湖南省邵陽市2018年中考數(shù)學(xué)提分訓(xùn)練 命題與證明（含解析）

2018年中考數(shù)學(xué)提分訓(xùn)練: 命題與證明 一、選擇題 1.下列命題是真命題的是（   ） A. 有一個角是直角的四邊形是矩形                         B. 有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 C. 有三個角是直角的四邊形是矩形                         D. 有三條邊相等的四邊形是菱形 2.命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是(     ) A. a<b                                     B. a≤b                                     C. a＝b                                     D. a≥b 3.下列定理有逆定理的是(   ) A. 同角的余角相等                                                  B. 線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等 C. 全等三角形的對應(yīng)角相等                                    D. 對頂角相等 4.小柔要榨果汁，她有蘋果、芭樂、柳丁三種水果，且其顆數(shù)比為9：7：6，小柔榨完果汁后，蘋果、芭樂、柳丁的顆數(shù)比變?yōu)?：3：4，已知小柔榨果汁時沒有使用柳丁，關(guān)于她榨果汁時另外兩種水果的使用情形，下列敘述何者正確？（   ） A. 只使用蘋果                                                         B. 只使用芭樂 C. 使用蘋果及芭樂，且使用的蘋果顆數(shù)比使用的芭樂顆數(shù)多          D. 使用蘋果及芭樂，且使用的芭樂顆數(shù)比使用的蘋果顆數(shù)多 5. 下列命題中，假命題有（   ） ①兩點之間線段最短；②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上； ③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④垂直于同一直線的兩條直線平行； ⑤若⊙O的弦AB，CD交于點P，則PA?PB=PC?PD． A. 4個                                       B. 3個                                       C. 2個                                       D. 1個 6. 已知下列命題： ①若 ＞1，則a＞b； ②若a+b=0，則|a|=|b|； ③等邊三角形的三個內(nèi)角都相等； ④底角相等的兩個等腰三角形全等． 其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是（   ） A. 1個                                       B. 2個                                       C. 3個                                       D. 4個 7. 下列說法正確的是（   ） A. 要了解某公司生產(chǎn)的100萬只燈泡的使用壽命，可以采用抽樣調(diào)查的方法          B. 4位同學(xué)的數(shù)學(xué)期末成績分別為100、95、105、110，則這四位同學(xué)數(shù)學(xué)期末成績的中位數(shù)為100 C. 甲乙兩人各自跳遠10次，若他們跳遠成績的平均數(shù)相同，甲乙跳遠成績的方差分別為0.51和0.62          D. 某次抽獎活動中，中獎的概率為 表示每抽獎50次就有一次中獎 8.應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用(   ) ①結(jié)論的否定；②已知條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論． A. ①②                                  B. ②③                                  C. ①②③                                  D. ①②④ 9.某班有20位同學(xué)參加圍棋、象棋比賽，甲說：“只參加一項的人數(shù)大于14人” ；乙說：“兩項都參加的人數(shù)小于5人” .對于甲、乙兩人的說法，有下列四個命題，其中真命題的是（    ） A. 若甲對，則乙對             B. .若乙對，則甲對             C. 若乙錯，則甲錯             D. 若甲錯，則乙對 10.下列命題中，假命題是（   ） A. 凡是直角都相等               B. 對頂角相等               C. 不相等的角不是對頂角               D. 同位角相等 11. 一個大矩形按如圖方式分割成九個小矩形，且只有標(biāo)號為①和②的兩個小矩形為正方形．在滿足條件的所有分割中，若知道九個小矩形中n個小矩形的周長，就一定能算出這個在大矩形的面積，則n的最小值是                            （       ） A. 3                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6 12. 如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BC分別與⊙O相交于點D，E，連接DE，現(xiàn)給出兩個命題： ①若AC=AB，則DE=CE； ②若∠C=45°，記△CDE的面積為S1 ， 四邊形DABE的面積為S2 ， 則S1=S2 ， 那么（   ） A. ①是真命題②是假命題                                       B. ①是假命題②是真命題 C. ①是假命題②是假命題                                       D. ①是真命題②是真命題 二、填空題 13.把命題“對頂角相等”改寫成“如果 那么 ”的形式：________． 14.命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是________命題.(填“真”或“假”) 15. 下列四個命題中：①對頂角相等；②同旁內(nèi)角互補；③全等三角形的對應(yīng)角相等；④兩直線平行，同位角相等，其中假命題的有________（填序號） 16.寫出命題“若a=b，則a2=b2”的逆命題________ 17.寫出命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的一個反例：________ 18.命題“如果兩個角都是直角,那么這兩個角相等”的逆命題________. 19. 下面三個命題： ①若 是方程組 的解，則a+b=1或a+b=0； ②函數(shù)y=﹣2x2+4x+1通過配方可化為y=﹣2（x﹣1）2+3； ③最小角等于50°的三角形是銳角三角形， 其中正確命題的序號為________． 20.用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.正確順序的序號排列為________ 三、解答題 21.已知命題：“如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，則AB∥DE．”判斷這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請給出證明；如果是假命題，在不添加其他輔助線的情況下，請?zhí)砑右粋€適當(dāng)?shù)臈l件使它成為真命題，并加以證明． 22.判斷下列命題是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個反例． （1）等角的余角相等； （2）平行線的同旁內(nèi)角的平分線互相垂直； （3）和為180°的兩個角叫做鄰補角． 23.嘉淇同學(xué)要證明命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是正確的,她先用尺規(guī)作出了如圖所示的四邊形ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證.已知:如圖,在四邊形ABCD中,BC=AD, AB=__①___. 求證:四邊形ABCD是___②___四邊形. （1）在方框中填空,以補全已知和求證; ①________；②________. （2）按嘉淇的想法寫出證明. （3）用文字敘述所證命題的逆命題為________ 24.如圖，已知在△ABC中，∠1=∠2． （1）請你添加一個與直線AC有關(guān)的條件，由此可得出BE是△ABC的外角平分線； （2）請你添加一個與∠1有關(guān)的條件，由此可得出BE是△ABC的外角平分線； （3）如果“已知在△ABC中，∠1=∠2不變”，請你把（1）中添加的條件與所得結(jié)論互換，所得的命題是否是真命題，理由是什么？ 答案解析 一、選擇題 1.【答案】C 【解析】 A、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故A不符合題意； B、四條邊都相等的四邊形是菱形，故B不符合題意； C、有三個角是直角的四邊形是矩形，故C符合題意； D、四條邊都相等的四邊形是菱形，故D不符合題意． 故答案為：C 【分析】利用舉反例法可對A作出判斷；依據(jù)菱形、矩形的判定方法可對B、C、D作出判斷. 2.【答案】B 【解析】 “a>b”的否定應(yīng)為“a＝b或a<b”，即a≤b.故答案為：B. 【分析】因為a與b的大小關(guān)系有三種情況：“a>b”、“a＝b、a<b”。所以“a>b”的否定應(yīng)為a≤b。 3.【答案】B 【解析】 ：A、同角的余角相等，其逆命題是，如果兩個角相等，那么它們是同一個角的余角，顯然是假命題，故A不符合題意； B、線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，其逆命題是到線段兩端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上，是真命題，故B符合題意； C、全等三角形的對應(yīng)角相等，其逆命題是如果兩個三角形的對應(yīng)角相等，則這兩個三角形全等，顯然是假命題，故C不符合題意 ； D、對頂角相等，的逆命題是相等得角是對頂角，也是個假命題，從而得出D不符合題意 。 故答案為：B ?！痉治觥慷ɡ碛心娑ɡ恚瑒t定理的逆命題必須是正確的，對于同角的余角相等，其逆命題是，如果兩個角相等，那么它們是同一個角的余角，顯然是假命題，故A不符合題意；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，其逆命題是到線段兩端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上，是真命題，故B符合題意；全等三角形的對應(yīng)角相等，其逆命題是如果兩個三角形的對應(yīng)角相等，則這兩個三角形全等，顯然是假命題，故C不符合題意 ；對頂角相等，的逆命題是相等得角是對頂角，也是個假命題，從而得出D不符合題意 。 4.【答案】B 【解析】 ：∵蘋果、芭樂、柳丁三種水果，且其顆數(shù)比為9：7：6， ∴設(shè)蘋果為9x顆，芭樂7x顆，鉚釘6x顆（x是正整數(shù)）， ∵小柔榨果汁時沒有使用柳丁， ∴設(shè)小柔榨完果汁后，蘋果a顆，芭樂b顆， ∵小柔榨完果汁后，蘋果、芭樂、柳丁的顆數(shù)比變?yōu)?：3：4， ∴ ， ， ∴a=9x，b= x， ∴蘋果的用量為9x﹣a=9x﹣9x=0， 芭樂的用量為7x﹣b=7x﹣ x= x＞0， ∴她榨果汁時，只用了芭樂， 故答案為：B． 【分析】根據(jù)榨果汁前的三種水果的棵數(shù)比可將三種水果的棵數(shù)用含x的代數(shù)是表示，再根據(jù)榨果汁后的比值表示出各種水果的用量即可判斷榨果汁時另外兩種水果的使用情形。 5.【答案】C 【解析】 ：①兩點之間線段最短，說法正確，不是假命題； ②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，說法正確，不是假命題； ③過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，原來的說法錯誤，是假命題； ④在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行，原來的說法錯誤，是假命題； ⑤如圖，連接AC、BD． ∵∠A=∠D，∠C=∠B， ∴△ACP∽△DBP， ∴ = ， ∴PA?PB=PC?PD， 故若⊙O的弦AB，CD交于點P，則PA?PB=PC?PD的說法正確，不是假命題． 故選：C． 【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)公理判斷①； 根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷②； 根據(jù)垂線的性質(zhì)、平行公理的推論判斷③④； 連接AC、DB，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，證出△ACP∽△DBP，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．依此判斷⑤． 6.【答案】A 【解析】 ：∵當(dāng)b＜0時，如果 ＞1，那么a＜b，∴①錯誤； ∵若a+b=0，則|a|=|b|正確，但是若|a|=|b|，則a+b=0錯誤，∴②錯誤； ∵等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，正確，逆命題也正確，∴③正確； ∵底角相等的兩個等腰三角形不一定全等，∴④錯誤； 其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是1個， 故選A． 【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、相反數(shù)逐個判斷即可． 7.【答案】A 【解析】 A、∵要了解燈泡的使用壽命破壞性極大，∴只能采用抽樣調(diào)查的方法，A符合題意； B、∵4位同學(xué)的數(shù)學(xué)期末成績分別為100、95、105、110，則這四位同學(xué)數(shù)學(xué)期末成績的中位數(shù)為102.5，B不符合題意； C、甲乙兩人各自跳遠10次，若他們跳遠成績的平均數(shù)相同，甲乙跳遠成績的方差不能確定，C不符合題意； D、某次抽獎活動中，中獎的概率為 表示每抽獎50次可能有一次中獎，D不符合題意． 故答案為：A． 【分析】A、根據(jù)抽樣調(diào)查的定義來分析；B、根據(jù)中位數(shù)的定義來分析；C、根據(jù)方差的計算公式來分析；D、根據(jù)概率公式來分析； 8.【答案】C 【解析】 根據(jù)反證法的步驟，首先假設(shè)結(jié)論不成立，其次用已學(xué)的知識或已知條件得到與假設(shè)或已學(xué)的知識或已知條件相矛盾的結(jié)論，那么原命題成立可知可以作為條件使用的有①②③。 【分析】利用反證法的證題思想，即可得到結(jié)論。 9.【答案】B 【解析】 如果甲正確，則乙就正確；如果乙正確，則甲錯誤． 故答案為：B. 【分析】用假設(shè)法解該題，即假設(shè)甲說法正確，結(jié)合甲的說法判斷乙的說法是否正確. 10.【答案】D 【解析】 A.直角為90度，故凡是直角都相等；A不符合題意； B.對頂角的定義：有一個共同的頂點并且一邊是另一邊的反向延長線.故對頂角相等；B不符合題意； C.對頂角相等，故不相等的角不是對頂角；C不符合題意； D.只有兩直線平行時，同位角才相等；故同位角相等是假命題；D符合題意； 故答案為：D. 【分析】A根據(jù)直角定義來分析；B根據(jù)對頂角定義來分析；C根據(jù)對頂角定義來分析；D根據(jù)同位角定義來分析； 11.【答案】A 【解析 ：要算出這個在大矩形的面積，就需要知道大矩形的長和寬. 如圖： 假設(shè)已知小矩形①的周長為4x，小矩形③周長為2y，小矩形④周長為2z； 則可得出①的邊長以及③和④的鄰邊和，分別為x、y、z； 設(shè)小矩形②的周長為4a，則②的邊長為a，可得③、④都有一邊長為a 則③和④的另一條邊長分別為：y﹣a，z﹣a， 故大矩形的邊長分別為：y﹣a+x+a=y+x，z﹣a+x+a=z+x， 故大矩形的面積為：（y+x）（z+x），當(dāng)x，y，z都為已知數(shù)時，即可算出大正方形的面積， 故n的最小值是3． 故選：A． 【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方形的性質(zhì)及正方形及矩形周長與各邊長的關(guān)系來進行求解，進而得出符合題意的答案． 12.【答案】D 【解析】 ：∵AC=AB， ∴∠C=∠B， ∵四邊形ABED內(nèi)接于⊙O， ∴∠B=∠CDE， ∴∠C=∠CDE， ∴DE=CE；①正確； 連接AE， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AEC=90°，又∠C=45°， ∴AC= CE， ∵四邊形ABED內(nèi)接于⊙O， ∴∠B=∠CDE，∠CAB=∠CED， ∴△CDE∽△CBA， ∴ =（ ）2= ， ∴S1=S2 ， ②正確， 故選：D． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠B，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠B=∠CDE，根據(jù)等腰三角形的判定判斷①； 根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方判斷②． 二、填空題 13.【答案】如果兩個角是對頂角，那么它們相等 【解析】 ：題設(shè)為：對頂角，結(jié)論為：相等， 故寫成“如果 那么 ”的形式是：如果兩個角是對頂角，那么它們相等， 故答案為：如果兩個角是對頂角，那么它們相等． 【分析】根據(jù)命題的構(gòu)成可知題設(shè)為：對頂角，結(jié)論為：相等，所以用“如果 … 那么 … ”的形式可表示為：如果兩個角是對頂角，那么它們相等。 14.【答案】假 【解析】 原命題的逆命題為：面積相等的兩個三角形為全等三角形，則這個命題為假命題. 【分析】首先將原命題改寫成如果那么的形式，然后根據(jù)原命題與逆用的關(guān)系，將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置得到其逆命題：面積相等的兩個三角形為全等三角形；再根據(jù)已有知識判斷此命題顯然是假命題。 15.【答案】② 【解析】 ：①對頂角相等是真命題；②同旁內(nèi)角互補是假命題；③全等三角形的對應(yīng)角相等是真命題；④兩直線平行，同位角相等是真命題；故假命題有②， 故答案為：②． 【分析】要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可． 16.【答案】若a2=b2，則a=b. 【解析】 原命題的逆命題為：若a2=b2，則a=b. 故答案為：若a2=b2，則a=b. 【分析】一個命題一般包括題設(shè)和結(jié)論兩部分，用若領(lǐng)起的部分是題設(shè)，用則領(lǐng)起的部分是結(jié)論，求一個命題的逆命題，只需要將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置即可。 17.【答案】兩個銳角的度數(shù)分別為20°，30° 【解析】 ：若兩個銳角的度數(shù)分別為20°，30° 則這兩個角的和為50°，50°的角是銳角 故答案為：兩個銳角的度數(shù)分別為20°，30°（答案不唯一） 【分析】根據(jù)題意寫出兩個銳角的和是直角或銳角即可。 18.【答案】如果兩個角相等，那么這兩個角是直角。 【解析】 ：∵原命題是：如果兩個角都是直角,那么這兩個角相等 ∴它的逆命題是;如果兩個角相等，那么這兩個角是直角。 【分析】將原命題的題設(shè)和結(jié)論互換，再寫成如果，那么的形式即可。 19.【答案】②③ 【解析】 ：①把 代入 ，得 ， 如果a=2，那么b=1，a+b=3； 如果a=﹣2，那么b=﹣7，a+b=﹣9． 故命題①是假命題； ②y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故命題②是真命題； ③最小角等于50°的三角形，最大角不大于80°，一定是銳角三角形，故命題③是真命題． 所以正確命題的序號為②③． 故答案為②③． 【分析】①根據(jù)方程組的解的定義，把 代入 ，即可判斷；②利用配方法把函數(shù)y=﹣2x2+4x+1化為頂點式，即可判斷；③根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及銳角三角形的定義即可判斷． 20.【答案】③①② 【解析】 由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應(yīng)為③①②【分析】根據(jù)反證法的步驟，首先假設(shè)結(jié)論不成立，其次用已學(xué)的知識或已知條件得到與假設(shè)或已學(xué)的知識或已知條件相矛盾的結(jié)論，那么原命題成立。所以正確順序的序號排列③①②。 三、解答題 21.【答案】解：如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，則AB∥DE，是假命題，當(dāng)添加：∠B=∠E時，AB∥DE， 理由：∵∠B=∠E， ∴AB∥DE． 【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論。 22.【答案】（1）解：等角的余角相等，正確，是真命題 （2）解：平行線的同旁內(nèi)角的平分線互相垂直，正確，是真命題 （3）解：和為180°的兩個角叫做鄰補角，錯誤，是假命題，如兩個不同書本上的兩個和為180°的角 【解析】【分析】（1）根據(jù)余角的定義，知如果兩個角相等，那么它們的余角一定相等 ； （2）根據(jù)平行線的性質(zhì)二直線平行，同旁內(nèi)角互補及角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和即可作出判斷； （3）和為180°的兩個角叫做補角，鄰補角應(yīng)該還滿足有公共頂點，及一條公共邊，另一條邊互為反向延長線。 23.【答案】（1）CD；平行 （2）證明:如圖,連接BD. 在△ABD和△CDB中, ∵AB=CD,AD=CB,BD=DB, ∴△ABD≌△CDB. ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∴AB∥CD,AD∥CB. ∴四邊形ABCD是平行四邊形 （3）平行四邊形的兩組對邊分別相等 【解析】【解答】（1）補全已知和求證在四邊形ABCD中,BC=AD,AB=CD，求證:四邊形ABCD是平行四邊形。 故答案為：CD；平行?！痉治觥浚?）由平行四邊形的判定定理容易得出結(jié)果。 （2）連接AC，由SSS證明△ABC≌CDA，得出對應(yīng)角相等∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，證出AB∥DC，BC∥AD，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得出結(jié)論。 （3）根據(jù)命題的逆命題的定義得出平行四邊形的兩組對邊分別相等。 24.【答案】（1）解：AC∥BE； （2）解：∠1=∠ABE或∠1=∠DBE （3）解：是真命題，理由如下： ∵BE是△ABC的外角平分線， ∴∠ABE=∠DBE， 又∵∠ABD是三角形ABC的外角， ∴∠ABD=∠1+∠2， 即∠ABE+∠DBE=∠1+∠2， 又∵∠ABE=∠DBE，∠1=∠2， ∴∠ABE=∠1， ∴AC∥BE． 【解析】【分析】①②要使BE是△ABC的外角平分線，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)∠ABD=∠1+∠2，∠ABE=∠DBE，∠1=∠2，即證明∠ABE=∠1=∠DBE=∠2，進一步可得BE∥AC; ③根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可證明。 本題綜合運用了角平分線定義、平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)。 13