蘇科版八級上《第章勾股定理》單元測試含答案解析.doc

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《第3章 勾股定理》 　 一、選擇題 1．下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（　　） A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，17 2．把直角三角形兩直角邊同時擴大到原來的2倍，則斜邊擴大到原來的（　?。? A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍 3．下列說法中，不正確的是（　?。? A．三個角的度數(shù)之比為1：3：4的三角形是直角三角形 B．三個角的度數(shù)之比為3：4：5的三角形是直角三角形 C．三邊長度之比為3：4：5的三角形是直角三角形 D．三邊長度之比為5：12：13的三角形是直角三角形 4．三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（　?。? A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形 5．如圖在直角△ABC中，∠BAC=90，AB=8，AC=6，DE是AB邊的垂直平分線，垂足為D，交邊BC于點E，連接AE，則△ACE的周長為（　?。? A．16 B．15 C．14 D．13 6．Rt△ABC兩直角邊的長分別為6cm和8cm，則連接這兩條直角邊中點的線段長為（　?。? A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm 　 二、填空題 7．若△ABC的三邊長滿足a2=b2+c2，則△ABC是　　三角形且∠　　=90． 8．在Rt△ABC中，已知兩邊長為6和8，則第三邊長為　?。? 9．已知x、y為正數(shù)，且|x2﹣4|+（y2﹣16）2=0，如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么這個直角三角形的斜邊長為　　． 10．在△ABC中，若三條邊的長度分別為9，12、15，則以兩個這樣的三角形所拼成的四邊形的面積是　?。? 11．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A，B，C的面積分別是8cm2，10cm2，14cm2，則正方形D的面積是　　cm2． 12．如圖，將一根長12厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度至少為　　厘米． 　 三、解答題 13．某直角三角形的周長為30，且一條直角邊長為5，求另一條直角邊的長． 14．如圖1，是一個長方體盒子，長AB=4，寬BC=2，高CG=1． （1）一只螞蟻從盒子下底面的點A沿盒子表面爬到點G，求它所行走的最短路線的長． （2）這個長方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒長度的為多少？ 解：（1）螞蟻從點A爬到點G有三種可能，展開成平面圖形如圖2所示，由勾股定理計算出AG2的值分別為　　、　　、　　，比較后得AG2最小為　　．即最短路線的長是　?。? （2）如圖3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21． 15．一個三角形三條邊的比為5：12：13，且周長為60cm，求它的面積． 16．如圖，直線l上有三個正方形a、b、c，其中a、c的面積分別為5和11．求正方形b的面積． 17．如圖，在△ABC中，AB=AC=25，點D在BC上，AD=24，BD=7，試問AD平分∠BAC嗎？為什么？ 18．某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造，測得兩直角邊長為6m、8m．現(xiàn)要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形．求擴建后的等腰三角形花圃的周長． 　 《第3章 勾股定理》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（　　） A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，17 【考點】勾股數(shù)． 【分析】三個正整數(shù)，其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可． 【解答】解：A、62+122≠132，故錯誤； B、32+42≠72，故錯誤； C、7.5，8.5不是正整數(shù)，故錯誤； D、82+152=172，故正確． 故選D． 【點評】本題考查了勾股數(shù)的概念，一般是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個正整數(shù)．驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，從而作出判斷． 　 2．把直角三角形兩直角邊同時擴大到原來的2倍，則斜邊擴大到原來的（　?。? A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍 【考點】勾股定理． 【分析】根據(jù)勾股定理，可知：把直角三角形兩直角邊同時擴大到原來的2倍，則斜邊擴大到原來的2倍． 【解答】解：設(shè)一直角三角形直角邊為a、b，斜邊為c．則a2+b2=c2； 另一直角三角形直角邊為2a、2b，則根據(jù)勾股定理知斜邊為=2c． 即直角三角形兩直角邊同時擴大到原來的2倍，則斜邊擴大到原來的2倍． 故選A． 【點評】熟練運用勾股定理對式子進行變形． 　 3．下列說法中，不正確的是（　?。? A．三個角的度數(shù)之比為1：3：4的三角形是直角三角形 B．三個角的度數(shù)之比為3：4：5的三角形是直角三角形 C．三邊長度之比為3：4：5的三角形是直角三角形 D．三邊長度之比為5：12：13的三角形是直角三角形 【考點】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法，對選項進行一一分析，選擇正確答案． 【解答】解：A、根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求得，各角分別為22.5，67.5，90，所以是直角三角形； B、根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求得，各角分別為45，60，75，所以不是直角三角形； C、兩邊的平方和等于第三邊的平方，符合勾股定理的逆定理，所以能構(gòu)成直角三角形； D、兩邊的平方和等于第三邊的平，符合勾股定理的逆定理，所以能構(gòu)成直角三角形． 故選B． 【點評】此題考查了利用三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理來判定直角三角形的方法．解題的關(guān)鍵是對知識熟練運用． 　 4．三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（　?。? A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】對等式進行整理，再判斷其形狀． 【解答】解：化簡（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形， 故選：C． 【點評】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定． 　 5．如圖在直角△ABC中，∠BAC=90，AB=8，AC=6，DE是AB邊的垂直平分線，垂足為D，交邊BC于點E，連接AE，則△ACE的周長為（　?。? A．16 B．15 C．14 D．13 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】首先連接AE，由在直角△ABC中，∠BAC=90，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC的長，又由DE是AB邊的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得AE=BE，繼而可得△ACE的周長為：BC+AC． 【解答】解：連接AE， ∵在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=8，AC=6， ∴BC==10， ∵DE是AB邊的垂直平分線， ∴AE=BE， ∴△ACE的周長為：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16． 故選A． 【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與勾股定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等定理的應(yīng)用． 　 6．Rt△ABC兩直角邊的長分別為6cm和8cm，則連接這兩條直角邊中點的線段長為（　?。? A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm 【考點】勾股定理；三角形中位線定理． 【分析】利用勾股定理列式求出斜邊，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答． 【解答】解：∵Rt△ABC兩直角邊的長分別為6cm和8cm， ∴斜邊==10cm， ∴連接這兩條直角邊中點的線段長為10=5cm． 故選D． 【點評】本題考查了勾股定理，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵． 　 二、填空題 7．若△ABC的三邊長滿足a2=b2+c2，則△ABC是　直角　三角形且∠　A　=90． 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】直接根據(jù)勾股定理的逆定理進行解答即可． 【解答】解：∵△ABC的三邊長滿足a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形且∠A=90． 故答案為：直角，A． 【點評】此題考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 　 8．在Rt△ABC中，已知兩邊長為6和8，則第三邊長為　10或2?。? 【考點】勾股定理． 【分析】由于斜邊沒有明確的規(guī)定，所以要分情況求解． 【解答】解：當8是斜邊時，第三邊是==2； 當8是直角邊時，第三邊是10． 【點評】此類題一定要注意兩種情況，熟練運用勾股定理． 　 9．已知x、y為正數(shù)，且|x2﹣4|+（y2﹣16）2=0，如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么這個直角三角形的斜邊長為　2?。? 【考點】勾股定理；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方． 【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x2、y2，再利用勾股定理列式計算即可得解． 【解答】解：由題意得，x2﹣4=0，y2﹣16=0， 所以，x2=4，y2=16， 由勾股定理得，斜邊的平方=x2+y2=4+16=20， 所以，斜邊==2． 故答案為：2． 【點評】本題考查了勾股定理，非負數(shù)的性質(zhì)，幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0列出方程是解題的關(guān)鍵． 　 10．在△ABC中，若三條邊的長度分別為9，12、15，則以兩個這樣的三角形所拼成的四邊形的面積是　108　． 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】首先利用勾股定理的逆定理，判定給三角形的形狀，求拼成的四邊形的面積就是這樣兩個三角形的面積和，由此列式解答即可． 【解答】解：∵92+122=225，152=225， ∴92+122=152， 這個三角形為直角三角形，且9和12是兩條直角邊； ∴拼成的四邊形的面積=9122=108． 故答案為：108． 【點評】此題考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 　 11．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A，B，C的面積分別是8cm2，10cm2，14cm2，則正方形D的面積是　17　cm2． 【考點】勾股定理． 【分析】根據(jù)勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代換即可求正方形D的面積． 【解答】解：根據(jù)勾股定理可知， ∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49， S正方形C+S正方形D=S正方形2， S正方形A+S正方形B=S正方形1， ∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49． ∴正方形D的面積=49﹣8﹣10﹣14=17（cm2）； 故答案為：17． 【點評】此題主要考查了勾股定理，注意根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理得到圖中正方形的面積之間的關(guān)系：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的面積． 　 12．如圖，將一根長12厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度至少為　2　厘米． 【考點】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】首先應(yīng)根據(jù)勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即=10，故筷子露在杯子外面的長度至少為多少可求出． 【解答】解：如圖所示，筷子，圓柱的高，圓柱的直徑正好構(gòu)成直角三角形， ∴勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即=10cm， ∴筷子露在杯子外面的長度至少為12﹣10=2cm， 故答案為2． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵． 　 三、解答題 13．某直角三角形的周長為30，且一條直角邊長為5，求另一條直角邊的長． 【考點】勾股定理． 【分析】設(shè)另一條直角邊的長為x，根據(jù)三角形的周長的定義表示出斜邊，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：設(shè)另一條直角邊的長為x， 則斜邊為：30﹣5﹣x=25﹣x， 由勾股定理得，x2+52=（25﹣x）2， 解得x=12． 答：另一條直角邊的長12． 【點評】本題考查了勾股定理，讀懂題目信息，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵． 　 14．如圖1，是一個長方體盒子，長AB=4，寬BC=2，高CG=1． （1）一只螞蟻從盒子下底面的點A沿盒子表面爬到點G，求它所行走的最短路線的長． （2）這個長方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒長度的為多少？ 解：（1）螞蟻從點A爬到點G有三種可能，展開成平面圖形如圖2所示，由勾股定理計算出AG2的值分別為　37　、　25　、　29　，比較后得AG2最小為　25?。醋疃搪肪€的長是　5?。? （2）如圖3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21． 【考點】平面展開-最短路徑問題． 【分析】（1）螞蟻有三種爬法，就是把正視和俯視（或正視和側(cè)視，或俯視和側(cè)視）二個面展平成一個長方形，然后利用勾股定理求其對角線，比較大小即可求得最短的途徑； （2）根據(jù)勾股定理，知長方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒的平方等于長方體的長、寬、高的平方和． 【解答】解：（1）螞蟻從點A爬到點G有三種可能，展開成平面圖形如圖2所示，由勾股定理計算出AG2的值分別為（4+2）2+12=37、42+（1+2）2=25、22+（4+1）2=29，比較后得AG2最小為25．即最短路線的長是5． （2）如圖3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21． 故答案為37，25，29，5． 【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題及勾股定理的應(yīng)用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．注意：長方體中最長的對角線的平方等于長方體的長、寬、高的平方和． 　 15．（2009秋?福鼎市校級月考）一個三角形三條邊的比為5：12：13，且周長為60cm，求它的面積． 【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)該三角形是直角三角形，再根據(jù)周長求得直角三角形的兩條直角邊，從而求得其面積． 【解答】解：設(shè)該三角形的三邊是5k，12k，13k． 因為（5k）2+（12k）2=（13k）2， 所以根據(jù)勾股定理的逆定理，得該三角形是直角三角形． 根據(jù)題意，得5k+12k+13k=60， 解得k=2， 則5k=10，12k=24， 則該直角三角形的面積是120． 故答案為：120cm2． 【點評】此題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，同時熟悉直角三角形的面積公式． 　 16．如圖，直線l上有三個正方形a、b、c，其中a、c的面積分別為5和11．求正方形b的面積． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠ACB=∠DEB=90，AB=DB，∠ABD=90，求出∠CAB=∠DBE，根據(jù)AAS推出△ACB≌△BED，根據(jù)全等得出AC=BE，DE=BC，根據(jù)勾股定理得出即可． 【解答】解：∵根據(jù)正方形的性質(zhì)得：∠ACB=∠DEB=90，AB=DB，∠ABD=90， ∴∠CAB+∠ABC=90，∠ABC+∠DBE=90， ∴∠CAB=∠DBE， 在△ACB和△BED中 ∴△ACB≌△BED， ∴AC=BE，DE=BC， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=AC2+DE2=5+11=16， 即正方形b的面積是16． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△ACB≌△BED，題目比較好． 　 17．如圖，在△ABC中，AB=AC=25，點D在BC上，AD=24，BD=7，試問AD平分∠BAC嗎？為什么？ 【考點】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理可得AD⊥BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得出結(jié)論． 【解答】解：AD平分∠BAC，理由為： ∵在△ABC中，AB=AC=25，AD=24，BD=7， ∴252=242+72， ∴∠ADB=90，即AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC． 【點評】考查了勾股定理的逆定理和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到AD⊥BC． 　 18．（2011?廣安）某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造，測得兩直角邊長為6m、8m．現(xiàn)要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形．求擴建后的等腰三角形花圃的周長． 【考點】勾股定理的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊AB，（1）當AB=AD時，求出CD即可；（2）當AB=BD時，求出CD、AD即可；（3）當DA=DB時，設(shè)AD=x，則CD=x﹣6，求出即可． 【解答】 解：如圖1，在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m， ∴AB=10m， （1）如圖1，當AB=AD時，CD=6m， △ABD的周長為10m+10m+6m+6m=32m； （2）如圖2，當AB=BD時，CD=4m，AD=4m △ABD的周長是10m+10m+4m=（20+4）m； （3）如圖3，當DA=DB時，設(shè)AD=x，則CD=x﹣6， 則x2=（x﹣6）2+82， ∴x=， ∴△ABD的周長是10m+m+m=m， 答：擴建后的等腰三角形花圃的周長是32m或 20+4m或m． 【點評】本題主要考查對勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能通過分類求出等腰三角形的所有情況是解此題的關(guān)鍵．