高等數(shù)學(xué)：第四章 第1節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)

2在微分學(xué)中：在微分學(xué)中：1)( xx211)(arctanxx反過來：反過來：x11)(cx )1ln(x5sec)(2cx 5tan51復(fù)雜，怎樣求？復(fù)雜，怎樣求？問題：如果右端函數(shù)較問題：如果右端函數(shù)較?tan2x ）（如如3例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .一、原函數(shù)與不定積分的概念4原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，簡言之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C那那么么在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF，使使Ix ，都有，都有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？5關(guān)于原函數(shù)的說明：關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若）若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf則則CxGxF)()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C證證 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）CCxGxF)()(即即窮多個。窮多個。的原函數(shù)存在，則有無的原函數(shù)存在，則有無：如果：如果結(jié)論結(jié)論)(1xf的的全全體體原原函函數(shù)數(shù)。為為的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則是是若若結(jié)結(jié)論論)()()()(2xfCxFxfxF6任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函數(shù)函數(shù))(xf的的帶有任意帶有任意 常數(shù)項的原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .7例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx求不定積分。求不定積分。的全體原函數(shù)的過程叫的全體原函數(shù)的過程叫求求)(xf8例例3 3 設(shè)曲線通過點（設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy9函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結(jié)論：結(jié)論： 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.10實例實例 xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 二、 基本積分表11基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx簡寫為簡寫為.ln Cxxdx12 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 13 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax shxdx)(14;Cchx chxdx)(15;Cshx 14例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）Cxdxx 11 155例例dxxx31dxx34Cx134134Cx3136例例dxx5Cx5ln516 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、 不定積分的性質(zhì)17 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k例例7 7 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 18例例8 8 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 19例例9 9 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 20例例1010 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說明：說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.21例例 1111 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點在點)(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點為點為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程. 解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy2212例例dxxx22sincos1dxxxxx2222sincoscossindxxdxx22sin1cos1Cxxcottan13例例dxxxxcossin12sindxxxxxxxcossin)cos(sincossin222dxxxxxcossin)cos(sin2Cxxcossin23基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxF 不定積分的概念：不定積分的概念： CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系四、 小結(jié)24練習(xí)與思考題1、若)(xf是xe的原函數(shù) , 則xxxfd)(ln提示提示:已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10252、若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導(dǎo)函數(shù)為,sin x則)(xf的一個原函數(shù)是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx263、已知、已知22221d1d1xxBxxAxxx求 A , B .解解: 等式兩邊對 x 求導(dǎo), 得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA