2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專題23 以圓為背景的證明與計算（含解析）

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1、專題23 以圓為背景的證明與計算 考點(diǎn)分析 【例1】（2019·廣東中考模擬）已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O的直徑，DE⊥AB，垂足為E． （1）延長DE交⊙O于點(diǎn)F，延長DC，F(xiàn)B交于點(diǎn)P，如圖1．求證：PC=PB； （2）過點(diǎn)B作BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點(diǎn)H，且點(diǎn)O和點(diǎn)A都在DE的左側(cè)，如圖2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小． 【答案】（1）詳見解析；（2）∠BDE=20°． 【解析】 （1）如圖1，∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ABC=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA=90°， ∴∠DEA=∠ABC， ∴

2、BC∥DF， ∴∠F=∠PBC， ∵四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠F+∠DCB=180°， ∵∠PCB+∠DCB=180°， ∴∠F=∠PCB， ∴∠PBC=∠PCB， ∴PC=PB； （2）如圖2，連接OD， ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB=90°， ∴∠ADC=∠AGB， ∴BG∥DC， ∵BC∥DE， ∴四邊形DHBC是平行四邊形， ∴BC=DH=1， 在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=， ∴∠ACB=60°， ∴BC=AC=OD， ∴DH=OD， 在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=

3、80°， ∴∠ODH=20°， 設(shè)DE交AC于N， ∵BC∥DE， ∴∠ONH=∠ACB=60°， ∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°， ∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠DOC=20°， ∴∠CBD=∠OAD=20°， ∵BC∥DE， ∴∠BDE=∠CBD=20°． 【點(diǎn)睛】 本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解決第（2）問，作出輔助線，求得∠ODH=20°是解決本題的關(guān)鍵. 【例2】 （2019·湖南中考真題）如圖，點(diǎn)在半徑為8的上，過點(diǎn)作，交延

4、長線于點(diǎn)．連接，且． （1）求證：是的切線； （2）求圖中陰影部分的面積． 【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】 （1）證明：連接，交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是的切線； （2）解：∵，∴， ∵， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】 本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目比較好，難度適中． 考點(diǎn)集訓(xùn) 1．（2019·遼寧中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在的內(nèi)部，經(jīng)過，兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，以，為鄰邊作． （1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由． （2）若點(diǎn)

5、是的中點(diǎn)，的半徑為2，求的長． 【答案】（1）是的切線；理由見解析；（2）的長． 【解析】 （1）是的切線； 理由：連接， ，， ， ， 四邊形是平行四邊形， ， ， ， ， 是的切線； （2）連接， 點(diǎn)是的中點(diǎn)， ， ， ， 的長． 【點(diǎn)睛】 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵． 2．（2019·云南初三）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，作ED⊥EB交AB于點(diǎn)D，⊙O是△BED的外接圓． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）已知⊙O的半徑為2.5，BE

6、=4，求BC，AD的長． 【答案】（1）證明見解析；（2）BC=，AD=． 【解析】 （1）如圖，連接OE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE=∠CBE， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC， 又∵∠C=90°， ∴∠AEO=90°，即OE⊥AC， ∴AC為⊙O的切線； （2）∵ED⊥BE， ∴∠BED=∠C=90°， 又∵∠DBE=∠EBC， ∴△BDE∽△BEC， ∴，即， ∴BC=； ∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A， ∴△AOE∽△ABC， ∴，即， 解得：AD=． 點(diǎn)睛：本題主要考查切

7、線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)． 3．（2019·連云港市新海實驗中學(xué)初三月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF． （1）求∠CDE的度數(shù)； （2）求證：DF是⊙O的切線； （3）若AC=DE，求tan∠ABD的值． 【答案】（1）90°；（2）證明見解析；（3）2． 【解析】 解：（1）解：∵對角線AC為⊙O的直徑， ∴∠ADC=90°， ∴∠EDC=90°； （2）證明：連接DO， ∵∠EDC=90°，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，

8、∴DF=FC， ∴∠FDC=∠FCD， ∵OD=OC， ∴∠OCD=∠ODC， ∵∠OCF=90°， ∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°， ∴DF是⊙O的切線； （3）解：如圖所示：可得∠ABD=∠ACD， ∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°， ∴∠DCA=∠E， 又∵∠ADC=∠CDE=90°， ∴△CDE∽△ADC， ∴， ∴DC2=AD?DE ∵AC=2DE， ∴設(shè)DE=x，則AC=2x， 則AC2﹣AD2=AD?DE， 期（2x）2﹣AD2=AD?x， 整理得：AD2+AD?x﹣20x2=0， 解得：AD=

9、4x或﹣4.5x（負(fù)數(shù)舍去）， 則DC=， 故tan∠ABD=tan∠ACD=． 4．（2019·江蘇初三月考）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC的度數(shù)； （2）求證：AE是⊙O的切線； （3）當(dāng)BC=4時，求劣弧AC的長． 【答案】（1）60°;(2)證明略;(3) 【解析】 （1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角， ∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即BA⊥A

10、E， ∴AE是⊙O的切線； （3）如圖，連接OC， ∵OB=OC，∠ABC=60°， ∴△OBC是等邊三角形， ∴OB=BC=4，∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°， ∴劣弧AC的長為==． 【點(diǎn)睛】 本題考查了切線長定理及弧長公式，熟練掌握定理及公式是解題的關(guān)鍵. 5．（2019·江蘇中考真題）如圖，為⊙的直徑，為⊙上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)．過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，連接． （1）求證：； （2）與⊙有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）與⊙相切，理由見解析. 【解析】 (1)連接， 為的中點(diǎn)， ∴， ， ， ； (2)

11、與⊙相切，理由如下： ， ， ∴∠ODE+∠E=180°， ， ∴∠E=90°， ∴∠ODE=90°， ， 又∵OD是半徑， 與⊙相切． 【點(diǎn)睛】 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵． 6．（2019·湖北初三）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點(diǎn)C，與BA的延長線交于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO延長線于點(diǎn)E，連接PB，∠EDB=∠EPB， （1）求證：PB是的切線． （2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑． 【答案】(1)證明見解析；（2）3． 【解析】 （1）證明：∵在△DEO和△PB

12、O中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB， ∴∠OBP=∠E=90°， ∵OB為圓的半徑， ∴PB為圓O的切線； （2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8， 根據(jù)勾股定理得：PD=， ∵PD與PB都為圓的切線， ∴PC=PB=6， ∴DC=PD-PC=10-6=4， 在Rt△CDO中，設(shè)OC=r，則有DO=8-r， 根據(jù)勾股定理得：（8-r）2=r2+42， 解得：r=3， 則圓的半徑為3． 考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)． 7．（2019·廣西中考模擬）如圖，以AB邊為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)P，C是⊙O上一點(diǎn)，連結(jié)PC交AB于點(diǎn)E，且∠ACP=60°，PA=PD．

13、（1）試判斷PD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，已知AB=4，求CE?CP的值． 【答案】（1）PD是⊙O的切線．證明見解析.（2）8. 【解析】 連結(jié)OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切線． （2）連結(jié)BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵C為弧AB的中點(diǎn)，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP?CE=C

14、A2=（）2=8． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；直線與圓的位置關(guān)系；探究型． 8．（2019·湖南中考真題）如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，AD平分，，過點(diǎn)B作⊙O的切線交AD的延長線于點(diǎn)E． (1)求證：直線CD是⊙O的切線． (2)求證：． 【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析. 【解析】 解：證明：(1)連接OD， ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直線CD是⊙O的切線； (2)連接BD， ∵BE是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．

15、 【點(diǎn)睛】 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義．圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 9．（2019·山東中考真題）如圖，在中，，以為直徑的分別與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)． （1）求證：直線是的切線； （2）求證：； （3）若的半徑為4，，求陰影部分的面積． 【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3） 解：（1）如圖所示，連接， ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直線是的切線； （2）連接，則，則， 則， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴，即； （3）連接， ∵， ∴， ∴，

16、， 【點(diǎn)睛】 本題主要考查圓的綜合性知識，難度系數(shù)不大，應(yīng)該熟練掌握，關(guān)鍵在于做輔助線，這是這類題的難點(diǎn). 10．（2019·江蘇中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點(diǎn)F，弦AD平分，，垂足為E． （1）試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若⊙O的半徑為2，，求線段EF的長． 【答案】（1）直線DE與⊙O相切；（2）. 【解析】 （1）直線DE與⊙O相切， 連結(jié)OD． ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴DE是⊙O的切線； （2）過O作于G， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四

17、邊形AODF是菱形， ∵，， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】 本題考查切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考常考題型． 11．（2019·天津中考真題）已知，分別與相切于點(diǎn)，，，為上一點(diǎn)． （Ⅰ）如圖①，求的大??； （Ⅱ）如圖②，為的直徑，與相交于點(diǎn)，若，求的大?。? 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 解：（Ⅰ）如圖，連接． ∵是的切線， ∴，． 即． ∵， ∴在四邊形中，． ∵在中，， ∴． （Ⅱ）如圖，連接． ∵為的直徑， ∴． 由（Ⅰ）知，， ∴． ∴． ∵在中，， ∴． 又是的一個外

18、角，有， ∴． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵 12．（2019·甘肅中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)且與邊相交于點(diǎn)． (1)求證：是的切線； (2)若，求的半徑． 【答案】(1)見解析；(2) 【解析】 (1)證明：連接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切線； (2)解：連接， ∵， ∴是等邊三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半徑． 【點(diǎn)睛】 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作

19、出輔助線是解題的關(guān)鍵． 13．（2019·湖北中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)，以為直徑的分別交于點(diǎn)兩點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn). 試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由． 若求的長． 【答案】（1）切，理由見解析；（2） 【解析】 （1）相切， 理由：如圖，連接， 為的中點(diǎn)， 與相切； 連接， 為的直徑， 即， 【點(diǎn)睛】 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 14．（2019·山西初三期末）如圖，點(diǎn)O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相

20、切于點(diǎn)C． （1）求證：直線PB與⊙O相切； （2）PO的延長線與⊙O交于點(diǎn)E．若⊙O的半徑為3，PC=4．求弦CE的長． 【答案】(1)證明見解析；（2） 【解析】 （1）證明：連接OC，作OD⊥PB于D點(diǎn)． ∵⊙O與PA相切于點(diǎn)C， ∴OC⊥PA． （2）解：設(shè)PO交⊙O于F，連接CF． ∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8． ∵⊙O與PA相切于點(diǎn)C， ∴∠PCF=∠E． 又∵∠CPF=∠EPC， ∴△PCF∽△PEC， ∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2． ∵EF是直徑， ∴∠ECF=90°． 設(shè)CF=x，則EC=2x． 則x2+（2x）2=62， 解得x=． 則EC=2x=．