2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第28講 圖形的相似與位似（含解析）

第28講　圖形的相似與位似 1．比例線段 (1)比例線段：已知四條線段a，b，c，d，若＝或a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例線段，a，d叫做比例外，b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)；若有＝，則b叫做a，c的比例中項(xiàng)． (2)比例的基本性質(zhì)及定理 ①＝?ad＝bc； ②＝?＝； ③＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)?＝. 4．相似三角形的性質(zhì)及判定 (1)相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方． (2)相似三角形的判定 ①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所截得的三角形與原三角形相似； ②兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似； ③兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似； ④三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似； ⑤兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似； ⑥直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形都與原三角形相似． 5．射影定理 如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，則有下列結(jié)論． (1)AC2＝AD·AB； (2)BC2＝BD·AB； (3)CD2＝AD·BD； (4)AC2∶BC2＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC. 6．相似三角形的實(shí)際應(yīng)用 (1)運(yùn)用三角形相似的判定條件和性質(zhì)解決實(shí)際問題的方法步驟： ①將實(shí)際問題所求線段長(zhǎng)放在三角形中； ②根據(jù)已知條件找出一對(duì)可能相似的三角形； ③證明所找兩三角形相似； ④根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，表示出相應(yīng)的量；并求解． (2)運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題． 如利用光的反射定律求物體的高度，利用影子計(jì)算建筑物的高度．同一時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成正比，即＝. 7．相似多邊形的性質(zhì) (1)相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例． (2)相似多邊形周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方． 8．圖形的位似 (1)概念：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，這樣的圖形叫做位似圖形．這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心． (2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比． (3)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于k或－k. (4)利用位似變換將一個(gè)圖形放大或縮小，其步驟為：①確定位似中心；②確定原圖形中各頂點(diǎn)關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；③依次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn)描出新圖形 考點(diǎn)1： 相似三角形的性質(zhì) 【例題1】（2019湖南常德3分）如圖，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為1，△ABC的面積為42，則四邊形DBCE的面積是（　?。? A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】D 利用△AFH∽△ADE得到，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，則16x﹣9x＝7，解得x＝1，從而得到S△ADE＝16，然后計(jì)算兩個(gè)三角形的面積差得到四邊形DBCE的面積． 【解答】解：如圖， 根據(jù)題意得△AFH∽△ADE， 設(shè)S△AFH＝9x，則S△ADE＝16x， ∴16x﹣9x＝7，解得x＝1， ∴S△ADE＝16， ∴四邊形DBCE的面積＝42﹣16＝26． 故選：D． 歸納：1.在三角形問題中計(jì)算線段的長(zhǎng)度時(shí)，若題中已知兩角對(duì)應(yīng)相等或給出的邊之間存在比例關(guān)系，則考慮證明三角形相似，通過相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列關(guān)于所求邊的比例式求解.2．判定三角形相似的五種基本思路：(1)若已知平行線，可采用相似三角形的基本定理； (2)若已知一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角或再找該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例； (3)若已知兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找夾角相等； (4)若已知一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例； (5)若已知等腰三角形，可找頂角相等，或找一對(duì)底角相等，或找底和腰對(duì)應(yīng)成比例． 考點(diǎn)2： 相似三角形的判定 【例題2】在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)P，Q分別在直線CB與射線DC上(點(diǎn)P不與點(diǎn)C，點(diǎn)B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求線段BP的長(zhǎng)． 解：分三種情況：設(shè)BP＝x. ①當(dāng)P在線段BC上時(shí)，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°. ∴∠BAP＋∠APB＝90°. ∵∠APQ＝90°，∴∠APB＋∠CPQ＝90°. ∴∠BAP＝∠CPQ， ∴△ABP∽△PCQ. ∴＝，∴＝， ∴x1＝x2＝2. ∴BP＝2； ②當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，同理，得BP＝2－2； ③當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，同理，得BP＝2＋2. 歸納：基本圖形 (1)斜邊高圖形 有以下基本結(jié)論： ①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC； ②△ADB∽△CDA∽△CAB. (2)一線三等角 有以下基本結(jié)論： ①∠B＝∠C，∠BDE＝∠DFC； ②△BDE∽△CFD. 特殊地：若點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，則有△BDE∽△CFD∽△DFE. 考點(diǎn)3：相似三角形的綜合應(yīng)用 【例題3】(2017·河北模擬)修建某高速公路，需要通過一座山，指揮部決定從E，D兩點(diǎn)開挖一個(gè)涵洞．工程師從地面選取三個(gè)點(diǎn)A，B，C，且A，B，D三點(diǎn)在一條直線上，A，C，E也在同一條直線上，若已知AB＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，且測(cè)得BC＝22.5米． (1)求DE的長(zhǎng)； (2)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)都具備打通能力，且質(zhì)量相當(dāng)，指揮部派出相關(guān)人員分別到這兩個(gè)工程隊(duì)了解情況，獲得如下信息： 信息一：甲工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞比乙工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞多用25天； 信息二：乙工程隊(duì)每天開挖的米數(shù)是甲工程隊(duì)每天開挖的米數(shù)的1.5倍； 信息三：甲工程隊(duì)每天需要收費(fèi)3 500元，乙工程隊(duì)每天需要收費(fèi)4 000元． 若僅從費(fèi)用角度考慮問題，試判斷選用甲、乙哪個(gè)工程隊(duì)比較合算． 【解析】：(1)連接DE. ∵AB＝27米，AD＝500米， AC＝15米，AE＝900米， ∴＝＝. 又∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AED. ∴＝＝，即DE＝750米． (2)設(shè)甲工程隊(duì)每天開挖涵洞x米，則乙工程隊(duì)每天開挖涵洞1.5x米，依據(jù)題意，得 －＝25，解得x＝10. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是原方程的解． 則1.5x＝15. ∴甲工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞的時(shí)間為＝75(天)， 甲工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞所需的費(fèi)用為 75×3 500＝262 500(元)； 乙工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞的時(shí)間為 ＝＝50(天)， 乙工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞所需的費(fèi)用為 50×4 000＝200 000. ∵200 000＜262 500， ∴選用乙工程隊(duì)較合算． 一、選擇題： 1. （2018?玉林）兩三角形的相似比是2：3，則其面積之比是（　?。? A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27 【答案】C 【解答】解：∵兩三角形的相似比是2：3， ∴其面積之比是4：9， 故選：C． 2. （2018?臨沂）如圖．利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度．已知標(biāo)桿BE高1.2m，測(cè)得AB=1.6m．BC=12.4m．則建筑物CD的高是（　?。? A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m 【答案】B 【解答】解：∵EB∥CD， ∴△ABE∽△ACD， ∴=，即=， ∴CD=10.5（米）． 故選：B． 3. （2019，四川巴中，4分）如圖?ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使DE：AD＝1：3，連結(jié)EF交DC于點(diǎn)G，則S△DEG：S△CFG＝（　?。? A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9 【答案】D 【解答】解：設(shè)DE＝x， ∵DE：AD＝1：3， ∴AD＝3x， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，BC＝AD＝3x， ∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)， ∴CF＝BC＝x， ∵AD∥BC， ∴△DEG∽△CFG， ∴＝（）2＝（）2＝， 故選：D． 4. （2019?貴州畢節(jié)?3分）如圖，在一塊斜邊長(zhǎng)30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一個(gè)正方形CDEF，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在斜邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，若AF：AC＝1：3，則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為（　?。? A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2 【答案】A 【解答】解：設(shè)AF＝x，則AC＝3x， ∵四邊形CDEF為正方形， ∴EF＝CF＝2x，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴＝＝， ∴BC＝6x， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2， 解得，x＝2， ∴AC＝6，BC＝12， ∴剩余部分的面積＝×12×6﹣4×4＝100（cm2）， 故選：A． 5. （2018?瀘州）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn)G，若AE=3ED，DF=CF，則的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如圖作，F(xiàn)N∥AD，交AB于N，交BE于M． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∵FN∥AD， ∴四邊形ANFD是平行四邊形， ∵∠D=90°， ∴四邊形ANFD是解析式， ∵AE=3DE，設(shè)DE=a，則AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN=a， ∴FM=a， ∵AE∥FM， ∴===， 故選：C． 二、填空題： 6. 如圖，△OAB與△OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ． 【答案】（1，-1） 【解答 】：連接BC， ∵△OAB與△OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，且B（1，0），即OB=1， ∴OD=2，即B為OD中點(diǎn)， ∵OC=DC， ∴CB⊥OD， 在Rt△OCD中，CB為斜邊上的中線， ∴CB=OB=BD=1， 則C坐標(biāo)為（1，-1）， 故答案為：（1，-1） 7. （2019?山東省濱州市 ?5分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來的，得到△CDO，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是?。ī?，2）或（1，﹣2）　． 【答案】（﹣1，2）或（1，﹣2） 【解答】解：以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來的，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，4）， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2）， 故答案為：（﹣1，2）或（1，﹣2）． 8. （2018?江西）如圖，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分線，BD交AC于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為 ． 【答案】4 【解答】解：∵BD為∠ABC的平分線， ∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD， ∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4， ∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE， ∵AC=6=AE+CE，∴AE=4． 9. （2018?遵義）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，連接AC、BD，以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E．若DE=3，則AD的長(zhǎng)為 . 【答案】2， 【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10， ∴AC=5 過點(diǎn)D作DF⊥AC于F， ∴∠AFD=∠CBA， ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠ACB， ∴△ADF∽△CAB， ∴， ∴， 設(shè)DF=x，則AD=x， 在Rt△ABD中，BD==， ∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°， ∴△DEF∽△DBA， ∴， ∴， ∴x=2， ∴AD=x=2， 三、解答題： 10. (2018·江西)如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分線，BD交AC于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)． 【解析】：∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD. ∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD. ∴∠D＝∠CBD.∴BC＝CD. ∵BC＝4，∴CD＝4. ∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE. ∴＝. ∴＝.∴AE＝2CE. ∵AC＝AE＋CE＝6， ∴AE＝4. 11. (2019湖北荊門)（10分）如圖，為了測(cè)量一棟樓的高度OE，小明同學(xué)先在操場(chǎng)上A處放一面鏡子，向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放到C處，然后后退到D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O，A，B，C，D在同一條直線上），測(cè)得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG為1.6m，試確定樓的高度OE． 【分析】設(shè)E關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)為M，由光的反射定律知，延長(zhǎng)GC、FA相交于點(diǎn)M，連接GF并延長(zhǎng)交OE于點(diǎn)H，根據(jù)GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列式計(jì)算即可． 【解答】 解：設(shè)E關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)為M，由光的反射定律知，延長(zhǎng)GC、FA相交于點(diǎn)M， 連接GF并延長(zhǎng)交OE于點(diǎn)H， ∵GF∥AC， ∴△MAC∽△MFG， ∴，， 即：， ∴， ∴OE＝32， 答：樓的高度OE為32米． 12. (2018·福建)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.線段AD由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直線EF過點(diǎn)D. (1)求∠BDF的大?。? (2)求CG的長(zhǎng)． 【解析】：(1)∵線段AD是由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10. ∴∠ABD＝45°. ∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到， ∴AB∥EF. ∴∠BDF＝∠ABD＝45°. (2)由平移的性質(zhì)，得AE∥CG，AB∥EF， ∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE＋∠DAB＝180°. ∵∠DAB＝90°， ∴∠ADE＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝∠ACB. ∴△ADE∽△ACB. ∴＝. ∵AC＝8，AB＝AD＝10， ∴AE＝12.5，由平移的性質(zhì)，得CG＝AE＝12.5. 13.△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN＝∠B. (1)如圖1，當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交邊AC于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形； (2)如圖2，將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合)，不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論； (3)在圖2中，若AB＝AC＝10，BC＝12，當(dāng)S△DEF＝S△ABC時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)． 【點(diǎn)撥】(1)由題意得AD⊥BD，DE⊥AC，可考慮從兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來探究；(2)依據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角定義，結(jié)合等式的性質(zhì)，得∠BFD＝∠CDE，又由∠B＝∠C，可得△BDF∽△CED；由相似三角形的性質(zhì)得＝，進(jìn)而有＝，從而△CED∽△DEF；(3)首先利用△DEF的面積等于△ABC的面積的，求出點(diǎn)D到AB的距離，進(jìn)而利用S△DEF的值求出EF即可． 【解答】解：(1)圖1中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE. (2)△BDF∽△CED∽△DEF. 證明：∵∠B＋∠BDF＋∠BFD＝180°，∠EDF＋∠BDF＋∠CDE＝180°， 又∵∠EDF＝∠B，∴∠BFD＝∠CDE. 由AB＝AC，得∠B＝∠C，∴△BDF∽△CED.∴＝. ∵BD＝CD，∴＝. 又∵∠C＝∠EDF，∴△BDF∽△CED∽△DEF. (3)連接AD，過點(diǎn)D作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H. ∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6. 在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2，∴AD＝8. ∴S△ABC＝BC·AD＝48.S△DEF＝S△ABC＝12. 又∵AD·BD＝AB·DH，∴DH＝4.8. ∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB＝∠EFD. ∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH＝DG＝4.8. ∵S△DEF＝EF·DG＝12，∴EF＝5. 14. (2019?湖南常德?10分)在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，BN⊥AC交AC于點(diǎn)N． (1)在圖1中，求證：△BMC≌△CNB； (2)在圖2中的線段CB上取一動(dòng)點(diǎn)P，過P作PE∥AB交CM于點(diǎn)E，作PF∥AC交BN于點(diǎn)F，求證：PE+PF＝BM； (3)在圖3中動(dòng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，類似(2)過P作PE∥AB交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作PF∥AC交NB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AM?PF+OM?BN＝AM?PE． 【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB，利用AAS定理證明； (2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM＝NC，證明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，證明結(jié)論； (3)根據(jù)△BMC≌△CNB，得到MC＝BN，證明△AMC∽△OMB，得到＝，根據(jù)比例的性質(zhì)證明即可． 【解答】證明：(1)∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵CM⊥AB，BN⊥AC， ∴∠BMC＝∠CNB＝90°， 在△BMC和△CNB中， ， ∴△BMC≌△CNB(AAS)； (2)∵△BMC≌△CNB， ∴BM＝NC， ∵PE∥AB， ∴△CEP∽△CMB， ∴， ∵PF∥AC， ∴△BFP∽△BNC， ∴， ∴， ∴PE+PF＝BM； (3)同(2)的方法得到，PE﹣PF＝BM， ∵△BMC≌△CNB， ∴MC＝BN， ∵∠ANB＝90°， ∴∠MAC+∠ABN＝90°， ∵∠OMB＝90°， ∴∠MOB+∠ABN＝90°， ∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°， ∴△AMC∽△OMB， ∴ ∴AM?MB＝OM?MC， ∴AM×(PE﹣PF)＝OM?BN， ∴AM?PF+OM?BN＝AM?PE． 17