K1（﹣1，﹣），同法可得K2（﹣1，）， 當(dāng)OC′＝OS時，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K4S4， 同法可得K3（11，2﹣），K4（11，2+）， 當(dāng)OC′是菱形的對角線時，設(shè)S5（5，m），則有52+m2＝12+（2﹣m）2， 解得m＝﹣5， ∴S5（5，﹣5）， ∵點O向右平移5個單位，向下平移5個單位得到S5， ∴C′向上平移5個單位，向左平移5個單位得到K5， ∴K5（1，7）， 綜上所述，滿足條件的點K的坐標(biāo)為（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（11，2﹣）或（11，2+）或（1，7）． 11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C． （1）求該拋物線的解析式； （2）如圖①，若點D是拋物線上一個動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜3），連接CD、BD、BC、AC，當(dāng)△BCD的面積等于△AOC面積的2倍時，求m的值； （3）若點N為拋物線對稱軸上一點，請在圖②中探究拋物線上是否存在點M，使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：， ∴拋物線解析式為； （2）過點D作y軸平行線交BC于點E， 把x＝0代入中，得：y＝2， ∴C點坐標(biāo)是（0，2），又B（3，0） ∴直線BC的解析式為， ∵ ∴ ∴＝， 由S△BCD＝2S△AOC得： ∴， 整理得：m2﹣3m+2＝0 解得：m1＝1，m2＝2 ∵0＜m＜3 ∴m的值為1或2； （3）存在，理由： 設(shè)：點M的坐標(biāo)為：（m，n），n＝﹣x2+x+2，點N（1，s），點B（3，0）、C（0，2）， ①當(dāng)BC是平行四邊形的邊時， 當(dāng)點C向右平移3個單位，向下平移2個單位得到B， 同樣點M（N）向右平移3個單位，向下平移2個單位N（M）， 故：m+3＝1，n﹣2＝s或m﹣3＝1，n+2＝s， 解得：m＝﹣2或4， 故點M坐標(biāo)為：（﹣2，﹣）或（4，﹣）； ②當(dāng)BC為對角線時， 由中點公式得：m+1＝3，n+3＝2， 解得：m＝2，故點M（2，2）； 綜上，M的坐標(biāo)為：（2，2）或（﹣2，）或（4，）． 12．已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A、B（A左B右），且AB＝4，與y軸交于C點． （1）求拋物線的解析式； （2）如圖，證明：對于任意給定的一點P（0，b）（b＞3），存在過點P的一條直線交拋物線于M、N兩點，使得PM＝MN成立； （3）將該拋物線在0≤x≤4間的部分記為圖象G，將圖象G在直線y＝t上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不變，得到一個新的函數(shù)的圖象，記這個函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n≤6，求t的取值范圍． 解：（1）拋物線y＝ax2﹣2ax+3的對稱軸為x＝1，又AB＝4，由對稱性得A（﹣1，0）、B（3，0）． 把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，∴a＝﹣1． ∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3． （2）如圖，過M作GH⊥x軸，PG∥x軸，NH∥x軸， 由PM＝MN，則△PMG≌△NMH（AAS）， ∴PG＝NH，MG＝MH． 設(shè)M（m，﹣m2+2m+3），則N（2m，﹣4m2+4m+3）， ∵P（0，b），GM＝MH， ∴yG+yH＝2yM， 即b+（﹣4m2+4m+3）＝2（﹣m2+2m+3），∴2m2＝b﹣3， ∵b＞3， ∴關(guān)于m的方程總有兩個不相等的實數(shù)根， 此即說明了點M、N存在，并使得PM＝MN．證畢； （3）圖象翻折前后如右圖所示，其頂點分別為D（1，4）、D′（1，2t﹣4）． ①當(dāng)D′在點H（4，﹣5）上方時， 2t﹣4≥﹣5，∴t≥﹣， 此時，m＝t，n＝﹣5，∵m﹣n≤6，∴t+5≤6，∴t≤1， ∴﹣≤t≤1； ②當(dāng)點D′在點H（4，﹣5）下方時， 同理可得：t＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4， 由m﹣n≤6，得t﹣（2t﹣4）≤6， ∴t≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣． 綜上所述，t的取值范圍為：﹣2≤t≤1． 13．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點P為拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E． （1）求拋物線解析式； （2）若點P在第一象限內(nèi)，當(dāng)OD＝4PE時： ①求點D、P、E的坐標(biāo)； ②求四邊形POBE的面積． （3）在（2）的條件下，若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x＝1，A（﹣2，0）在拋物線上，∴x＝﹣＝1，解得：a＝，b＝﹣， 拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2； （2）令y＝x2﹣x﹣2＝0，（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4， 當(dāng)x＝0時，y＝﹣2， 由B（4，0），C（0，﹣2），得，直線BC的表達式為：y＝x﹣2 設(shè)D（m，0），∵DP∥y軸，∴E（m， m﹣2），P（m， m2﹣m﹣2）， ∵OD＝4PE， ∴m＝4（m2﹣m﹣2﹣m+2）， ∴m＝5，m＝0（舍去）， ∴D（5，0），P（5，），E（5，）， ∴四邊形POBE的面積＝S△OPD﹣S△EBD＝×5×﹣×1×＝； （3）存在，設(shè)M（n， n﹣2）， ①以BD為對角線，如圖1， ∵四邊形BNDM是菱形， ∴MN垂直平分BD， ∴n＝4+， ∴M（，）， ∵M，N關(guān)于x軸對稱， ∴N（，﹣）； ②以BD為邊，如圖2， ∵四邊形BDMN是菱形， ∴MN∥BD，MN＝BD＝MD＝1， 過M作MH⊥x軸于H， ∴MH2+DH2＝DM2， 即（n﹣2）2+（n﹣5）2＝12， ∴n1＝4（不合題意），n2＝5.6， ∴N（4.6，）， 同理（n﹣2）2+（4﹣n）2＝1， ∴n1＝4+（不合題意，舍去），n2＝4﹣， ∴N（5﹣，﹣）， ③以BD為邊，如圖3， 過M作MH⊥x軸于H， ∴MH2+BH2＝BM2， 即（n﹣2）2+（n﹣4）2＝12， ∴n1＝4+，n2＝4﹣（不合題意，舍去）， ∴N（5+，）， 綜上所述，點N坐標(biāo)為：（）或 （，）或（5﹣，）或 （5+，）． 14．如圖，矩形OABC中，O為原點，點A在y軸上，點C在x軸上，點B的坐標(biāo)為（4，3），拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點A，與直線AB交于點D，與x軸交于C，E兩點． （1）求拋物線的表達式； （2）點P從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動，與此同時，點Q從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒個單位長度的速度向點C運動，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也停止運動．連接DP、DQ、PQ，設(shè)運動時間為t（秒）． ①當(dāng)t為何值時，△DPQ的面積最??？ ②是否存在某一時刻t，使△DPQ為直角三角形？ 若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由． 解：（1）點A（0，3），點C（4，0）， 將點A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達式，解得：b＝，c＝3， 故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+3； （2）y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）（x+2），故點E（﹣2，0）； 拋物線的對稱軸為：x＝1，則點D（2，3）， 由題意得：點Q（t，3﹣t），點P（4，t）， ①△DPQ的面積＝S△ABC﹣（S△ADQ+S△PQC+S△BPD）＝3×4﹣ [2×t+2（3﹣t）+（5﹣）×t×]＝t2﹣2t． ∵＞0，故△DPQ的面積有最小值，此時，t＝； ②點D（2，3），點Q（t，3﹣t），點P（4，t）， （Ⅰ）當(dāng)PQ是斜邊時，如圖1， 過點Q作QM⊥AB于點M，則MQ＝t，MD＝2﹣t，BD＝4﹣2＝2，PB＝3﹣t， 則tan∠MQD＝tan∠BDP，即，解得：t＝（舍去）； （Ⅱ）當(dāng)PD為斜邊時， 過點Q作y軸的平行線交AB于點N，交過點P于x軸的平行線于點M， 則ND＝2﹣t，QN＝t，MP＝4﹣t，QM＝3﹣t﹣t＝3﹣2t， 同理可得：， 解得：t＝或； （Ⅲ）當(dāng)QD為斜邊時， 同理可得：故t＝； 綜上，t＝或或或． 15．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（3，0），且與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，連接BD，點P是線段BD上的一個動點（不與B、D）重合． （1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標(biāo)； （2）過點P作PE⊥y軸于點E，求△PBE面積的最大值及取得最大值時P點的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，P，M，N為頂點的四邊形是平行四邊若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由． 解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（3，0） ∴所以二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2+2x+3 ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴D的坐標(biāo)為（1，4）； （2）設(shè)BD的解析式為y＝kx+b ∵過點B（3，0），D（1，4） ∴解得 BD的解析式為y＝﹣2x+6 設(shè)P（m，﹣2m+6）， ∵PE⊥y軸于點E， ∴PE＝m， △BPE的PE邊上的高h＝﹣2m+6， ∴S△BPE＝×PE×h＝m（﹣2m+6） ＝﹣m2+3m＝， ∵a＝﹣1＜0， ∴當(dāng)m＝時△BPE的面積取得最大值為， 當(dāng)m＝時，y＝﹣2×+6＝3， ∴P的坐標(biāo)是（，3）； （3）設(shè)點M（s，0），點N（m，n），n＝﹣m2+2m+3， ①當(dāng)BP是邊時， 點P向右平移個單位向下平移3個單位得到B， 同理點M（N）向右平移個單位向下平移3個單位得到N（M）， 即s＝m，0±3＝n， 解得：s＝﹣或或； ②當(dāng)PB為對角線時， m+s＝3+，n＝3， 解得：s＝或， 故：M點的坐標(biāo)為：；；；；；?。?