蘇科版八級上《第章軸對稱圖形》單元測試(三)含答案解析.doc
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蘇科版八級上《第章軸對稱圖形》單元測試(三)含答案解析.doc
《第2章 軸對稱圖形》
一、選擇題
1.下列圖形(含陰影部分)中,屬于軸對稱圖形的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.小亮在鏡中看到身后墻上的時鐘如下,你認(rèn)為實際時間最接近8:00的是( ?。?
A. B. C. D.
3.下列圖形:①等腰三角形;②平行四邊形;③等邊三角形;④等腰梯形;⑤長方形.其中,一定是軸對稱圖形的有( ?。?
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
4.如圖,AC=AD,BC=BD,則有( ?。?
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB
C.AB與CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
5.如圖,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分別為A,B.下列結(jié)論中不一定成立的是( ?。?
A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP
6.在等腰△ABC中,AB=AC,中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分,則這個等腰三角形的底邊長為( ?。?
A.7 B.11 C.7或11 D.7或10
7.梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,∠C=70,∠B=40,則AB的長為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD相交于點O,有如下五個結(jié)論:
①△AOD≌△BOC;②∠DAC=∠DCA;③梯形ABCD是軸對稱圖形;④∠DAB+∠DCB=180;⑤AC=BD.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ?。?
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
9.如圖,已知△ABC,求作一點P,使P到∠A的兩邊的距離相等,且PA=PB,下列確定P點的方法正確的是( ?。?
A.P是∠A與∠B兩角平分線的交點
B.P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點
C.P為AC、AB兩邊上的高的交點
D.P為AC、AB兩邊的垂直平分線的交點
10.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F為垂足,則下列五個結(jié)論:①∠DEF=∠DFE;②AE=AF;③AD垂直平分EF;④EF垂直平分AD;⑤△ABD與△ACD的面積相等.其中,正確的個數(shù)是( ?。?
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空題
11.請同學(xué)們寫出兩個具有軸對稱性的漢字 ?。?
12.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,BD是三角形的角平分線,交AC于點D,AD=2.2cm,AC=3.7cm,則點D到AB邊的距離是 cm.
(2)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50,則∠B的度數(shù)為 .
13.如圖,在△ABC中,AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F.
(1)若△AEF的周長為10cm,則BC的長為 cm.
(2)若∠EAF=100,則∠BAC ?。?
14.如圖①,在Rt△ABC中,若AB=AC,AD=AE,∠BAD=40,則∠EDC= ?。?
(2)如圖②,∠ACB=90,E、F為AB上的點,AE=AC,BC=BF,則∠ECF= ?。?
15.若直角三角形斜邊上的高和中線分別為10cm、12cm,則它的面積為 cm2.
(2)已知等腰三角形的一個外角為100,則這個等腰三角形的頂角為 ?。?
16.如圖①,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60,AD=4,BC=7,則梯形ABCD的周長是 .
(2)如圖②,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠BAC的平分線AD交BC于點D,DE∥AC,DE交AB于點E,M為BE的中點,連接DM.在不添加任何輔助線和字母的情況下,圖中的等腰三角形共有 個.
17.在Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=3,M為邊長BC上的點,連接AM,如圖,如果將△ABM沿直線AM翻折后,點B恰好落在邊AC的中點處,那么點M到AC的距離是 .
18.如圖所示,AOB是一鋼架,且∠AOB=10,為了使鋼架更加堅固,需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF,F(xiàn)G,GH…,添加的鋼管長度都與OE相等,則最多能添加這樣的鋼管 根.
三、解答題
19.利用網(wǎng)格作圖,
(1)請你在圖①中畫出線段AB關(guān)于線段CD所在直線成軸對稱的圖形;
(2)請你在圖②中添加一條線段,使圖中的3條線段組成一個軸對稱圖形.請畫出所有情形;
(3)請你先在圖③的BC上找一點P,使點P到AB、AC的距離相等,再在射線AP上找一點Q,使QB=QC.
20.如圖,在△ABC中,BD、CE是高,G、F分別是BC、DE的中點,連接GF,試判斷GF與DE有何特殊的位置關(guān)系?請說明理由.
21.如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求∠A的度數(shù).
22.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,BC=AC,求該梯形各內(nèi)角的度數(shù).
23.如圖,在等腰△ABC中,頂角的平分線BD交AC于點D,AD=3,作△ABC的高AE交CB的延長線于點E,且AE與BC的長是方程組的解.已知S△ABC=m(m≠0),求△ABC的周長.
《第2章 軸對稱圖形》
參考答案與試題解析
一、選擇題
1.下列圖形(含陰影部分)中,屬于軸對稱圖形的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷即可得解.
【解答】解:第一個圖形不是軸對稱圖形,
第二個圖形不是軸對稱圖形,
第三個圖形是軸對稱圖形,
第四個圖形是軸對稱圖形,
綜上所述,屬于軸對稱圖形的有2個.
故選B.
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合.
2.小亮在鏡中看到身后墻上的時鐘如下,你認(rèn)為實際時間最接近8:00的是( ?。?
A. B. C. D.
【考點】鏡面對稱.
【分析】此題考查鏡面對稱,根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì),在平面鏡中的鐘面上的時針、分針的位置和實物應(yīng)關(guān)于過12時、6時的直線成軸對稱.
【解答】解:根據(jù)平面鏡成像原理可知,鏡中的像與原圖象之間實際上只是進(jìn)行了左右對換,由軸對稱知識可知,只要將其進(jìn)行左可翻折,即可得到原圖象,實際時間為8點的時針關(guān)于過12時、6時的直線的對稱點是4點,那么8點的時鐘在鏡子中看來應(yīng)該是4點的樣子,則應(yīng)該在C和D選項中選擇,D更接近8點.
故選D.
【點評】考查了鏡面對稱,這是一道開放性試題,解決此類題注意技巧;注意鏡面反射的原理與性質(zhì).
3.下列圖形:①等腰三角形;②平行四邊形;③等邊三角形;④等腰梯形;⑤長方形.其中,一定是軸對稱圖形的有( ?。?
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各小題分析判斷即可得解.
【解答】解:①等腰三角形一定是軸對稱圖形;
②平行四邊形不一定是軸對稱圖形;
③等邊三角形一定是軸對稱圖形;
④等腰梯形一定是軸對稱圖形;
⑤長方形一定是軸對稱圖形;
綜上所述,一定是軸對稱圖形的有①③④⑤共4個.
故選C.
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合.
4.如圖,AC=AD,BC=BD,則有( ?。?
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB
C.AB與CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】由已知條件AC=AD,利用線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆用可得點A在CD的垂直平分線上,同理,點B也在CD的垂直平分線上,于是A是符合題意的,是正確的,答案可得.
【解答】解:∵AC=AD,BC=BD,
∴點A,B在線段CD的垂直平分線上.
∴AB垂直平分CD.
故選A.
【點評】本題考查的知識點為:與一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上;兩點確定一條直線.分別應(yīng)用垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解答本題的關(guān)鍵.
5.如圖,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分別為A,B.下列結(jié)論中不一定成立的是( ?。?
A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP
【考點】角平分線的性質(zhì).
【分析】本題要從已知條件OP平分∠AOB入手,利用角平分線的性質(zhì),對各選項逐個驗證,選項D是錯誤的,雖然垂直,但不一定平分OP.
【解答】解:∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB
∴PA=PB
∴△OPA≌△OPB
∴∠APO=∠BPO,OA=OB
∴A、B、C項正確
設(shè)PO與AB相交于E
∵OA=OB,∠AOP=∠BOP,OE=OE
∴△AOE≌△BOE
∴∠AEO=∠BEO=90
∴OP垂直AB
而不能得到AB平分OP
故D不成立
故選D.
【點評】本題主要考查平分線的性質(zhì),由已知能夠注意到△OPA≌△OPB,進(jìn)而求得△AOE≌△BOE是解決的關(guān)鍵.
6.在等腰△ABC中,AB=AC,中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分,則這個等腰三角形的底邊長為( ?。?
A.7 B.11 C.7或11 D.7或10
【考點】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【專題】分類討論.
【分析】題中給出了周長關(guān)系,要求底邊長,首先應(yīng)先想到等腰三角形的兩腰相等,尋找問題中的等量關(guān)系,列方程求解,然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系驗證答案.
【解答】解:設(shè)等腰三角形的底邊長為x,腰長為y,則根據(jù)題意,
得①或②
解方程組①得:,根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理,此時能組成三角形;
解方程組②得:,根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理此時能組成三角形,
即等腰三角形的底邊長是11或7;
故選C.
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計算.學(xué)生在解決本題時,有的同學(xué)會審題錯誤,以為15,12中包含著中線BD的長,從而無法解決問題,有的同學(xué)會忽略掉等腰三角形的分情況討論而漏掉其中一種情況;注意:求出的結(jié)果要看看是否符合三角形的三邊關(guān)系定理.故解決本題最好先畫出圖形再作答.
7.梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,∠C=70,∠B=40,則AB的長為( ?。?
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】梯形.
【專題】壓軸題.
【分析】作DE∥AB交BC于E.則四邊形ABED是平行四邊形,從而得到BE=AD=1,從而可推出∠CDE=∠C=70,則DE=CE=AB.
【解答】解:作DE∥AB交BC于E,則四邊形ABED是平行四邊形.∴BE=AD=1,∠CED=∠B=40
∴∠CDE=70
∴AB=DE=CE=4﹣1=3
故選B.
【點評】此題主要是通過平移一腰,利用平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算.
8.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD相交于點O,有如下五個結(jié)論:
①△AOD≌△BOC;②∠DAC=∠DCA;③梯形ABCD是軸對稱圖形;④∠DAB+∠DCB=180;⑤AC=BD.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【考點】等腰梯形的性質(zhì);平行線的性質(zhì);全等三角形的判定;軸對稱圖形.
【專題】數(shù)形結(jié)合.
【分析】采用排除法,以各個結(jié)論進(jìn)行驗證從而得出正確的結(jié)論.
【解答】解:①不正確,可以根據(jù)對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊對應(yīng)成比例從而得到兩三角形相似.
②不正確,應(yīng)該為∠DBA=∠DCA.
③正確,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì).
④正確,∠DAB+∠DCB=180.
⑤正確,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì).
所以正確的結(jié)論有③④⑤.
故選B.
【點評】本題考查等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定及軸對稱的知識,有一定難度,注意分別對各項進(jìn)行判斷.
9.如圖,已知△ABC,求作一點P,使P到∠A的兩邊的距離相等,且PA=PB,下列確定P點的方法正確的是( )
A.P是∠A與∠B兩角平分線的交點
B.P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點
C.P為AC、AB兩邊上的高的交點
D.P為AC、AB兩邊的垂直平分線的交點
【考點】角平分線的性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)角平分線及線段垂直平分線的判定定理作答.
【解答】解:∵點P到∠A的兩邊的距離相等,
∴點P在∠A的角平分線上;
又∵PA=PB,
∴點P在線段AB的垂直平分線上.
即P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點.
故選B.
【點評】本題考查了角平分線及線段垂直平分線的判定定理.
到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上;到一條線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
10.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F為垂足,則下列五個結(jié)論:①∠DEF=∠DFE;②AE=AF;③AD垂直平分EF;④EF垂直平分AD;⑤△ABD與△ACD的面積相等.其中,正確的個數(shù)是( ?。?
A.4 B.3 C.2 D.1
【考點】角平分線的性質(zhì);三角形的面積;線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=DF,然后證明△ADE與△ADF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AF,再根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上可以證明AD垂直平分EF,根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得△ABD與△ACD的面積相等不正確.
【解答】解:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F為垂足,
∴DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE,故①正確;
在△ADE與△ADF中,
,
∴△ADE≌△ADF(HL),
∴AE=AF,故②正確;
∵AE=AF,DE=DF,
∴AD垂直平分EF,故③正確;
AE與DE,AF與DF不一定相等,
∴EF不一定垂直平分AD,故④錯誤,
根據(jù)圖形,AB≠AC,
∴AD平分∠BAC時,BD≠CD,
∴△ABD與△ACD等高不等底,面積不相等,故⑤錯誤.
綜上所述,①②③共3個正確.
故選B.
【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)以及到線段兩端點距離相等的點在線段垂直平分線上的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),以及三角形的面積,是小綜合題,但難度不大,仔細(xì)分析圖形是解題的關(guān)鍵.
二、填空題
11.請同學(xué)們寫出兩個具有軸對稱性的漢字 甲、由、中、田、日等?。?
【考點】軸對稱圖形.
【專題】壓軸題;開放型.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念,即可寫出:甲,日,田等字.
【解答】解:具有軸對稱性的漢字:甲,日等字.
【點評】此題為開放性試題,能夠根據(jù)軸對稱圖形的概念,寫出左右對稱或上下對稱的漢字均可.
12.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,BD是三角形的角平分線,交AC于點D,AD=2.2cm,AC=3.7cm,則點D到AB邊的距離是 1.5 cm.
(2)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50,則∠B的度數(shù)為 70或20 .
【考點】角平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【分析】(1)先根據(jù)AD=2.2cm,AC=3.7cm求出CD的長,再由角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)此題根據(jù)△ABC中∠A為銳角與鈍角分為兩種情況解答.
【解答】解:(1)∵AD=2.2cm,AC=3.7cm,
∴CD=3.7﹣2.2=1.5(cm).
∵∠C=90,
∴點D到AB邊的距離=CD=1.5(cm).
故答案為:1.5;
(2)如圖1,當(dāng)AB的中垂線MN與AC相交時,
∵∠AMD=90,
∴∠A=90﹣50=40,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C==70;
如圖2,當(dāng)AB的中垂線MN與CA的延長線相交時,
∴∠DAB=90﹣50=40,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=∠DAB=20.
故答案為:70或20.
【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì),熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.
13.如圖,在△ABC中,AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F.
(1)若△AEF的周長為10cm,則BC的長為 10 cm.
(2)若∠EAF=100,則∠BAC 1400 .
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及△AEF的周長即可得出BC的長,
(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠AEF+∠AFE=80;根據(jù)垂直平分線性質(zhì),以及外角的性質(zhì)即可得出∠BAC的度數(shù).
【解答】解:(1)∵ED、FG分別是AB、AC的垂直平分線,
∴AE=BE,AF=CF,
∵△AEF的周長為10cm,
∴AC=10cm;
(2)∵∠EAF=100,
∴∠AEF+∠AFE=80,
∵ED、FG分別是AB、AC的垂直平分線,
∴EA=EB,F(xiàn)A=FC,
∴∠AEF=2∠EAB,∠AFE=2∠CAF,
∴∠BAC=∠EAF+∠EAB+∠FAC=100+∠EAB+∠CAF=100+(∠AEF+∠AFE)=140.
故答案為:10,140.
【點評】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識,線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等,以及外角的性質(zhì),難度適中.
14.如圖①,在Rt△ABC中,若AB=AC,AD=AE,∠BAD=40,則∠EDC= 20 .
(2)如圖②,∠ACB=90,E、F為AB上的點,AE=AC,BC=BF,則∠ECF= 45?。?
【考點】等腰直角三角形.
【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠B的度數(shù),根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠ADC,求出∠DAC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠ADE即可;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得:∠AEC=∠ACE=,∠BFC=∠BCF=,從而利用∠EFC=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB=+﹣90=45求解.
【解答】解:(1)∵在Rt△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C=45,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45+40=85,
∵∠DAE=∠BAC﹣∠BAD,
∴∠DAE=90﹣40=50,
∵AD=AE,
∴∠ADE==65,
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=85﹣65=20.
故答案為:20;
(2)∵AE=AC,BC=BF,
∴∠AEC=∠ACE=,∠BFC=∠BCF=,
∵∠ACB=90,
∴∠A+∠B=90,
∴∠ECF=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB
=+﹣90
=﹣90
=135﹣90
=45.
故答案為:45.
【點評】題主要考查學(xué)生運用等腰三角形性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行推理的能力,題目比較典型,是一道很好的題目,關(guān)鍵是進(jìn)行推理和總結(jié)規(guī)律.
15.若直角三角形斜邊上的高和中線分別為10cm、12cm,則它的面積為 120 cm2.
(2)已知等腰三角形的一個外角為100,則這個等腰三角形的頂角為 80或20 .
【考點】直角三角形斜邊上的中線;等腰三角形的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出斜邊,再利用三角形的面積公式列式計算即可得解;
(2)求出與外角相鄰的內(nèi)角是80,再分80角是頂角和底角兩種情況討論求解.
【解答】解:(1)∵直角三角形斜邊上的中線為12cm,
∴斜邊=22=24cm,
∴它的面積=2410=120cm2;
(2)∵等腰三角形的一個外角為100,
∴與這個外角相鄰的內(nèi)角是180﹣100=80,
若80角是頂角,則頂角為80,
若80角是底角,則頂角為180﹣802=20,
所以,這個等腰三角形的頂角為80或20.
故答案為:(1)120;(2)80或20.
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,難點在于(2)要分情況討論.
16.如圖①,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60,AD=4,BC=7,則梯形ABCD的周長是 17 .
(2)如圖②,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠BAC的平分線AD交BC于點D,DE∥AC,DE交AB于點E,M為BE的中點,連接DM.在不添加任何輔助線和字母的情況下,圖中的等腰三角形共有 3 個.
【考點】等腰梯形的性質(zhì);等腰三角形的判定.
【分析】(1)過點A作BC的垂線AE,從而可求得BE的長,根據(jù)三角函數(shù)可求得AB的長,從而就可求得梯形的周長了;
(2)由已知條件,得到角相等,根據(jù)等角對等邊,找出題中兩條邊相等的三角形,利用題中的已知條件證明即可.
【解答】解:(1)過點A作BC的垂線AE,
則BE=(BC﹣AD)=,
在直角三角形△ABE中,cosB==,
因而AB=3,則梯形ABCD的周長是4+7+3+3=17.
(2)等腰三角形有△MBD、△MDE、△EAD共3個.
依據(jù):MD是直角△BED斜邊上的中線,則BM=ME=DM,因而△BMD和△MDE是等腰三角形;
∵DE∥AC,
∴∠EDA=∠CAD,
又∵∠CAD=∠EAD,
∴∠EDA=∠EAD,
∴△AED是等腰三角形.
故答案為:17,3.
【點評】此題考查等腰梯形的性質(zhì)及梯形中常見的輔助線的作法、等腰三角形的性質(zhì)及判定定理、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì),把梯形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題.
17.在Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=3,M為邊長BC上的點,連接AM,如圖,如果將△ABM沿直線AM翻折后,點B恰好落在邊AC的中點處,那么點M到AC的距離是 2 .
【考點】翻折變換(折疊問題).
【專題】計算題.
【分析】如圖,作ME⊥AC于E,MF⊥AB于F,點D為AC的中點,根據(jù)折疊的性質(zhì)得AD=AB=3,∠BAM=∠CAM,則AC=2AD=6,根據(jù)角平分線定理得ME=MF,然后利用面積法得到MF?AB+ME?AC=AB?AC,即3ME+6ME=36,解得ME=2.
【解答】解:如圖,作ME⊥AC于E,MF⊥AB于F,點D為AC的中點,
∵△ABM沿直線AM翻折后,點B恰好落在邊AC的中點D處,
∴AD=AB=3,∠BAM=∠CAM=45,
∴AC=2AD=6,ME=MF,
∵S△ABM+S△AMC=S△ABC,
∴MF?AB+ME?AC=AB?AC,
∴3ME+6ME=36,
∴ME=2,
即點M到AC的距離是2.
故答案為2.
【點評】本題考查了折疊的性質(zhì):折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.
18.如圖所示,AOB是一鋼架,且∠AOB=10,為了使鋼架更加堅固,需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF,F(xiàn)G,GH…,添加的鋼管長度都與OE相等,則最多能添加這樣的鋼管 8 根.
【考點】等腰三角形的性質(zhì).
【專題】應(yīng)用題;壓軸題.
【分析】根據(jù)已知利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì),找出圖中存在的規(guī)律,根據(jù)規(guī)律及三角形的內(nèi)角和定理不難求解.
【解答】解:∵添加的鋼管長度都與OE相等,∠AOB=10,
∴∠GEF=∠FGE=20,…從圖中我們會發(fā)現(xiàn)有好幾個等腰三角形,
即第一個等腰三角形的底角是10,第二個是20,第三個是30,四個是40,五個是50,六個是60,七個是70,八個是80,九個是90就不存在了.所以一共有8個.
故答案為:8.
【點評】此題考查了三角形的內(nèi)角和是180度的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì);發(fā)現(xiàn)并利用規(guī)律是正確解答本題的關(guān)鍵.
三、解答題
19.利用網(wǎng)格作圖,
(1)請你在圖①中畫出線段AB關(guān)于線段CD所在直線成軸對稱的圖形;
(2)請你在圖②中添加一條線段,使圖中的3條線段組成一個軸對稱圖形.請畫出所有情形;
(3)請你先在圖③的BC上找一點P,使點P到AB、AC的距離相等,再在射線AP上找一點Q,使QB=QC.
【考點】利用軸對稱設(shè)計圖案;角平分線的性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】(1)做BO⊥CD于點O,并延長到B′,使B′O=BO,連接AB即可;
(2)軸對稱圖形沿某條直線折疊后,直線兩旁的部分能完全重合;
(3)先作出∠A的平分線AP,再作線段BC的垂直平分線DE,與AP相交于點Q,連接BQ,CQ,則QB=QC.
【解答】解:(1)、(2)如圖所示:
;
(3)如圖所示:
【點評】本題考查的是利用軸對稱設(shè)計圖案,熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
20.如圖,在△ABC中,BD、CE是高,G、F分別是BC、DE的中點,連接GF,試判斷GF與DE有何特殊的位置關(guān)系?請說明理由.
【考點】直角三角形斜邊上的中線;等腰三角形的判定與性質(zhì).
【分析】連接EG、FG,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG=EG=BC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的證明即可.
【解答】證明:GF⊥DE.理由如下:
如圖,連接EG、DG,
∵BD、CE分別是△ABC的AC、BC邊上的高,點G是BC的中點,
∴DG=EG=BC,
∵點F是DE的中點,
∴GF⊥DE.
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵.
21.如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求∠A的度數(shù).
【考點】等腰三角形的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理;三角形的外角性質(zhì).
【專題】計算題.
【分析】由已知根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到幾組相等的角,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到∠C與∠A之間的關(guān)系,從而再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.
【解答】解:∵AE=ED,
∴∠ADE=∠A,
∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A,
∵BD=ED,
∴∠ABD=∠DEB=2∠A,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A,
∵BD=BC,
∴∠C=∠BDC=3∠A,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=3∠A,
∵∠ABC+∠C+∠A=180,
∴7∠A=180,
∴∠A=.
【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角的性質(zhì)的綜合運用.
22.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,BC=AC,求該梯形各內(nèi)角的度數(shù).
【考點】等腰梯形的性質(zhì).
【專題】探究型.
【分析】先根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)判斷出梯形ABCD是等腰梯形,進(jìn)而判斷出△ABC、△ADC是等腰三角形,再由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠ABC的度數(shù),由平行線的性質(zhì)得出∠DAB的度數(shù)即可.
【解答】解:∵AB=DC,
∴梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠ABC=∠BCD,∠DAC=∠ACB
∵AC=BC,
∴△ABC是等腰三角形,
∴∠CAB=∠B
∵DC=AD,
∴△ADC是等腰三角形,
∴∠DAC=∠ACD=∠BCD,
∴∠CAB=∠B=∠BCD,
∵∠ABC+∠CAB+∠ACB=180,即2∠ABC+∠ABC=180,
∴∠ABC=∠BCD=72,
∴∠DAB=∠ADC=180﹣72=108.
【點評】本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)及等腰三角形的判定,解答此類題目時往往用到三角形的內(nèi)角和是180這一隱藏條件.
23.如圖,在等腰△ABC中,頂角的平分線BD交AC于點D,AD=3,作△ABC的高AE交CB的延長線于點E,且AE與BC的長是方程組的解.已知S△ABC=m(m≠0),求△ABC的周長.
【考點】等腰三角形的性質(zhì);解二元一次方程組.
【分析】先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AC=2AD=6,再解方程組,求得,那么S△ABC=BC?AE=(m﹣)?m,而S△ABC=m,得出方程(m﹣)?m=m,由m≠0,得出m=5,然后分BC=m﹣=或BC=m=5,兩種情況進(jìn)行討論即可.
【解答】解:∵在等腰△ABC中,頂角的平分線BD交AC于點D,AD=3,
∴AC=2AD=6.
解方程組得.
∵S△ABC=BC?AE=(m﹣)?m,
∴(m﹣)?m=m,
∵m≠0,
∴m=5,
如果BC=m﹣=,
∵,,6能夠組成三角形,
∴△ABC的周長=++6=;
如果BC=m=5,
∵5,5,6能夠組成三角形,
∴△ABC的周長=5+5+6=16.
故△ABC的周長為或16.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),二元一次方程組的解法,三角形的面積,正確求出m的值進(jìn)而分類討論是解題的關(guān)鍵.