高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考黃金30題專(zhuān)題06大題易丟分20題蘇教版

專(zhuān)題06大題易丟分（20題） 1. 已知c ? 0 ,且c = 1,設(shè)命題p:函數(shù)y=cx在-：:，亠「］上單調(diào)遞減；命題q:函數(shù)f x = x2 - 2cx ■ 1 在壯十 上為增函數(shù)， _2 （1） 若“ p且q”為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍 （2） 若"p且q”為假，“ p或q”為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍. 【答案】（1） o <CE丄；（2） 1-,1 2 12丿 【解析】試11分析:<D V的數(shù)/在R上單調(diào)遞減"<畑 即p： o<c<i 又 （x） —X3 —2cx-b 1 在丄,+oj 上為増函數(shù) f .'*c^ —,即 q: 0 < C<—. |_2 丿 2 2 且中為頁(yè)時(shí)，求交集即得解⑵ ?或/為真，■目嚴(yán)為假‘則P頁(yè)假q勒由⑴ 得 p: OKc^lj q: 0 <C , .'c^O 且 c去 1，.1—I p： c>lj —I q: C > —且匚護(hù) 1. 2 2 分兩種情況進(jìn)行求解最后求并集即可. 試題解析： （1） V®數(shù) 丫=匚*在 R上單調(diào)遞*\0<c<b 即 p； 0<c<l 又£仗）=芒一2供+ 1在「丄,如）上為増函數(shù)…［涇丄，即q： Q<C<-. 匕丿 2 2 幾“且『為鼻時(shí),0心- 2 廠 1 （2） v c>0 且 c豐 1,二 一 p： c>1, _q： c 「且 c工 1. 2 又???）或q”為真，“p且q”為假，「.p真q假或p假q真. 1 1 當(dāng) p 真，q 假時(shí)，{c|0<c<1} n{c | c>丄，且 c工 1} ={c| - <c<1}. 2 2 1 當(dāng) p 假，q 真時(shí)，{c|c> 1} n {c|0<c < - } = ?. 2 1 綜上所述，實(shí)數(shù) c的取值范圍是{c| 1 <c<1}. 2 2. 已知集合 A是函數(shù)y=lg 20-8x-x2的定義域，集合 B是不等式x2 - 2x T - a2 _ 0 （ a 0）的 解集，p : x A, q: x B. （1）若A - B二:：、，求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)若-p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a的取值范圍. 【答案】(1) a _11 ；(2) 0 ：： a _1. 【解析】試題分析：<1)分別求函數(shù)y = + 的定義域和不等式^-2x+l-^>0 (a>0)的 解集化簡(jiǎn)集合釘由/c円=0得到區(qū)間端點(diǎn)值之間的關(guān)系，解不等式組得到趕的取值范圍； < 2)求出對(duì)應(yīng)的X的取值范圍，由祕(mì)是q的充分不必要條件得到對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系,由區(qū)間端點(diǎn)值 的關(guān)系列不等式組求解鼻的范圍. 試題解析： (1) 由條件得：/ = ｛k|-IGck c2｝， B - ｛x|x> 1 + £zq54x<1-x｝ 14-a>2 若Ar^B = ^f貝U必須滿(mǎn)足｛1-«<1O £Z> 0 所兒 4的取值范圍為：4 = 11 (2) 易得：—p : x_2或 x_-1O, ??? 一p是q的充分不必要條件， ??? ｛x|x_2或x z-1O｝是 B 二｛x|x_1 a或x ,-a｝的真子集 1 a乞2 則｛1 -a _ -10，解得：0 ：：：aid a 0 ? a的取值范圍為： 0 ：：： a _1 點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)定義域的求法，考查了一元二次不等式的解法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答 的關(guān)鍵是對(duì)區(qū)間端點(diǎn)值的比較，是中檔題. 3.已知 m = 0，向量 a =(m,3m)，向量 b = (m 1,6)，集合 A -| (x - m2)(x m - 2) =0?. (1) 判斷“ a//b”是“ I： ”的什么條件； 4 4 (2) 設(shè)命題p :若a _ b，則m - -19 .命題q :若集合A的子集個(gè)數(shù)為2，則m = 1.判斷p q , p q , -q的真假，并說(shuō)明理由. 【答案】 (1)充分不必要條件? (2) p q為真命題p q為假命題_q為真命題. 【解析】 (U 若盤(pán) 貝||6m =3/n(w +l),, p m - l(m = 0舍去止時(shí)，a = (1,3), a , 若麗価，則m=±l｝故吃|匠是節(jié) 0®的充分不必要條件一 (2)若：丄Q 則+L) + 18m = 0.AJM = -19(m = O^S),Ap 為真命題一 由(龍—a?)(兀+朋—2) = 0得無(wú)=卅，或工=2—麗,若集合/的子集個(gè)數(shù)為2,則集合/中只有1個(gè)元素， 則加丄=2-砒二朋=1或一2,故嚶為假命題：.pvq為真命題p 2為假命題F為真命題? 【方法點(diǎn)睛】本題主要臥向量平行、垂直的關(guān)系和算子集的個(gè)數(shù)為背景，考查了充分條件、必要條件的判 斷嘆及復(fù)合命題的真假的判斷，注重了對(duì)基礎(chǔ)的考查『難度不大；假設(shè)/是條件，月是結(jié)論；由/可嘆推 出町由啟不可臥推出厶則/是召的充分不必要條件M匚月”若由/不可以推出召，由月可以推出A , 則/是月的必要不充分條件(月匚/“ pv?只要有一個(gè)為真即為頁(yè)，PAG有一個(gè)為假即為假 F的頁(yè) 假性和燈相反. 4.如圖，在四棱錐O -ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱OB _底面ABCD ,且側(cè)棱OB 的長(zhǎng)是2，點(diǎn)E,F,G分別是AB,OD, BC的中點(diǎn)? (I)證明： OD _平面EFG ; (n)求三棱錐O -EFG的體積. 【答案】(I)證明見(jiàn)解析；(n) 1 . 2 【解析】試題分析：(I)連結(jié)比 &S2 ,通過(guò)勾股定理計(jì)算可知- -1 - - - -■■---- 一工 由三線合一得出OD_EF=OD丄FG:.0D 一平面EFG ；( n)根據(jù)中位線定理計(jì)算EG得出北FG是 邊長(zhǎng)為畀W的正三角形，以丄閃為棱錐的底面，則OF為檯錐的高，代入棱錐的體積公式計(jì)算. 試題解析:(1)證明：丁四邊形期仞是邊長(zhǎng)為2的正方形，衛(wèi)是皿的中點(diǎn)，二DE二 又T側(cè)棱的丄鹿面ABCD, ABu面屈CD ；. OB丄AB 又叮 0B = 2rEB = l /. 0^ = 75 :. DE = 0E=y[5. /. AODE是等腰三角形，丁冋是血的中坯:、莎丄0Q* 同理DG = DG = y/5l 、ODG是等腰三角形』丁戸是仞的中點(diǎn)』 FG10D -EFr\FG = F EF.FGci 面 &陽(yáng) 0D丄平面云陽(yáng) (n)側(cè)棱 0B _底面 ABCD, BD 面 ABCD|「OB _ BD t OB =2, DB = 2 2 OD =2 3 由(n)知： OD _平面EFG，二 是三棱錐0到平面EFG的距離 ：'F 分別是 OD 的中點(diǎn)，OF ；：3 , DE =OE 壬f5, EF _ OD , EF= ：2 DG 二 DG = 5, FH _OD|「FG 二 2 t四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形， E,G是AB,BC的中點(diǎn) EG =」2 .三角形EFG是等邊三角形.Sefg「 1 1 Vg _eof =V°_efg Sh = 3 2 5?如圖所示，直三棱柱 ABC -ABG中， AB二BC , ABC =90 , D為棱AB“的中點(diǎn). (I)探究直線 B,C與平面GAD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由; (n)若BBr = AB = 2，求三棱錐C - ADC!的體積. 2 【答案】（I）見(jiàn)解析（n） 2 . 3 【解析】試題分析：＜1）連接月。設(shè)熱CcBClO,則0為場(chǎng)C的中點(diǎn)由三角形中位線定理可得四邊 形B.OGD為平行四邊形』由線面平行的判定定理可得月&II平面＜H）由點(diǎn)匕到平面QG的距 離等于點(diǎn)耳到平面2G的距離，再利用'.等積變換即可得 滄牛 二％七嚴(yán)==學(xué)卜x抽必耳0,,進(jìn)而可得三棱錐C-ADC,的體積? 試題解析：＜ 1 ＞連接RJ 設(shè)B&cBC嚴(yán)6 因?yàn)樗倪呅蜝/CC；為矩形』所以。為E]C的中點(diǎn). 設(shè)e為的中點(diǎn)，連接OG, DG,則0GII肋，且0G=\aB. £ 由已知4月1」1創(chuàng)，&BXD = -AB f 貝iJ^H 0Gf 且Bfi=OG} 2* 所以四邊形色0也＞ 為平行四邊形， 所以斗OIIDGj即B^WDG. 因?yàn)锽Q伉平面GAD , DG u平面GAD，所以B,cL平面GAD . （n）易知BQ 丄平面AA1B1B，由（I）可知， BQL平面C1AD . 所以點(diǎn)C到平面ADCi的距離等于點(diǎn) Bi到平 面ADCi的距離, 11 所以 VC _ADC1 = VB1 _C1AD .因?yàn)?BB| = A]B<| = 2 , 所以 VC 公DCi -VBi _CiAD - VC1 _Bi AD 2 故三棱錐C _ADCj的體積為一. 3 6.如圖，在三棱錐P -ACD中， 1 1 1 1 2 RD ■： BB1 *： B1C1 1 ■：2 ■： 2o 二 3 2 3 2 3 AB , PB _ 底面 ACD , BC _ AD, AC 二 10, PC = . 5 , cos ACP「2 10 (1) 若E為AC上一點(diǎn)，且BE _ AC，證明：平面PBE _平面PAC . (2) 若Q為棱PD上一點(diǎn)，且BQ//平面PAC，求三棱錐 Q- ACD的體積? 1 【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 1 3 【解析】試題分析，〔門(mén)由丹丄平面心⑦可得珂丄AC,又BE±ACy BEr\BD = B ,所以C丄平 面PBE ,根據(jù)面面垂直的判定定理得平面PBE丄平面PAC. (2> 6 AACP中,由余弓逮理得 心二辰 根1®勾股定理可得 AE=3 BC=1^ PB-2^ 由 EQ｝｝平面/MC 可得 BQ / / PA.｝從而得到 弟=峯=釘故BDP ?過(guò)QttQH"曰，交的于則少為三棱錐Q-ACD的高，且 QD QH =〔PR仝◎由三棱錐的體積公式可得樂(lè)g = i “ -I J 試題解析： 證明；T丹TJL平面蟲(chóng)(⑦，彳CU平面川仞 二剛丄AC. 又月E 丄 AC ? BEr\BD = B T J. AC丄平面PBE. :AC u 平面 PAC f 二平面PBE丄平面PAC. ⑵解： 在叢CP中，由余弦定理得 L 廳 AP1 = AC1 + PC1 -2AC PC ^ZACP = \5-2x5j2x^ = \3f 10 .'.AP = ｝ 如玄+月 C*2=1Q AB = 3； 由條件得｛^+^=5.解得｛BC = L AB1 + PB1=131 PB=2. *： BQ H 平面 PAC ,因2<=平面 PAD 平面 PACr\平面 7MZ)= ；M, :.BQ H PA, ■ ■ QP BD 過(guò)。作QHHPB,交AD于E ,則的為三棱錐Q^ACD的高，貝仙=吳=二 4 2 ■/ AD = AB+BD =3 + 1 =斗， .? _1 1 I 「i_l -- 出卜jcq — — x—x—x4xl=： —. ° 3 2 2 3 即三核錐Q - ACD的體積為j. 7?如圖，在三棱柱 ABC -A^Cj 中，C。_ 底面 ABC , ACWbC^2 , AB = 2「2 , CG = 4 , M是棱CCi上一點(diǎn). (I)求證：BC _ AM ? (II )若M , N分別是CCi , AB的中點(diǎn)，求證： CN //平面ABiM n (III )若二面角 A—MB1 —C的大小為一，求線段C1M的長(zhǎng) 4 3 【答案】(I)見(jiàn)解析(II )見(jiàn)解析(III ) C1M =- 2 【解析］(I) 丄平面ABC,月Cu平面應(yīng)C, ACQ丄? AC =BC = 2 ； AB = 2^^ ? :.^ABC 中,AC1 +BC2 = ^ = AB2f :.BC1AC . ACr^CC^C, :.BC±平面 ACC.A,? '：AM u 平面 ACC^ . .\BC1AM ? (II )連接AB交ABi于點(diǎn)P . ???四邊形AA1B1B是平行四邊形， 二P是A1B的中點(diǎn). 又??? M , N分別是CC1, AB的中點(diǎn)， ??? NPLJCM，且 NP二CM , ???四邊形MCNP是平行四邊形， ? CN LJMP . 又CN丘平面AB1M , MP u平面AB1M , ? CN L平面 AB1M . (III )T BC — AC，且 CG _ 平面 ABC , …CA , CB , CC1兩兩垂直。 以C為原點(diǎn)，CA , CB , CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz . 設(shè) CM 二 t，則 C 0,0,0 , A 2,0,0 , B 0,2,4 , M 0,0,t , 二猛551-(0,2,4-/) , 宓二(QO,-£). 設(shè)平面AMB^去向量為n -（兀JN）, 故n MA = 0? n -A£3] =0』 2x—tz = 0 卿有 Jpd■(斗-f)"0 又平面闕］C的法向量為坊=（LO.O）■ ■IT ?■二面角/ 一血］Y的犬小為， 4 . it \m -k| t hFi 護(hù)+d）2+J 解得/=-, ^CM = -t 2 2 3 :.QM = 2-CM = -f ACjtf--. 2 點(diǎn)睛；利用法向量求解空間二面角的關(guān)鍵在于“四破”:第一」破“建系關(guān)”,枸建怡當(dāng)?shù)目臻g直甬坐標(biāo) 系；第二.冊(cè)俅坐標(biāo)關(guān)”,準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法冋量關(guān)”，求出平面的法問(wèn)量』第 ES,破"應(yīng)用公式關(guān)? &如圖，直三棱柱 ABC -ABC中，.ACB=90l AC二BC = 1 AA , D是棱AA上的動(dòng)點(diǎn). 2 A 證明： DC— BC ； 若平面BDC1分該棱柱為體積相等的兩個(gè)部分，試 確定點(diǎn)D的位置，并求二面角 A - BD -C^!的大小. 【答案】（1）見(jiàn)解析（2） 30 【解析】試題分析：＜1）由CQ丄平面血C得qc丄BC,再由ZACB =90\得月C丄平面ACC^t 所cue丄oq j⑵根據(jù)割補(bǔ)法求 忌叱+忌皿，根據(jù)體積為三棱柱一半，求得D為中點(diǎn)畀取4覽 的中點(diǎn)根據(jù)垂直關(guān)系可得ZQD0是二面角△一月D -q的平面角.最后解三角形可得二面角 4-肋-q的大小 試題解析：解:（I） vqc丄平面曲c, c】c丄月c 又 ZACB = 90\ 即 BC YAC.ACr\ QC = C :.BC丄平面ACC^, 又 BCjC 平面 ACC\A“ :. BC A/JCi j 111 S BCC1 AC SBCC1B1 AC V 3 6 3 、 亠 1 依題意 Vdjc® ■ Vd-ABC Vabc - A1B1C1 , 1 2 1 1 1 1 -vd 4bc ■ vabc 占bg ' S abc AD， S abc AA1 = AD， AAi , D 為 AA1 中點(diǎn); 6 3 6 2 (II) VD _BCC1 BCC[ B] ABC ^A] B] C] 設(shè)平面BC1D的一個(gè)法向量為 * 二 x,y,z ,則 BD 二 1,-1,1 ,琵二-1 ,0,1 （法 1）取AB］的中點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)0作OH _ BD于點(diǎn)H，連接GOQH AC 1 — B]Ci =■ C1O — A]B],面 A|B]Ci —面 ABC =■ C〔O —面 A]BD OH _ BD = G H _ BD ,得點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，且.CQO是二面角A - BD - C1的平面角. 設(shè) AC^a，則 GO 二 2a,C1^ ；2^2C1^ GDO =30 ,得二面角的大小為 30 ° . 2 （法2）以C為空間坐標(biāo)原點(diǎn)， CA為x軸正向、CB為y軸正向、CC1為z軸正向，建立空間直角坐 標(biāo)系，設(shè) AC 的長(zhǎng)為 1，則 A（1 0,0 \ B（0 10 y D（1 0 1、A（1 0 2）、BjO 12）、G（o 0 2 ）? 作AB中點(diǎn)E ,連結(jié)CE ,則CE — AB ,從而CE —平面ABD ,平面A^D的一個(gè)法向量 n BD = 0二 x-y z=0 n，dc1=o= -x，z=o ，令 z三 1,得 x=1,yW2 , . N = 1,2,1 ?” cos日 TcosE牛雷; 二 J _ I 2」_V3 6 2 2 故二面角 A -BD -C1為30 ° . 點(diǎn)睛：(1)探索性問(wèn)題通常用“肯定順推法”， 將不確定性問(wèn)題明朗化?其步驟為假設(shè)滿(mǎn)足條件的元素 (點(diǎn)、 直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出, 列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素 (點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素 (點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求 解探索性問(wèn)題常用的方法 9 .已知坐標(biāo)平面上點(diǎn) M x, y與兩個(gè)定點(diǎn) M! 26,1 , M2 2,1的距離之比等于5. 31 (1) 求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形； (2) 記(1)中的軌跡為C,過(guò)點(diǎn)A -2,3的直線l被C所截得的線段的長(zhǎng)為 8，求直線l的方程. 2 2 【答案】(1) x -1 y -1 25 (2) X = —2，或 5x-12y 46 = 0 . 【解析】【試題分析】＜1)運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立方程進(jìn)彳訛簡(jiǎn)*⑵借助直線與圓的位蠱關(guān)系，運(yùn) 用圓心距、半徑、弦長(zhǎng)之間的關(guān)系建立方程待定直線的斜率，再用直線的點(diǎn)斜式方程分析求解； ⑴由題鼠胥勞止 J(蓋一逝十 J任—2『+(y— 化簡(jiǎn)，得x2+y2-2x-2y-23=0 ? 即(x-l)a+(j;-l/=25, 二點(diǎn)M的軌跡方程是(x-1)1 1)1 = 25 軌跡是以〔“)為圓心，臥$為半徑的圓 (2)當(dāng)直線f的斜率不存在時(shí)，l:x=-2, 此時(shí)所截得的線段的長(zhǎng)為2^-32 =8 , 上兀=—2符合題意? 當(dāng)直線』的斜率存在時(shí)，設(shè)J的方程為 y-3 = A;(x+2)j 艮卩Ax—y+2fc+3二0， 由題意，得 解得—2. 12 5 23 二直線』的萬(wàn)程為2-x-r+^=o. 12 6 即 5x-12j + 46=0. 綜上』直線J的方程為 x= —2,或5兀一12戸十46 =0. 點(diǎn)睛；軌跡方程的探求是高中數(shù)學(xué)中重要的題型之一，本題中的第一問(wèn)是典型的到兩走點(diǎn)距離之比為定值 的點(diǎn)的軌逝的探求。求解時(shí)直接運(yùn)用兩點(diǎn).間距高公式建立方程，然后再兩邊平方進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而獲得答案; 第二問(wèn)也是傳統(tǒng)的直線與圓相交的冋題題型。求解時(shí)先運(yùn)用點(diǎn)斜式建立直線的方程，然后運(yùn)用圓心距、半 徑、弦長(zhǎng)之間的關(guān)系建立方程待定直線的斜率，再用直線的點(diǎn)斜式方程使得問(wèn)題獲解* 10.已知圓C的圓心在直線2x ^0上，且與另一條直線 x 相切于點(diǎn)A 2,-1 ? (1) 求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 已知P 5,4，點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段 PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程? 【答案】(1)圓 C 的方程為(x - 1) 2+ (y+2) 2=2;(2) (x - 3) 2+ (y - 1) 2= 1 . 2 【解析】試題分析：(1)由題意可知所求圓的圓心在經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，且與直線x 垂直的直線上，又所 求圓的圓心在直線 y = -2x上，解方程組求出圓心，求出半徑，即 AC的長(zhǎng)，可得圓的方程； 5+x v 亠 4 (2)設(shè) M (x, y), ( Xo, Vo)，則有 =x, = y= Xo = 2x -5, y° = 2y -4 代入圓 C 即可 2 2 得到線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程? 試題解析：(1)設(shè)圓C的方程為(x- a) 2+ (y - b) 2=r2, 根據(jù)題意得: a=l * b=-2 2 解得：W二2, 則圓C的方程為(X- 1) 2+ (y+2) 2= 1 2 5+x v +4 C方程得: (2)設(shè) M(x, y), B(xo, yo),則有 =x, =V= x0=2x — 5,v0 = 2y — 4代入圓 2 2 (2x - 5) 2+ ( 2y - 4) 2=8，化簡(jiǎn)得(x-3) 2+ (y- 1) 11 ?已知與曲線 C : x2 y2-2x-2y *1=0相切的直線I，與x軸，y軸交于 代B兩點(diǎn)， O為原點(diǎn), OA = a , OB = b, ( a:>2,b:>2). (1) 求證：：I與C相切的條件是： a-2 b-2 =2. (2) 求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程； (3) 求三角形 AOB面積的最小值. 【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) x -1 y -1 = ^(x 1,y 1) ； ( 3) 3^2 ? 【解析】試題分析：(1)寫(xiě)出直線的截距式方程，化為一般式，化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐 標(biāo)和半徑，由圓心到直線的距離等于半徑得到曲線C與直線1相切的充要條件； <2)設(shè)出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到2 b與AB中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系』代入(1)中的條件得線 段加中點(diǎn).的軌跡方程.(3)因?yàn)榫砼cb都大于2,且三角形加B対直線三角形，要求面積的最小值即要求 ab的最小值，根據(jù) ⑴ 中直線1與圓相切的條件(眾)(b-2)=2解出ab,然后利用基本不等式即可求出 ab最4和愷且經(jīng)當(dāng)盤(pán)與b相等，求出此時(shí)的a與b即可求出面積的最小值. 試題解析： ⑴圓的圓心為(口)，半徑為1.可以看作是RTMOS的內(nèi)切圓* 內(nèi)切圓的半徑二 OA.十 OB — AB 2 2 2 a b = a b -2 即 ab - 2a - 2b 2 = 0 , a-2 b-2 =2 . ⑵線段AB中點(diǎn)x,y為a ,b (2 2丿 1 ??? x -1 y-1；= (x 1,y 1) ⑶ ab二2a二2b 2=0 , ab 2 = 2 a b j〉4 ab , 解得 Jab 占2 , S遇ob = — ab , 2 ab 一 3 2 2 , 2 AOB最小面積3 2 2 ? 點(diǎn)睛：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓位置關(guān)系的判斷，點(diǎn)到直線的距離公式的用法，解題的關(guān) 鍵是對(duì)等式進(jìn)行靈活變換，利用基本不等式求函數(shù)的最 值? 12 ?已知?jiǎng)訄A— ‘ 巧與圓；：；'一+「+ "? 門(mén)交于? 、兩點(diǎn), 且這兩點(diǎn)平分圓 '的圓周. (1) 求動(dòng)圓?的圓心的軌跡方程； (2) 求圓：半徑最小時(shí)的方程. [答案】(1) |二?：)’=—；；；' ； ；：：； (2 )[—「：「M 丨門(mén)‘=二. 【解析】試題分析：(1)由題意得圓尤込〔7-耳為弦肋的中點(diǎn)，故\AM\2 = \AN\2^\MN\\由此可得點(diǎn)M 的軌跡方程；⑵由⑴知圓M的半徑= Vn= + 1,故求出畔的值即可'由¥(m-Fl)3 = -2(^ + 2)>0, 所如咗-2,從而?濟(jì)FT工屈 所以爭(zhēng)=-6 m 時(shí)半徑最小，由此可得解。 試題解析： 圓就方程即為。-m)3 +(y-n)z = n" 4-1, 圓冋方程即為(x + l)3 + (y + l)a = 4. ⑴ 由題意得，圓心負(fù)7-1)為弦汕的中點(diǎn)， 在 RtAAMN 中, ??? I心廠-，口■訂' .?.加一L J + 人(* ) 故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ?門(mén)= (2)由(* )式，知 (1丁=一'十｝乙 >.。 于是有 ， 而圓 半徑 - 1 ■''■■熙 .?.當(dāng)時(shí)，二？ 愿二■' 所求圓的方程為—'、■ 2 2 13 ?已知橢圓 務(wù)+當(dāng)=1(a a b > 0)的右焦點(diǎn)為F2(3,0 )，離心率為e. a b ⑴若「23 求橢圓的方程; O在以 MN為直徑的圓上，且 求k的取值范圍 【答案】⑴ 2 2 12 3 h ；(2) (2)設(shè)直線y =kx與橢圓相交于 A, B兩點(diǎn)， M , N分別為線段 AF2, BF2的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn) 【解折】(1)由g票 右焦點(diǎn)為罵的，求出心 S可得片即可求出橢圓的方程；⑵聯(lián)立直線 y^kx與橢圓的方程，消去八 得到關(guān)于卞的一元二次方程，設(shè)越耳耳)』〔£乃)，可得根與系數(shù)的關(guān) 系,根擔(dān)題意得0M丄CW,易知，四邊形OMF.N為平行四邊形』則甥丄BF2J結(jié)合向量數(shù)量積公式 R —- < e ,即可求出比的取值范圍. 2 2 由題意得瞪=3, — - g、 a 2 「+& = 2-J3 . XV宀滬+已 .?? b2 = 3. 2 2 ?I橢圓的方程為—+— =1 . 12 3 得(滬 + )云—= 0 * y=kx, = F7PF 設(shè)蟲(chóng)(西J1),月(兀1?巾).所嘆西+花=0,碼可 依題意，0M丄ON ,易知，四邊形OMF2N為平行四邊形，所以碼丄鷗. -碼《 =(碼一 3,貯)/罵2=(花一玄》2)， 二 F^A F^B =(兩 一3)(冷 一3)+”旳=(1 + 2)斗Xj + 9 = 0? p"才—9)(1 +護(hù)) +9=0, 即一；2、 農(nóng)+(/-刃 將其整理"^^亠 懸? ?g ,\2^3<a<3^2 f 12<o2<18. 點(diǎn)睛：在圓錐曲線中研究最值或范圍問(wèn)題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首 先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值?在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下方面考慮： ① 利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； ② 利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系； ③ 利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍 2 2 14 ?已知橢圓C： X2 ' =1 a2 b2 (a b 0)的離心率為 ■—3，且過(guò)點(diǎn) M (4,1). 2 (1)求橢圓C的方程; (2)若直線I : y =x ? m ( m = -3)與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，記直線 MP, MQ的斜率分別為k1, k2, 請(qǐng)說(shuō)明理由 試探究ki k2是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是, 2 2 【答案】 ⑴ 二+_L=1（2） ki +k2為定值，該定值為0 20 5 【解析】試題分析；（1〉由橢圓的離心率公式，求得將M代入橢圓方程』即可求得包和b的值'求 得橢圓方程；＜2）將直線X代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可取得 ^=0? 試題解析； 解得宀筑護(hù)“宀卩故橢圓C的方程為和召詡 （2） ki k2 =0,下面給出證明：設(shè) P x1,y1 ， Q x2,y2 ， 2 2 將yWx ? m代入x - y =i并整理得 20 5 2 2 5x 8mx 4m -20 二 0， 2 2 -8m -20 4m -20 戶(hù) 0，解得 一5 ： m 5，且 m = -3. 4m2 -20 X[ X? 5 則人 k廠『2」= yi_i X2—4 y2-i xi-4 花 _4 x2 -4 分子=% m -1 X2 -4〕亠〔x2 m -1 xi -4 = 2x1X2 亠〔m-5 xi X2 】；-8 m-1 = 2 24m _20 8mm「5 -8m-i =0， 故ki k2為定值，該定值為 0. 15 ?已知圓Ci : 2 2 x y=4過(guò)圓上任意一點(diǎn) D向x軸引垂線垂足為 Di （點(diǎn)D、Di可重合），點(diǎn)E為DDi 的中點(diǎn). （i）求E的軌跡方程; （2）若點(diǎn)E的軌跡方程為曲線 C，不過(guò)原點(diǎn) O的直線l與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，滿(mǎn)足直線OP， PQ， OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求 LJOPQ面積的取值范圍 2 【答案】（1） 丁 + y2=1 ; （ 2） LIOPQ面積的取值范圍為（0,1）. 【解析】試題聳析：⑴設(shè)EOjL則D（兀2”），代入圓6 < +尸=4即可得解； （2）由題意可知，直線J的斜率存在且不為0 ,故可設(shè)直線『的方程為y = kx+m 5工0片與橢圓聯(lián)立 得0+訶）壬十&砒+卓（/—1}=0,設(shè)尸（心》） Q（馮宀），由直線"?PQ, 52的斜率 依次成等比數(shù)列，生也=電也空込=叭可得宀匕再由=斗， 碼冷 也掄i 4 /十F I瑰|=「匸孑B—勺|,計(jì)算屯網(wǎng)=如盛1即可. Jtr 試題解析： ⑴設(shè)E（x.y）,則Q仗2y）,則有:x1+（2yf = 4,整理得：羊+宀】? 4 （2）由題意可知，直線I的斜率存在且不為 0，故可設(shè)直線I的方程為y = kx ? m （ m = 0），P捲，如， , y =kx +m 由｛x2 4y2-4=0 Q X2，y2 ， 消去 y 得 1 4k2 x2 8kmx 4 m2 -1 = 0 -8km 2 1 4k2 4 m2 -1 X| X2 = 2 1 4k 則.;.=64k2m2 -16 1 4k2 m2 -d =16 4k2 -m2 1 0，且 x< x2 = 2 2 故 y1 y2 = kx1 m kx2 m = k X1X2 km X1 X2 m OP， PQ， OQ的斜率依次成等比數(shù)列， y1 y2 2 ] "i "i 2 k x1x2 km x< x2 m 2 k X1 X2 x1x2 因?yàn)橹本€ 2 2 8k m 2 即 2 m 1 4k 2 1 =0，又 m^0，所以 k2 =? 4 由于直線OP， OQ的斜率存在，且0，得0 ：：： m2 ：：： 2且m2 =1，設(shè)d為O到直線I的距離, Iml , J64k2m2 _16(m2 _1 丫1+4k2 \ d = J 丨,|PQ = Ji +k2|^ —x2 = Ji +k2 2 Tn 1 ^4k 4 1 k2 4k2 -m2 1 - 1 +4k2 則Sopq =1d|PQ|=Jm2(2—m2 )，所以LIOPQ面積的取值范圍為(0,1). 點(diǎn)睛：在圓錐曲線中研究最值或范圍問(wèn)題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首 先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值?在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下方面考慮： ① 利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； ② 利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系； ③ 利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的 取值范圍 (1 16 ?設(shè)點(diǎn)F i0,，動(dòng)圓A經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且和直線y 相切，記動(dòng)圓的圓心 A的軌跡為曲線C . I 4丿 4 (1) 求曲線C的方程； (2) 設(shè)曲線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t t 0，過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作 PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N .若MN是C的切線，求t的最小值? 2 2 【答案】(1) X =y ； (2) tmin 【解析】試題分析：(1)根據(jù)拋物線的定義，求出拋物線的解析式I卩可；(歷求出直線Pg的方程，求出胚 的坐標(biāo)'聯(lián)立方程組』求出”的坐標(biāo)，求出直線冊(cè)的斜率/得到關(guān)于啲不等式，求出#的范圍即可. 試題解析：⑴ 過(guò)點(diǎn)/作直線初垂直于直線嚴(yán)-丄于點(diǎn)由題意得\AF\ = \AN\r 4 所以動(dòng)點(diǎn)£的軌跡是以F為焦點(diǎn).直線戸=-丄為準(zhǔn)線的拋物線? 4 所以抓物線C的方程為兒 <2)由題意知，過(guò)點(diǎn)卩(『/)的直線鬥3斜率存在且不為6設(shè)其為凱 則血：p—，二風(fēng)兀—小 當(dāng)J = 0, = 一"+肚 聯(lián)立方程卩一，整理得：7-Ax+r（fc-r}=0. ^ = y 即：（兀一巧［x—（A:—切=0』解得jc =『或jc =上一『. 二19（無(wú)一£（無(wú)一“） 而QN丄QP, ：■直線收斜率為一二 k ［乂一 （上一f）］, 曲7心 整理得：2+丄兀一丄(JtT)_(疋一h = 0, k k 即：kx2 x — k _t k -t V-0 , ||kx k k -t 1 ^x— k —t = 0 , — k(k—1)+1 解得：x =… ，或x = k- t. k ??? n - .2 k k -t 1 k k -t 1 , 2 k k kNM _k k -t 1 2 k2 k k -t 1 _ -t2 kt k k 2 2 k2 -kt 1 2 2 k t-k-1 而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率: MN是拋物線的切線, ._ _-2k(k-t)-2 k 切 一y I k k」1 一 x k 2 2 k - kt 1 _ -2k k - t -2 k t2 -k2 -1 整理得 k2 tk ? 1 -2t2 =0 , 2 」 2 2 2 2 ???#：=t-4 1-2t -0 ,解得 t （舍去），或 t- ,? tmin . 3 3 3 一 一 f 3） 17 .已知橢圓E中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò) A -2,0卜B（2,0卜C.1, 一 三點(diǎn). I 2丿 ⑴求橢圓E的方程; ⑵ 在直線x二4上任取一點(diǎn)T 4,m m = 0 ,連接TA,TB ,分別與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，判斷直線 MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是,求出該定點(diǎn).若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由? 2 2 【答案】（1）X y 1 ；（ 2） 1,0 4 3 【解析】試題分析：由于榊圓過(guò)兩個(gè)不同的點(diǎn)，故可設(shè)橢圓方璨為加+呷丄=1伽亠0』:>0沖工嘰 代 入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可以橢圓的方程.⑵的直線/T刁r均是過(guò)頂點(diǎn)的直線，故通過(guò)聯(lián)立方程組可以得到 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)桶圓及其動(dòng)點(diǎn)T的對(duì)稱(chēng)性可以知道走點(diǎn)如果存在，則必定在兀軸上』猜出罡點(diǎn)的 坐標(biāo)為D（\. 0）,最后禾卿霜率證明MD N三點(diǎn)共練 <1)設(shè)橢圓方程為 mx^ + pry1 =\(m > 0;w >0±m^n), > m = — i 2 9 ，計(jì)算得出｛ 4 ,所臥橢圓方程為蘭十丄 m^r-n=\ 1 4 3 的 H= — 3 (2)直線 AT ： y = m x 2，直線 BT : y = m x - 2，聯(lián)立｛ 1,扌）代入橢圓方程得到 m o y= 6 x 2 3x2 4y2 =12 2 2 2 2 m 2 7 x 4m x 4m -108 =0 , 所以-2 Xm = 2 4m -108 m2 27 ，故Xm 54-2m2 m2 27 ，代入 叫x 2得到y(tǒng)m 18m m2 27 ，因此 2 54-2m 18m m2 27 ' m2 + 27丿 .同理 2 2m-6 -6m m2 +3，m2+3 , 6 2 D 1,0， 18m 當(dāng)m = -3時(shí), k * 27一° MD 18m 6m -6m -0 54-2m2 , -1 2 2 2 7 -3m 9 一 m kND - m2 3 2 m 27 亦-6_1 6m 9 - m2 ，所以M , D, N 三點(diǎn)共線; 當(dāng)m =： 3時(shí), xm _ 1, xn - 1 ，M ,D, N三點(diǎn)共線; 綜上, M , D, N三點(diǎn)共線也就是 MN過(guò)定點(diǎn)D . 點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，如果已知?jiǎng)又本€過(guò)定點(diǎn)且與圓錐曲線有另一個(gè)交點(diǎn)，那么通過(guò)韋 達(dá)定理可以求出另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)并用斜率表示它，從而考慮與該點(diǎn)相關(guān)的一些定 點(diǎn)定值問(wèn)題?另外，我 們用先猜后證的策略考慮定點(diǎn)定值問(wèn)題，因此這樣可以使得代數(shù)式變形化簡(jiǎn)的目標(biāo)更明確 2 2 18 ?已知橢圓x2 y2 =1(a ■ b ■ 0)的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)組成的四邊形為正方形，且橢圓過(guò)點(diǎn) a b (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)四邊形 ABCD的頂點(diǎn)都在橢圓上，且對(duì)角線 AC、BD過(guò)原點(diǎn)O，若k ‘k -丄 AC kBD —一 2 a ，求證：四 b2 1+2A：' ffl1 —4 m3 — "五廠解得4宀2"則 ?加2如一宀, 試題解析: 4 2 (1)由題意 b =c , 2 - 2=1，又 a b 2 2 2 2 a 二 b c ,解得 a =8 , b2 =4 , 2 2 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x y 1 8 4 (2)設(shè)直線AB的方程為y = kx ? m , 設(shè) A Xi, yi , B X2, y2 , 邊形ABCD的面積為定值. X y2 【答案】(1) 8 4 =1 ；(2)見(jiàn)解析. 【解析】試題分■析：⑴由題竜4 + 又/"+宀 解得只 酹即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程⑵ 設(shè)直線血的方程為了=總+叭設(shè)衛(wèi)(耳時(shí)，占(耳乃山聯(lián)立｛廠孑：： 得 JT +2j?二& (1十燈)壬十+ 2朋8=0,寫(xiě)出韋達(dá)定理，因?yàn)閗g k懾二 1 1 2/m1—E JM3 — 4 卜 fem r +m — s- 1 + 2P 1+2/c1 y 二 kx m, /曰 2 2 2 聯(lián)立｛ 2 2 得 1 2k x 4kmx 2m -8 = 0, x 2y 8, 2 2 2 2 2 .■:二 4km;「4 12k 2m -8 ;=8 8k -m 4 i, 0 , -4 km 1 2k2 x1x2 2m2 —8 2- 1 2k x| x2 = a 1 2 y”2 1 = — x1x2 2 2 1 2m -8 >■ 2 2 1 2k 2 . m - 4 2 1 2k 2 2 y1y^ kx1 m kx2 m = k x1x2 km % x2 m 2m2 -8 1 2k2 km -4km 1 2k2 m2 _ m2 —8k2 -1 2k2 m2 -4 m2 -8k2 1 2k2 一 1 2k2 2 2 2 2 2 -m -4 = m -8k，二 4k 2 = m , 設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則 1 s也ob =2|ab| d =1J1 +k2 ］禺—x2 2 2 X2 —4x1X2 m 1 k2 |m|『"km j 一 21 2k2 64 k2 2 16(m —4) 2 V 2 m 2 m ABCD的面積為定值. ,2m2 -8 -1 2k2 = 2\4k2 _m2 4=2 2 , …SabCD =4S AOB =8.2，即四邊形 19 ?已知拋物線C ：x2 =4y的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為 Q ,過(guò)點(diǎn)Q的直線I與拋物線C相交于不 同的RB兩點(diǎn)? (1) 若|AB|=4j15，求直線I的方程； (2) 記FA、FB的斜率分別為k2，試問(wèn)：k1 k2的值是否隨直線I位置的變化而變化？證明你的 結(jié)論? 【答案】(1) I : y ='2x -1 ; (2) k1 k2的值不隨直線I的變化而變化，證明見(jiàn)解析? 【解析】試題分析 ⑴ 設(shè)7：y = Ax-l?代入拋物線的方程，利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合|期卜ML艮阿求解 疋的值，得出直錢(qián)的方程； <2)利用斜率公式，結(jié)合韋達(dá)定理，由此可得到池+冏為定值. 試題解析: (1) T Q 0, -1且直線斜率存在，.??可設(shè)l:y=kx_1 , 代入 x?=4y 得: X?—4kx+4=0，令也=161?—16 a 0二 |k|n1, 設(shè) A Xi,物,B x2, y?，二 Xi x? = 4k,XiX2 = 4 , ??? |AB| = J(1 +k 2 若直線|2與拋物線C相交于A, B兩點(diǎn)，與圓M : x-a y =1相交于D, E兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原 )(xi _X2 2 = J(1 + k2 )[(xi +X2 , _4^X2 I =J(1 +k2 J(16k2 -16 ) = 4Jk4 —1 , ??? AB|=4/15, ? k4-1 =15n k =三乏(-°°,-1 卜(1，兄)， ? l : y = 2x二 1 (2) v F 0,1 ,? ki k2/" y2" / yi" Xi y2" X1 x2 音x2 X2 (kxi-2 )+為(kx2-2 ) 20x2—2(xi+X2 ) 8k—8k 0 0 , x-iX2 x-iX2 4 ?- ki k2的值不隨直線I的變化而變化 點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)公 式，以及二元一次方程中根與系數(shù)的關(guān)系等關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸 思想，試題綜合性強(qiáng)，屬于中檔試題，解答中把直線與圓錐曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解 答的關(guān)鍵. 2 5 20 ?已知拋物線C: y =2px(p 0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn) P 2,t到焦點(diǎn)F的距離為 ? 2 QF ，過(guò)點(diǎn)M , P的直線li與拋物線相交于另一點(diǎn) Q，求一 |PF| (1) M -A 的值; (2) 0A—0B，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù) 使得|de|的長(zhǎng)為定值？若存在，求出 a的值；若不存在，請(qǐng) 說(shuō)明理由. 【答案】(1)丄；(2) a=2時(shí)， DE =2 , |DE|的長(zhǎng)為定值. 4 【解析】試題分析=（1）根擔(dān)拋物線的性質(zhì)可得尸到焦點(diǎn)F的距離為2 + |可得出p,求出4的方程，聯(lián) 立拋物屯，故而可得|GF|f \PF\f即可得最后結(jié)果K2）設(shè)出直線AB的方程為工二即+用，設(shè)4（西J］） 月（花』』,與拋物線方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理得比+旳,劃比，由0A丄0月』得 （①+擷）（切+朋）+鬥旳"，將M 代入可得翩的值?利用直線載圓所得弦長(zhǎng)公式得 DE =2」F- 耳尋，故當(dāng)« = 2時(shí)滿(mǎn)定題育. 試題解析：⑴T點(diǎn)尸（2衛(wèi)…遼十彳二*解得p = l, 故拋物線C的方程知 /=2x?當(dāng)“2時(shí). R的方程対廠豐+審 聯(lián)立y2 = 2x可得_> 又：回|=勺斗嚴(yán)E+寧二瞬 一 — 1 8 2 _ 1 2+- 4 2 (2)設(shè)直線AB的方程為x = ty ■ m，代入拋物線方程可得 y2 -2ty -2m = 0 , 設(shè) A Xi, yi B X2,y2，則 yi y^2t , yiy^ -2m，① 由 OA _ OB得：ty1 m ty2 m i亠 ％y2 =0 , 整理得 t2 1 y-iy2 tm y1 y2 m2 = 0，② 將①代入②解得 m =2 ,???直線丨：x = ty 2 , ???圓心到直線 l的距離d -」；一2 DE =2, 12 2 (a-2) 1 t2 顯然當(dāng)a=2時(shí)，|DE|=2 , |DE|的長(zhǎng)為定值. 點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，難度中檔；拋 物線上點(diǎn)的特征，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，即為 x^ P，兩直線垂直即可 2 轉(zhuǎn)化為斜率也可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為 0,直線與圓相交截得的弦長(zhǎng)的一半， 圓的半徑以及圓心到直線的距離可 構(gòu)成直角三角形