中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 旋轉(zhuǎn)模型幾何變換地三種模型手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)

word 幾何變換的三種模型手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ) 知識(shí)關(guān)聯(lián)圖 真題演練 【練1】 〔2013中考〕在中，，〔〕，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段． 〔1〕如圖1，直接寫出的大小〔用含的式子表示〕； 〔2〕如圖2，，判斷的形狀并加以證明； 〔3〕在〔2〕的條件下，連結(jié)，假如，求的值． 【練2】 〔2012年中考〕在中，，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段． 〔1〕假如且點(diǎn)與點(diǎn)重合〔如圖1〕，線段的延長(zhǎng)線交射線于點(diǎn)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出的度數(shù)； 〔2〕在圖2中，點(diǎn)不與點(diǎn)重合，線段的延長(zhǎng)線與射線交于點(diǎn)，猜測(cè)的大小〔用含的代數(shù)式表示〕，并加以證明； 〔3〕對(duì)于適當(dāng)大小的，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)到某一位置〔不與點(diǎn)，重合〕時(shí)，能使得線段的延長(zhǎng)線與射線交于點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的X圍． 例題精講 考點(diǎn)1：手拉手模型：全等和相似 包含：等腰三角形、等腰直角三角形〔正方形〕、等邊三角形伴隨旋轉(zhuǎn)出全等，處于各種位置的旋轉(zhuǎn)模型，與殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來 〔1〕等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰出伴隨全等〕 〔2〕等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等邊出伴隨全等〕 〔3〕等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰直角出伴隨全等〕 〔4〕不等邊旋轉(zhuǎn)模型圖〔共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不等腰出伴隨相似〕 【例1】 〔14年海淀期末〕四邊形和四邊形都是正方形 ，且． 〔1〕如圖，連接、．求證：； 〔2〕如圖，如果正方形的邊長(zhǎng)為，將正方形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)恰好使得，． ①求的度數(shù)； ②請(qǐng)直接寫出正方形的邊長(zhǎng)的值． 【題型總結(jié)】 手拉手模型是中考中最常見的模型，突破口常見的有哪些信息？常見的考試方法有哪些？ 【例2】 〔2014年西城一模〕四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，，連接，為的中點(diǎn)，連接，，。 〔1〕如圖24-1，假如點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，直接寫出與的位置關(guān)系與的值； 〔2〕將圖24-1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖24-2所示位置，請(qǐng)問〔1〕中所得的結(jié)論是否仍然成立？假如成立，請(qǐng)寫出證明過程；假如不成立，請(qǐng)說明理由； A C D G E F B 圖111124-1 圖24-2 A C D G E F B 【題型總結(jié)】 此類型題目方法多樣，你還能找到其他的解題方法嗎？另外涉與到的中點(diǎn)輔助線你還能說出幾種？ 【例3】 〔2015年海淀九上期末〕如圖1，在中，，以線段為邊作，使得， 連接，再以為邊作，使得，． 〔1〕如圖2 ，當(dāng)且時(shí)，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系； 圖1 〔2〕將線段沿著射線的方向平移，得到線段，連接．假如 ，依題意補(bǔ)全圖3，求線段的長(zhǎng)；請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)〔用含的式子表示〕． 圖2 圖3 備用圖 【例4】 〔13年房山一?！? 〔1〕如圖1，和都是等邊三角形，且、、三點(diǎn)共線，聯(lián)結(jié)、相交于點(diǎn)，求證：． 〔2〕如圖2，在中，，分別以、和為邊在外部作等邊、等邊和等邊，聯(lián)結(jié)、和交于點(diǎn)，如下結(jié)論中正確的答案是_______〔只填序號(hào)即可〕①；②；③； 〔3〕如圖2，在〔2〕的條件下，求證：． 圖1 圖2 【題型總結(jié)】 到三個(gè)定理的三條線段之和最小，夾角都為°．旋轉(zhuǎn)與最短路程問題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題，同時(shí)與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程最短的問題，比擬重要的就是費(fèi)馬點(diǎn)問題 費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換． 考點(diǎn)2： 角含半角模型：全等 秘籍：角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等 【例1】 〔2012年西城期末〕：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為a，，分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足，連結(jié)，，．猜測(cè)線段，和之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論． 【例2】 〔2014年平谷一?！? 〔1〕如圖1，點(diǎn)分別是正方形的邊上的點(diǎn)，，連接， 如此之間的數(shù)量關(guān)系是：．連結(jié)，交于點(diǎn)，且 滿足，請(qǐng)證明這個(gè)等量關(guān)系； 〔2〕在中，，點(diǎn)分別為邊上的兩點(diǎn)． ①如圖2，當(dāng)，時(shí)，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是__________________； ②如圖3，當(dāng)，，時(shí)，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是____________________．【參考：】 【題型總結(jié)】 角含半角的特點(diǎn)有哪些，哪些是不變的量？由角含半角產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系都是有哪些？如何描述這類題目的輔助線？ 考點(diǎn)3：對(duì)角互補(bǔ)模型 常和角平分線性質(zhì)一起考，一般有兩種解題方法 〔全等型—90°〕 〔全等型—120°〕〔全等型—任意角〕 【例1】 四邊形被對(duì)角線分為等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為，求四邊形的面積． 【例2】 ：點(diǎn)是的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，射線交射線于點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線于點(diǎn)，且使． 〔1〕利用圖1，求證：； 〔2〕如圖1，假如點(diǎn)是與的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求與的比值； 圖1 圖2 【題型總結(jié)】 對(duì)角互補(bǔ)模型經(jīng)常在哪里題目里出現(xiàn)，題目中有哪些提示信息？經(jīng)常和哪種圖形同時(shí)出現(xiàn)？ 【例3】 (初二期末)：如圖，在中，，，且．為內(nèi)部一點(diǎn)，且，． 〔1〕用含的代數(shù)式表示，得 =_______________________； 〔2〕求證：； 〔3〕求的度數(shù)． 【題型總結(jié)】 一般涉與到線段的旋轉(zhuǎn)都可以和圓聯(lián)系起來，根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)解題是一種比擬便捷的方法。 〔 全能突破 【練1】 〔2015年昌平九上期末〕如圖，和都是等腰直角三角形，，，．連接交于,連接交于，與交點(diǎn)為，連接． 〔1〕如圖1，求證：； 〔2〕如圖1，求證：是的平分線； 〔3〕如圖2，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng). 【練2】 〔2014西城九上期末〕：，都是等邊三角形，是與的中點(diǎn)，連接，. 〔1〕如圖1，當(dāng)與在同一條直線上時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系； 〔2〕固定不動(dòng)，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〔≤≤〕角，如圖2所示，判斷〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立，假如成立，請(qǐng)加以證明；假如不成立，說明理由； 〔3〕△ABC固定不動(dòng)，將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)〔≤≤〕角，作于點(diǎn)．設(shè)，線段，，，所圍成的圖形面積為．當(dāng)，時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的的取值X圍． 圖2 備用圖 圖1 【練3】 〔2014年某某一模24題〕在中，，在中，，點(diǎn)、分別在、上， 〔1〕圖①，假如，如此與的數(shù)量關(guān)系是______________； 〔2〕假如，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，如此與的數(shù)量關(guān)系是______________； 〔3〕假如，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明〔用含的式子表示〕 【練4】 〔2015年燕山九上期末〕小輝遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，，點(diǎn)，在邊上，．假如，，求的長(zhǎng)． 圖1 圖2 圖3 小輝發(fā)現(xiàn)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90º，得到，連接〔如圖2〕，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以與，可證，得．解，可求得 (即)的長(zhǎng)． 請(qǐng)回答：在圖中，的度數(shù)是__________，的長(zhǎng)為___________． 參考小輝思考問題的方法，解決問題： 如圖3，在四邊形中，，．分別是邊上的點(diǎn)，且．猜測(cè)線段之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由． 【練5】 〔11年石景山一?！常喝鐖D，正方形中，,為對(duì)角線，將繞頂點(diǎn)逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn)()，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，交,于點(diǎn)、點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、． 〔1〕在的旋轉(zhuǎn)過程中，的大小是否改變，假如不變寫出它的度數(shù)，假如改變，寫出它的變化X圍〔直接在答題卡上寫出結(jié)果，不必證明〕； 〔2〕探究與的面積的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明． 【練6】 〔2015年延慶九上期末〕：是的內(nèi)接三角形，，在所對(duì)弧上，任取一點(diǎn)，連接， 〔1〕如圖1，，直接寫出的大小〔用含的式子表示〕； 〔2〕如圖2，如果，求證：； 〔3〕如圖3，如果，那么與之間的數(shù)量關(guān)系是什么？寫出猜測(cè)并加以證明； 〔4〕如果，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系. 圖3 圖2 圖1 【練7】 〔1)如圖，在四邊形中，，分別是邊上的點(diǎn)， 且．求證：; (2) 如圖在四邊形中，，分別是邊上的點(diǎn)，且， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明． (3) 如圖，在四邊形中，，，分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？假如成立，請(qǐng)證明；假如不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 【練8】 小華遇到這樣一個(gè)問題，如圖1, 中，30º，，在 內(nèi)部有一點(diǎn)，連接，求的最小值． 小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想方法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段別離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短〞，就可以求出這三條線段和的最小值了．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題．他的做法是，如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60º，得到，連接，如此的長(zhǎng)即為所求． 〔1〕請(qǐng)你寫出圖2中，的最小值為________； 〔2〕參考小華的思考問題的方法，解決如下問題： ①如圖3，菱形中，60º，在菱形內(nèi)部有一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出并指明長(zhǎng)度等于最小值的線段〔保存畫圖痕跡，畫出一條即可〕； ②假如①中菱形的邊長(zhǎng)為4，請(qǐng)直接寫出當(dāng)值最小時(shí)的長(zhǎng)． 圖1 圖2 圖3 【練9】 〔2014年西城二?！吃冢瑸殇J角，，平分交于點(diǎn)． 〔1〕如圖1，假如是等腰直角三角形，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系； 〔2〕的垂直平分線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)． ①如圖2，假如，判斷，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并加以證明； ②如圖3，假如，求的度數(shù)． 【練10】 (2014年1月西城八年級(jí)期末試題—附加題) ：如圖，為銳角，平分，點(diǎn)，點(diǎn)分別在射線和上，. 〔1〕假如點(diǎn)在線段上，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：； 〔2〕假如〔1〕中的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的延長(zhǎng)線上，〔1〕中的其它條件不變，猜測(cè)與的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論. 備用圖1 備用圖2 【練11】 〔2014海淀一?！吃谥校?，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接，． 〔1〕如圖，當(dāng)，時(shí)，的大小為__________； 〔2〕如圖2，當(dāng)，時(shí)，求的大小； 〔3〕的大小為〔〕，假如的大小與〔〕中的結(jié)果一樣，請(qǐng)直接寫出的大?。? 圖1 圖2 小結(jié)與復(fù)習(xí) 1、旋轉(zhuǎn)的根本模型特征 2、費(fèi)馬點(diǎn)問題 3、角平分線和垂直平分線輔助線，中點(diǎn)輔助線 4、線段旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn) 40 / 40