概率論答案-李賢平版-第三章.doc

113 《概率論》計(jì)算與證明題 第三章 隨機(jī)變量與分布函數(shù) 1、直線上有一質(zhì)點(diǎn)，每經(jīng)一個(gè)單位時(shí)間，它分別以概率或向右或向左移動(dòng)一格，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻0從原點(diǎn)出發(fā)，而且每次移動(dòng)是相互獨(dú)立的，試用隨機(jī)變量來(lái)描述這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（以表示時(shí)間n時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置）。 2、設(shè)為貝努里試驗(yàn)中第一個(gè)游程（連續(xù)的成功或失?。┑拈L(zhǎng)，試求的概率分布。 3、c應(yīng)取何值才能使下列函數(shù)成為概率分布：（1）（2） 。 4、證明函數(shù)是一個(gè)密度函數(shù)。 5、若的分布函數(shù)為N（10，4），求落在下列范圍的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。 6、若的分布函數(shù)為N（5，4），求a使：（1）；（2）。 7、設(shè)，試證具有下列性質(zhì)：（1）非降；（2）右連續(xù)；（3） 。 8、試證：若，則。 9、設(shè)隨機(jī)變量取值于[0，1]，若只與長(zhǎng)度有關(guān)（對(duì)一切），試證服從[0，1]均勻分布。 10、若存在上的實(shí)值函數(shù)及以及及，使 ， 則稱是一個(gè)單參數(shù)的指數(shù)族。證明（1）正態(tài)分布，已知，關(guān)于參數(shù)；（2）正態(tài)分布，已知，關(guān)于參數(shù)；（3）普阿松分布關(guān)于都是一個(gè)單參數(shù)的指數(shù)族。 但上的均勻分布，關(guān)于不是一個(gè)單參數(shù)的指數(shù)族。 11、試證為密度函數(shù)的充要條件為 。 12、若為分布密度，求為使成為密度函數(shù)，必須而且只需滿足什么條件。 13、若的密度函數(shù)為 ， 試求：（1）常數(shù)A；（2）；（3）的邊際分布；（4）； （5）；（6）。 14、證明多項(xiàng)分布的邊際分布仍是多項(xiàng)分布。 15、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為 ，試求與的邊際分布。 16、若是對(duì)應(yīng)于分布函數(shù)的密度函數(shù)，證明對(duì)于一切，下列函數(shù)是密度函數(shù)，且具有相同的邊際密度函數(shù)： 。 17、設(shè)與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均服從幾何分布。令，試求（1）的聯(lián)合分布；（2）的分布；（3）關(guān)于的條件分布。 18、（1）若的聯(lián)合密度函數(shù)為，問(wèn)與是否相互獨(dú)立？ （2）若的聯(lián)合密度函數(shù)為，問(wèn)與是否相互獨(dú)立？ 19、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為 試證：兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。 20、設(shè)具有聯(lián)合密度函數(shù)，試證與不獨(dú)立，但與是相互獨(dú)立的。 21、若與是獨(dú)立隨變量，均服從普要松分布，參數(shù)為及，試直接證明 （1）具有普承松分布，參數(shù)為； （2）。 22、若相互獨(dú)立，且皆以概率取值+1及，令，試證兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立。 23、若服從普阿松分布，參數(shù)為，試求（1）；（2）的分布。 24、設(shè)的密度函數(shù)為，求下列隨機(jī)變量的分布函數(shù)：（1），這里；（2）；（3）。 25、對(duì)圓的直徑作近似度量，設(shè)其值均勻分布于內(nèi)，試求圓面積的分布密度。 26、若為相互獨(dú)立的分別服從[0，1]均勻分布的隨機(jī)變量，試求的分布密度函數(shù)。 27、設(shè)相互獨(dú)立，分別服從，試求的密度函數(shù)。 28、若是獨(dú)立隨機(jī)變量，均服從，試求的聯(lián)合密度函數(shù)。 29、若相互獨(dú)立，且皆服從指數(shù)分布，參數(shù)分別為，試求的分布。 30、在線段上隨機(jī)投擲兩點(diǎn)，試求兩點(diǎn)間距離的分布函數(shù)。 31、若氣體分子的速度是隨機(jī)向量，各分量相互獨(dú)立，且均服從，試證斑點(diǎn)服從馬克斯威爾分布。 32、設(shè)是兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，服從，服從自由度為的分布(3.14),令，試證t的密度函數(shù)為 這分布稱為具有自由度n的分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中十分重要。 33、設(shè)有聯(lián)合密度函數(shù)，試求的密度函數(shù)。 34、若獨(dú)立，且均服從，試證與是獨(dú)立的。 35、求證，如果與獨(dú)立，且分別服從分布和，則與也獨(dú)立。 36、設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量均服從 ，問(wèn)與是否獨(dú)立？ 37、若（）服從二元正態(tài)分布（2.22），試找出與相互獨(dú)立的充要條件。 38、對(duì)二元正態(tài)密度函數(shù)， （1）把它化為標(biāo)準(zhǔn)形式（2.22）；（2）指出；（3）求；（4）求。 39、設(shè)，試寫出分布密度（2.12），并求出的邊際密度函數(shù)。 40、設(shè)是相互獨(dú)立相同分布的隨機(jī)變量，其密度函數(shù)不等于0，且有二階導(dǎo)數(shù)，試證若與相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布。 41、若是上單值實(shí)函數(shù)，對(duì)，記。試證逆映射 具有如下性質(zhì)： （1）; （2）; （3）. 42、設(shè)隨機(jī)變量x的密度函數(shù)是（1）求常數(shù)C；（2）求a使得=. 43、一個(gè)袋中有張卡寫有，現(xiàn)從袋中任取一張求所得號(hào)碼數(shù)的期望。 44、設(shè)，在的條件密度分布是，求的條件下x的密度? 45、設(shè)與獨(dú)立同服從上的均勻分布，求的分布函數(shù)與密度函數(shù)。 46、設(shè)的聯(lián)合分布密度為，（1）.求常數(shù)A；（2）求給定時(shí)的條件密度函數(shù)。 47、在(0,4)中任取兩數(shù)，求其積不超過(guò)4的概率。 48、若的分布列是（見下表）(1)求出常數(shù)A; (2)求出 時(shí)的條件分布列。 x Ч -1 0 1 1 1/6 1/8 1/8 2 1/12 1/4 A 3 1/24 1/24 1/24 49、設(shè)獨(dú)立的服從分布，令，求的聯(lián)合密度函數(shù)及邊際密度函數(shù)。 50、設(shè)隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為 ，(1).求常數(shù)a，使P{x>a} = P{x<a}； (2).求常數(shù)b，使P{x>b} = 0.05。 51、地下鐵道列車運(yùn)行的間隔時(shí)間為2分鐘，旅客在任意時(shí)刻進(jìn)入月臺(tái)，求候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望及均方差。 52、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為：， (1)求的密度函數(shù)；(2)求; (3) 53、若二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：，1)求的密度函數(shù)；2)求；（3） 54、若，求 的密度函數(shù)。 55、將兩封信隨機(jī)地往編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)郵筒內(nèi)投，以表示第個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目，求： (1) 的聯(lián)合分布列； 2)的條件下，的條件分布。 56、若，求的密度函數(shù)。 57、某射手在射擊中,每次擊中目標(biāo)的概率為，射擊進(jìn)行到第二次擊中目標(biāo)為止，用表示第次擊中目標(biāo)時(shí)射擊的次數(shù)，求和的聯(lián)合分布和條件分布。 58、進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為。將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)次成功為止，以表示所需試驗(yàn)的次數(shù)。求的分布列。 59、已知某種類型的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）服從指數(shù)分布，其概率密度為， 一臺(tái)儀器中裝有5只此類型電子管，任一只損壞時(shí)儀器便不能正常工作。求儀器正常工作1000小時(shí)以上的概率。 60、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度為，其中為已知常數(shù)。求：（1）常數(shù)A；（2）。 61、設(shè)離散隨機(jī)變量的分布列為： 0 1 2 求：（1）的分布函數(shù)； （2），， 62、從一批含有13只正品、2只次品的產(chǎn)品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，求抽得次品數(shù)的分布列及分布函數(shù)。 63、（1）設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的概率概率為，求的概率密度。 （2）設(shè)服從指數(shù)分布。求的概率密度。] 64、對(duì)圓片直徑進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量值服從均勻分布。求圓面積的概率密度。 65、設(shè)電壓，其中是一個(gè)正常數(shù)，相角是一個(gè)隨機(jī)變量，服從均勻分布，求電壓V的概率密度。 66、箱子里裝有12件產(chǎn)品，其中2件是次品。每次從箱子里任取一件產(chǎn)品，共取2次。定義隨機(jī)變量如下，。分別就下面兩種情況求出二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布列和關(guān)于的邊緣分布列：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣。 67、一個(gè)大袋子中，裝有3個(gè)桔子，2個(gè)蘋果，3個(gè)梨。今從袋中隨機(jī)抽出4個(gè)水果。若為為桔子數(shù)，為蘋果數(shù)，求的聯(lián)合分布列。 68、把一枚硬幣連擲3次，以表示在3次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，表示在3次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的絕對(duì)值，求的聯(lián)合分布列。 69、設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度為：。求（1）；（2）；（3）；（4）。 70、設(shè)隨機(jī)向量的概率密度為：，求：（1）常數(shù)A；（2）落地圓域（）中的概率。 71、設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)向量的概率密度為： 求：（1）的分布函數(shù)；（2）關(guān)于及關(guān)于的邊緣分布函數(shù)。 72、設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)向量的概率密度為：，求關(guān)于及關(guān)于的邊緣概率密度。 73、設(shè)與相互獨(dú)立，且服從均勻分布，服從正態(tài)分布。求的概率密度。 74、若的密度為(，則兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。 75、若相互獨(dú)立，且同服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為：，證明：與相互獨(dú)立。 76、證明： 為一概率密度函數(shù)。 77、設(shè)分別服從參數(shù)為、的普阿松分布，且相互獨(dú)立，求證： 服從參數(shù)為的普阿松分布。 78、證明函數(shù)是一個(gè)密度函數(shù)。 79、設(shè)，試證具有下列性質(zhì)：（1）非降；（2）右連續(xù)；（3） 。 80、試證：若，則。 81、設(shè)隨機(jī)變量取值于[0，1]，若只與長(zhǎng)度有關(guān)（對(duì)一切），試證服從[0，1]均勻分布。 82、定義二元函數(shù)。驗(yàn)證此函數(shù)對(duì)每個(gè)變?cè)墙?，左連續(xù)，且滿足（2.6）及（2.7），但無(wú)法使（2.5）保持非負(fù)。 83、試證為密度函數(shù)的充要條件為 。 84、若是對(duì)應(yīng)于分布函數(shù)的密度函數(shù)，證明對(duì)于一切，下列函數(shù)是密度函數(shù)，且具有相同的邊際密度函數(shù)： 。 85、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為 試證兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。 86、若與是獨(dú)立隨變量，均服從普要松分布，參數(shù)為及，試直接證明 （1）具有普承松分布，參數(shù)為； （2）。 87、若相互獨(dú)立，且皆以概率取值+1及，令，試證兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立。 88、若氣體分子的速度是隨機(jī)向量，各分量相互獨(dú)立，且均服從，試證斑點(diǎn)服從馬克斯威爾分布。 89、求證，如果與獨(dú)立，且分別服從分布和，則與也獨(dú)立。 90、證明：是一個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何成立 。 第三章 解答 1、 解：令表在n次移動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)，則服從二項(xiàng)分布， 以表時(shí)刻時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置，則 。 的分布列為 。 的分布列為 。 2、 解：， 所以的概率分布為 。 3、 解： （1）， 。 （2）， 。 4、 證：，且 是一個(gè)密度函數(shù)。 5、 解：（1） （2） （3） 6、 解：（1），而，令解得。 （2）由得，從而 =0.995，而所以。 7、 證：（1）設(shè)，所以，非降。 （2）設(shè)，由概率的可加性得 。 由此得 ， 右連續(xù)。 （3）。 由單調(diào)性得與均存在且有窮，由及上式得。 8、證： . ∴不等式成立。 9、證法一：定義則是的分布函數(shù)。由題設(shè)得，對(duì)任意有，即有。由此得。逐一類推可得，若，則，或者。從而對(duì)有理數(shù)，若與都屬于[0,1]，則有。再由的左連續(xù)性可得，對(duì)任意無(wú)理數(shù)，若與都屬于[0,1]，則。 因?yàn)閰^(qū)間與[0,1]的長(zhǎng)度相等，由題設(shè)得 . 由此及上段證明得，對(duì)任意有，即為 ∴ 服從[0,1]上均勻分布。 證法二：如同證法一中定義的分布函數(shù)，由單調(diào)知它對(duì)[0,1]上的L－測(cè)試幾乎處處可微。設(shè)，當(dāng)時(shí)，由題設(shè)得 等式兩端都除以，再令可得，由存在可推得也存在，而且。從而對(duì)任意有。當(dāng)時(shí)顯然有。一點(diǎn)的長(zhǎng)度為0，由題設(shè)得。由上所述可知是連續(xù)型隨機(jī)變量，是其密度函數(shù)，從而定出。至此得證服從[0,1]均勻分布。 10、證：（1） 若令， ，則有 這就證明了正態(tài)分布是單參數(shù)的指數(shù)族。 （2） 若令，則 所以正態(tài)分布是單參數(shù)的指數(shù)族。 （3）。 若令，則，所以是單參數(shù)的指數(shù)族。 （4）關(guān)于上的均勻分布，其密度函數(shù)為 是定義在的函數(shù)，由于它是的分段表示的函數(shù)，所以無(wú)法寫成形式 ，故關(guān)于不是一個(gè)單參數(shù)的指數(shù)族。 11、證：必要性： 令，得。設(shè) 要積分收斂，必須，由此得應(yīng)有以及。利用可得 ∴ 從而題中所列條件全部滿足。以上諸步可逆推，充分性顯然。 12、解：設(shè)是密度函數(shù)，則由得。又 ， 所以應(yīng)有。 反之，若，可積且，顯然有且，即是密度函數(shù)。 所以為使是密度函數(shù)，必須而且只需滿足且。 13、解：（1） （2）。 （3）的邊際分布，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)有 . （4） . （5）當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)有 . （6）, 利用（2）的結(jié)果可得 . 14、證：設(shè)多項(xiàng)分布為 ， （1） 。 （2） 利用（2）可以把（1）改寫成 （3） 由邊際分布的定義并把（3）代入得 由二項(xiàng)式定理得 （4） 把（4）與（3）比較知，邊際分布仍服從多項(xiàng)分布。多次類推可得 從而知任意邊際分布均服從多項(xiàng)分布（包括二項(xiàng)分布）。 15、解：（1）的密度函數(shù)為，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，注意積分取勝有選取，得 . （2）的密度函數(shù)為，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)， 令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以 其中用到函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系式。 16、證：我們有 , , 代入的表達(dá)式得 (1) 又有 (2) 由（1），（2）知是密度函數(shù)。用與上面類似的方法計(jì)算可得邊際密度函數(shù)為 , . 17、解： （1）為求的聯(lián)合概率分布，分別考慮下列三種情況：其中利用到獨(dú)立性。 （a） ； (b) ； (c) (2)因?yàn)?，所? （3） 18、解：（1）邊際分布的密度函數(shù)為，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)， 同理，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)。，所以與獨(dú)立。 （2）邊際密度函數(shù)為，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí) 在區(qū)域中均有，所以與不獨(dú)立。 19、證：當(dāng)時(shí) ，與的聯(lián)合分布密度為 ； 其余。當(dāng)時(shí)， ； 其余。由于三者在密度函數(shù)的表達(dá)式中所處地位相同，故得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在其余區(qū)域內(nèi)，諸邊際密度函數(shù)均取0值。由于故兩兩獨(dú)立；但當(dāng)時(shí)有，故不相互獨(dú)立。 20、證：當(dāng)時(shí)，， 其余。同理當(dāng)時(shí)，其余當(dāng) 時(shí)有，所以與不獨(dú)立。 現(xiàn)試能動(dòng)分布函數(shù)來(lái)證與獨(dú)立。的分布函數(shù)記為，則當(dāng)時(shí)， ； 同理可求得的分布函數(shù)，得 聯(lián)合分布函數(shù)記為，則當(dāng)時(shí) 同理得當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí) = 合起來(lái)寫得 不難驗(yàn)證對(duì)所有都成立，所以與獨(dú)立。 21、證：（1）由褶積公式及獨(dú)立性得 這就證明了具有普阿松分布，且參數(shù)為 （2） 證畢。 22、證：由題設(shè)得 ， 。 ， ， 同理可證 ，. 所以與相互獨(dú)立。用同樣的方法可片與也相互獨(dú)立。但 ， ， 所以只兩兩獨(dú)立而不相互獨(dú)立。 23、解：， 由此得（1）， （2）。 24、解：（1）由知，以概率1取有限值。當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)， 。 （2） （3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 。 25、解：設(shè)直徑為隨機(jī)變量d，則 。 圓面積。當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)。由此對(duì)求導(dǎo)（利用對(duì)參數(shù)積分求導(dǎo)法則）得圓面積的分布密度為，當(dāng)或時(shí)；當(dāng)時(shí) 。 26、解：與的密度函數(shù)為 （1） 由卷積公式及獨(dú)立性得的分布密度函數(shù)為 y （2） 2 C 把（2）與（1）比較知，在（2）中應(yīng)有， ，滿足此不等式組的解 構(gòu)成 D 圖中平面區(qū)域平形四邊形ABCD，當(dāng)時(shí) 1 B ,當(dāng)時(shí)。所以當(dāng) A0 1 x 時(shí)（2）中積分為 當(dāng)時(shí)，（2）中積分為 ; 對(duì)其余的y有。 27、解：， 由求商的密度函數(shù)的公式得 , 服從柯西分布。 28、解：作變換，令，得。由與獨(dú)立知，它們的聯(lián)合密度應(yīng)是它們單個(gè)密度的乘積，由此得U，V的聯(lián)合密度函數(shù)為 所以U,V兩隨機(jī)變量也相互獨(dú)立，且均服從N（0，2）。 29、解：當(dāng)時(shí)由獨(dú)立性得 當(dāng)時(shí)。求導(dǎo)得的密度函數(shù)為，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí) . 30、解：設(shè)在內(nèi)任意投兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，則的聯(lián)合分布密度為 。 設(shè)，則的分布函數(shù)為，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)， ， 積分S為平面區(qū)域ABCDEF的面積，其值為 ，所以 . 31、證：由獨(dú)立性得，的概率密度為 的分布函數(shù)為，當(dāng)時(shí)， 作球面坐標(biāo)變換，，則， 由此式對(duì)s求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，S的密度函數(shù)為 . 32、證：（3.14）式為 。 令，則，由得，的密度函數(shù)為，當(dāng)時(shí) 與仍獨(dú)立。記，則由商的密度函數(shù)公式得T的密度函數(shù)為 ， 令，則，得 33、解：U的分布函數(shù)為，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)有 對(duì)求導(dǎo)可得U的密度函數(shù)為，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)。 34、證：（U，V）聯(lián)合分布函數(shù)為 當(dāng)時(shí)作變換，，反函數(shù)有兩支 ， 考慮到反函數(shù)有兩支，分別利用兩組 對(duì)求導(dǎo)，得（U，V）的聯(lián)合密度為（其余為0） 若令， 則U服從指數(shù)分布，V服從柯西分布，且，所以U，V兩隨機(jī)變量獨(dú)立。 35、證：當(dāng)時(shí)，與的密度函數(shù)分別為 當(dāng)時(shí)，。設(shè)。當(dāng)或時(shí)，（U，V）聯(lián)合密度為；當(dāng)時(shí)，作變換，得，而，所以 由此知U服從分布服從分布，且U與V相互獨(dú)立。 36、解：令，當(dāng)或時(shí)，U，V聯(lián)合密度；當(dāng)且時(shí)作變換，則， 由此得U服從分布，V服從(0,1)分布，且U與V相互獨(dú)立。 37、解: 設(shè)。作變換，則，, 。U，V的聯(lián)合密度函數(shù)為 設(shè)U，V的邊際分布密度函數(shù)分別為，欲U與V獨(dú)立，必須且只需，由的表達(dá)式可知，這當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。U，V相互獨(dú)立與相互獨(dú)立顯然是等價(jià)的，所以相互獨(dú)立的充要條件是。當(dāng)時(shí)，得 ， 。 38、解：（1）因?yàn)橹笖?shù)中二次項(xiàng)的系數(shù)分別為，所以與(2.22)式（見上題解答）比較知，可設(shè)其配方后的形式為 。 比較系數(shù)得 此方程組有唯一解，由此得 （2）與（2.22）式比較得，。 （3） ， 。 （4），它服從。 39、解：. . 的邊際密度函數(shù)為（積分時(shí)在指數(shù)中對(duì)z配方） 令，利用得 。 40、證：以f記的密度函數(shù)，則的聯(lián)合密度為。作變換，令，得。若改記s為x，t為y，則由此可得的聯(lián)合密度為。另一方面，由卷積公式得和的密度分別為 , . 故由與獨(dú)立得 。 令（此處用了），則有 。 由假定知有二階導(dǎo)數(shù)，上式對(duì)x求導(dǎo)得 再對(duì)y求一次導(dǎo)數(shù)得 . 對(duì)任意u,v，選擇x,y使則由上式得. 由u,v的任意性得常數(shù)，因而，即有. 所以，從而,均勻正態(tài)分布。 41、證：（1）若，則，必存在某個(gè)使，亦有，從而， （1） 反之，若，必存在某個(gè)使亦有，即，從而， 。 （2） 由（1），（2）式即得（和集的逆像等于每個(gè)集逆像的和） 。 （2）若，則，即屬于每個(gè)，得（對(duì)任一），從而， 。 （3） 反之，若，則屬于每個(gè)，亦有屬于每個(gè)，即，從而， 。 （4） 由（3），（4）式即得（交集的逆像等于每個(gè)集逆像的交） 。 （3）若，則，亦有，從而，所以。反之，若，則，亦有，即，從而，所以。 由以上證明可得，即互為對(duì)立事件的逆像也是互為對(duì)立的事件。 42、解：(1) 由 得 (2) 由得： 故 43、解：設(shè)是所抽卡片的號(hào)數(shù)，記,則的分布列是: 由 44、解: 當(dāng)時(shí)且在條件下的分布是 由此比較題中條件可知: 故在條件下, 的條件分布 它的密度函數(shù)為 45、解：由題設(shè)(的分布密度函數(shù)是： 由商的密度計(jì)算公式的密度得： 46、解：1)由 得 2) 的邊際密度是 當(dāng)時(shí)，的條件下的條件密度為 47、解：設(shè)所取二數(shù)為，則它們是獨(dú)立的均服從（0,4）上的均勻分布 的密度函數(shù)為 48、解：1)由 得： 2)在時(shí)，的條件分布列為 得 49、解：的聯(lián)合密度為： 令 的聯(lián)合密度為: :的邊際密度是： 同理的邊際密度為: 50、解： 的分布函數(shù) (1) 由, 得 則 (2) 由, 得 則 51、解： 設(shè)為旅客的候車時(shí)間，則在上均勻分布 則 52、解：1) 則 2) 3) 53、解：1) 2) 3) 54、解： 服從 55、解： 0 1 2 0 4/16 4/16 1/16 1 4/16 2/16 0 2 1/16 0 0 0 1 2 2/3 1/3 0 56、解：當(dāng)時(shí)，, 當(dāng)時(shí)， 57、解： 58、解：的所有可能值為。事件表示第次試驗(yàn)取得第次成功。前面次試驗(yàn)中，有次成功，有次失敗。這相當(dāng)于在個(gè)位置中，取個(gè)位置，情況總數(shù)為。有前次試驗(yàn)有次成功，第次為成功}，故 注：服從的分布稱為帕斯卡分布。當(dāng)時(shí) 稱為幾何分布。 59、解：首先求一只電子管工作1000小時(shí)以上的概率。 只有當(dāng)5只電子管皆工作在1000小時(shí)以上，儀器才能工作1000小時(shí)以上。又“每只電子管工作1000小時(shí)以上”是相互獨(dú)立的，所以所求概率為 ， 此概率很小。 60、解：（1）利用概率密度的性質(zhì)，即可確定A。 故 （2） 61、解：（1）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故 （2） 或這樣做：因區(qū)間[1，4]包含二個(gè)可能值1,2，它對(duì)應(yīng)的概率分別為，。故 62、解：的可能值0,1,2。因是不放回抽樣，故 ；； 故的分布列為 0 1 2 的分布函數(shù)為 63、解：（1），為單調(diào)增函數(shù)，反函數(shù)為，故 （2），利用（1）的結(jié)果，有 64、解： 當(dāng)時(shí)，單調(diào)增。，。故當(dāng)時(shí)，。而當(dāng)取其它值時(shí)，，故 65、解：的概率密度 。函數(shù)在上單調(diào)增，故其反函數(shù)單值。 當(dāng)時(shí) ，V的概率密度 當(dāng)（即）時(shí) 故 66、解：（1）， ， ， 故的聯(lián)合分布列及關(guān)于的邊緣分布列為： X Y 0 1 0 1 1 （2）， ， ， 故聯(lián)合分布列及邊緣分布列如下： X Y 0 1 0 1 1 67、解：， ， ，， ， 同樣，可計(jì)算其它情況。的聯(lián)合分布列為： X Y 0 1 2 0 0 1 2 3 0 68、解：當(dāng)連擲3次出現(xiàn)反面時(shí)，的取值為；出現(xiàn)1次正面，2次反面時(shí)，的取值為；出現(xiàn)2次正面，1次反面時(shí)，的取值為；出現(xiàn)3次正面時(shí)，的取值為。有 ， ， ， ， 又 ， ， ， 故的聯(lián)合分布列為： X Y 1 3 0 0 1 0 2 0 3 0 69、解：（1） 故 ，即 。 （2） （3） （4） 70、解：（1） 故。 （2） 71、解：（１）的分布函數(shù)為 （２），。 72、解：當(dāng)時(shí)?。? 當(dāng)時(shí)，，故。得 同理 73、解：的概率密度；　的概率密度； 則Ｚ的概率密度 74、證： 的地位對(duì)稱 只證與獨(dú)立即可知兩兩獨(dú)立。 的聯(lián)合密度是： ( 得4分) 同理 故獨(dú)立 但 故 不相互獨(dú)立。 75、證：令 即 逆變換 故 而 因 故 與獨(dú)立。 76、證：顯然 而 77、證： 78、證：，且 是一個(gè)密度函數(shù)。 79、證：（1）設(shè)，所以，非降。 （2）設(shè)，由概率的可加性得 。 由此得 ， 右連續(xù)。 （3） 。 由單調(diào)性得與均存在且有窮，由及上式得。 80、證： . ∴不等式成立 81、證法一：定義則是的分布函數(shù)。由題設(shè)得，對(duì)任意有，即有。由此得。逐一類推可得，若，則，或者。從而對(duì)有理數(shù)，若與都屬于[0,1]，則有。再由的左連續(xù)性可得，對(duì)任意無(wú)理數(shù)，若與都屬于[0,1]，則。 因?yàn)閰^(qū)間與[0,1]的長(zhǎng)度相等，由題設(shè)得 . 由此及上段證明得，對(duì)任意有，即為 ∴ 服從[0,1]上均勻分布。 證法二：如同證法一中定義的分布函數(shù)，由單調(diào)知它對(duì)[0,1]上的L－測(cè)試幾乎處處可微。設(shè)，當(dāng)時(shí)，由題設(shè)得 等式兩端都除以，再令可得，由存在可推得也存在，而且。從而對(duì)任意有。當(dāng)時(shí)顯然有。一點(diǎn)的長(zhǎng)度為0，由題設(shè)得。由上所述可知是連續(xù)型隨機(jī)變量，是其密度函數(shù)，從而定出。至此得證服從[0,1]均勻分布。 82、證：分別對(duì)固定的和有 。 由上式顯然可得對(duì)每個(gè)變?cè)墙?，左連續(xù)，而且滿足(2.6)及(2.7)，即 但有 , 這說(shuō)明當(dāng)取時(shí)(2.5)式不成立。所以不是分布函數(shù)。 83、證：必要性： 令，得。設(shè) 要積分收斂，必須，由此得應(yīng)有以及。利用可得 ∴ 從而題中所列條件全部滿足。 以上諸步可逆推，充分性顯然。 84、證：我們有 , , 代入的表達(dá)式得 (1) 又有 (2) 由（1），（2）知是密度函數(shù)。用與上面類似的方法計(jì)算可得邊際密度函數(shù)為 , . 85、證：當(dāng)時(shí) ，與的聯(lián)合分布密度為 ； 其余。當(dāng)時(shí)， ； 其余。由于三者在密度函數(shù)的表達(dá)式中所處地位相同，故得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在其余區(qū)域內(nèi)，諸邊際密度函數(shù)均取0值。由于故兩兩獨(dú)立；但當(dāng)時(shí)有，故不相互獨(dú)立。 86、證：（1）由褶積公式及獨(dú)立性得 這就證明了具有普阿松分布，且參數(shù)為 （2） 證畢。 87、證：由題設(shè)得 ， 。 ， ， 同理可證 ，. 所以與相互獨(dú)立。用同樣的方法可片與也相互獨(dú)立。但 ， ， 所以只兩兩獨(dú)立而不相互獨(dú)立。 88、證：由獨(dú)立性得，的概率密度為 的分布函數(shù)為，當(dāng)時(shí)， 作球面坐標(biāo)變換，，則， 由此式對(duì)s求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，S的密度函數(shù)為 . 89、證：當(dāng)時(shí)，與的密度函數(shù)分別為 當(dāng)時(shí)，。設(shè)。當(dāng)或時(shí)，（U，V）聯(lián)合密度為；當(dāng)時(shí)，作變換，得，而，所以 由此知U服從分布服從分布，且U與V相互獨(dú)立。 90、證：必要性。設(shè)是隨機(jī)變量，則對(duì)有，又， . 充分性。記，現(xiàn)證M是中域。 （1），故。 （2）若,由上題得,故對(duì)余集運(yùn)算封閉。 （3）設(shè)，由上題（1）中結(jié)論得，關(guān)于可列并集運(yùn)算封閉。 由(1)－(3)知，M是域的集類。由條件知，, , 其中S{A}表示由集類A產(chǎn)生的域。由此得證是一隨機(jī)變量。