（江西專用）2019中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 專題綜合強(qiáng)化 專題四 特殊圖形的計(jì)算與證明 類型3 針對(duì)訓(xùn)練

第二部分　專題四 類型三 1．(2018·遼寧)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，O是AB上一點(diǎn)，經(jīng)過A，E兩點(diǎn)的⊙O交AB于點(diǎn)D，連接DE，作∠DEA的平分線EF交⊙O于點(diǎn)F，連接AF. (1)求證：BC是⊙O的切線； (2)若sin∠EFA＝，AF＝5，求線段AC的長． 　　　　 (1)證明：如答圖，連接OE.∵OE＝OA， ∴∠OEA＝∠OAE. ∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE， ∴∠CAE＝∠OEA，∴AC∥OE.∵∠C＝90°， ∴∠OEC＝90°， ∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切線． (2)解：如答圖，連接OF，DF.∵EF平分∠DEA， ∴DF＝AF＝5. ∵AD為⊙O的直徑，∴∠AFD＝90°，∴AD＝10. ∵sin∠EFA＝，∴cos∠EAD＝＝，∴AE＝8. ∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴△CAE∽△EAD， ∴＝，∴AC＝6.4. 2．(2018·贛州教研聯(lián)盟考試)如圖1，已知∠MPN的角平分線PF經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，PN是⊙O的切線，B為切點(diǎn)． (1)求證：PM是⊙O的切線； (2)如圖2，在(1)的前提下，設(shè)切線PM與⊙O的切點(diǎn)為A，連接AB交PF于點(diǎn)D，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，AF，記∠PFA為α. ①若BC＝6，tanα＝，求線段AD的長； ②小華探究圖2之后發(fā)現(xiàn)：EF2＝m·OD·OP(m為正整數(shù))，請(qǐng)你猜想m的數(shù)值，并證明你的猜想． 　　 (1)證明：如答圖，過點(diǎn)O作OA⊥PM，垂足為A，連接OB. ∵PN是⊙O的切線，B為切點(diǎn)， ∴OB是⊙O的半徑，且OB⊥PN. ∵∠1＝∠2，且OA⊥PM，OB⊥PN，∴OA＝OB， ∴PM是⊙O的切線． 第2題答圖 (2)解：①∵PM，PN都是⊙O的切線， ∴PA＝PB，且∠1＝∠2， ∴OP⊥AB，∴BD＝AD. ∵OD是Rt△ABC的中位線， ∴OD＝BC＝3. 設(shè)⊙O的半徑為r，則FD＝r＋3. ∵tanα＝＝，∴AD＝(r＋3)． 在Rt△AOD中，OA2＝r2＝[(r＋3)]2＋32， 解得r＝5，∴AD＝(r＋3)＝4. ②猜想m＝4.證明如下： ∵∠OAP＝∠ODA＝90°，∠POA＝∠AOD， ∴Rt△OAP∽R(shí)t△ODA， ∴＝，而OA＝EF， ∴EF2＝4·OD·OP，即m＝4. 3．(2018·撫州八校聯(lián)誼考試)如圖，點(diǎn)E是以AD為直徑的半圓O上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，D重合)，連接DE并延長到B，使得BE＝DE；連接AE并延長到C，使得CE＝AE，連接AB，BC，CD. (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為半圓的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形ABCD為正方形； (2)當(dāng)點(diǎn)E不是半圓的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請(qǐng)直接寫出； (3)若BC的延長線與半圓相切于點(diǎn)F，且直徑AD＝4，求的長． 圖1 　　 備用圖 第3題圖 (1)證明：∵點(diǎn)E為半圓O的中點(diǎn)，∴DE＝AE. ∵BE＝DE，CE＝AE，∴BE＝DE＝CE＝AE， ∴四邊形ABCD為矩形． ∵AD為半圓O的直徑，∴∠AED＝90°， ∴四邊形ABCD為正方形． (2)解：四邊形ABCD是菱形． 第3題答圖1 (3)解：當(dāng)點(diǎn)E在答圖1的位置時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F，連接OF，過點(diǎn)C作CG⊥DA交AD于點(diǎn)G. ∵四邊形ABCD為菱形，AD＝4， ∴CD＝AD＝4，BF∥AD. 又∵BF與⊙O相切，CG⊥AD，∴CG＝OF＝2. ∵在Rt△CDG中，sin∠CDG＝＝＝， ∴∠CDG＝30°. ∵O，E分別是AD，AC的中點(diǎn)，連接OE， ∴OE∥CD， 第3題答圖2 ∴∠AOE＝∠CDG＝30°， ∴的長為＝π. 當(dāng)點(diǎn)E在答圖2的位置時(shí)，由上可知，的長為2π－＝π. ∴的長為π或π. 4