概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案.docx

30 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題1.1 1．用集合的形式寫出下列隨機試驗的樣本空間Ω與隨機事件A： （1）拋一顆骰子，觀察向上一面的點數(shù)． A表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”． （2）對一個目標進行射擊，一旦擊中便停止射擊，觀察射擊的次數(shù)． A表示“射擊不超過3次”． （3）把單位長度的一根細棒折成三段，觀察各段的長度．A表示“三段細棒能構(gòu)成一個三角形”． 2．把表示成n個兩兩互不相容事件的和． 3． 在某班學生中任選一個同學，以A表示選到的是男同學，B表示選到的人不喜歡唱歌，C表示選到的人是運動員． （1）表述ABC及ABC； （2）什么條件下成立ABC=A； （3）何時成立C?B； （4）何時同時成立A=B與A=C． 4．設A,B,C為三個隨機事件，用A,B,C的運算及關系表示下列各事件： （1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生； （2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生； （3）A,B,C中至少有一個發(fā)生； （4）A,B,C都發(fā)生； （5）A,B,C都不發(fā)生； （6）A,B,C中不多于一個發(fā)生； （7）A,B,C中不多于兩個發(fā)生； （8）A,B,C中至少有兩個發(fā)生． 習題1.2 1．某城市共發(fā)行三種報紙A,B,C．已知城市居民訂購A的占45%，訂購B的占35%，訂購C的占30%，同時訂購A與B的占10%，同時訂購A與C的占8%，同時訂購B與C的占5%，同時訂購A,B,C的占3%，求下列事件的概率： （1）只訂購A； （2）只訂購A與B； （3）只訂購一種報紙； （4）正好訂購兩種報紙； （5）至少訂購一種報紙； （6）不訂購任何報紙； （7）至多訂一種報紙． 2．設在統(tǒng)計課考試中，學生A不及格的概率是0.5，學生B不及格的概率是0.2，兩人同時不及格的概率是0.1，求： （1）兩人中至少有一人不及格的概率； （2）兩人都及格的概率； （3）兩人中只有一個人不及格的概率． 3．設A,B為兩個隨機事件，PA=0.7,PA-B=0.3，求PAB ． 4．設PA=PB=0.5，證明：PAB=PA B． 5．設A,B為任意兩個隨機事件，證明：PA∪BA∪BA∪BA∪B=0． 6．證明：在兩個事件A,B中，只有一件發(fā)生的概率為PA+PB-2PAB． 7．人體血型的一個簡化模型包括4種血型和2種抗體：A、B、AB與O型，抗A與抗B．抗體根據(jù)血型與人的血液以不同的形式發(fā)生作用，抗A只與A、AB型血發(fā)生作用，不與B、O型血作用，抗B只與B、AB型血發(fā)生作用，不與A、O型血作用．假設一個人的血型是O型血的概率為0.5，是A型血的概率為0.34，是B型血的概率為0.12．求： （1）抗A、抗B分別與任意一人的血型發(fā)生作用的概率； （2）一個人的血型與兩種抗體都發(fā)生作用的概率． 習題1.3 1．4張卡片上分別寫有字母d,g,o,o，把它們隨機地排列，求恰好組成“good”的概率． 2．在1500個產(chǎn)品中，有400個次品，1100個正品，從中任取200個，求：（1）恰有90個次品的概率；（2）至少有2個次品的概率． 3．一個口袋里裝有10只球，分別編有號碼1,2, ,10，隨機地從這個口袋里取3只球，求：（1）最小號碼是5的概率；（2）最大號碼是5的概率． 4．某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，紅漆3桶．在搬運中所有標簽脫落，交貨人便隨意將這些油漆發(fā)給顧客．問一個訂貨為4桶白漆，3桶黑漆，2桶紅漆的顧客，能按所定顏色得到訂貨的概率是多少？ 5．進行一個試驗：先拋一枚均勻的硬幣，然后拋一個均勻的骰子． （1）描述該試驗的樣本空間； （2）硬幣是正面且骰子點數(shù)是奇數(shù)的概率是多少？ 6．假設2個叫Davis的男孩，3個叫Jones的男孩，4個叫Smith的男孩隨意地坐在一排9座的座位上．那么叫Davis的男孩剛好坐在前兩個座位上，叫Jones的男孩坐在挨著的3個座位上，叫Smith的男孩坐在最后4個座位上的概率是多少？ 7．某碼頭只能容納一只船．現(xiàn)知某日將獨立地來兩只船，且在24小時內(nèi)各時刻來到的可能性相等．若它們需要?？康臅r間分別為3小時和4小時，那么有一只船需要等待進入碼頭的概率是多少？ 8．設在長度為T的時間段內(nèi)，有長短不等的兩個信號隨機地進入了同一接收機，長信號持續(xù)的時間為t1(t1?T)，短信號持續(xù)的時間為t2(t2?T)．求兩個信號互不干擾的概率． 9．把長為l的線段任意折成3段，求它們能構(gòu)成三角形的概率． 習題1.4 1．已知PA=0.8, PB=0.7, PAB=0.8，求PA B. 2．已知PA=0.3,PB=0.4,PAB=0.5，求PB(A∪B)． 3．據(jù)以往資料，某一3口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P{孩子得病}＝0.6，P{母親得病│孩子得病}＝0.5，P{父親得病│母親及孩子得病}＝0.4．求母親及孩子得病但父親未得病的概率． 4．若M件產(chǎn)品中有m件廢品，今在其中任取兩件． （1）已知取出的兩件中至少有一件是廢品，求另一件也是廢品的概率； （2）已知兩件中至少有一件不是廢品，求另一件是廢品的概率； （3）求取出的兩件中至少有一件是廢品的概率． 5．為防止意外事故，礦井內(nèi)同時安裝了兩個警報系統(tǒng)A與B．每個系統(tǒng)單獨使用時，有效率A為0.92，B為0.93．在A失靈條件下B的有效率為0.85．求： （1）發(fā)生事故時，這兩個警報系統(tǒng)至少有一個有效的概率； （2）在B失靈條件下，A有效的概率． 6．一顧客每次購買牙膏都選擇品牌A或B．假定初次購買后，以后每次購買時他仍選擇上一次品牌的概率為13．設該顧客第一次購買時選擇A或B的概率相等，求他第一次和第二次都購買A牌牙膏而第三次和第四次都購買B牌牙膏的概率． 7．假定一個箱子里共裝有一個藍色卡片和四個分別標記為A, B, C, D的紅色卡片．設從箱子中一次隨機地取出兩個卡片． （1）若已知卡片A被取出，求取出的兩個卡片都是紅色的概率； （2）若已知至少取出一個紅色卡片，求兩個卡片都是紅色的概率． 8．某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地撥號．求他撥號不超過三次就接通所要撥打的電話的概率．若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率又是多少？ 習題1.5 1．已知產(chǎn)品中96%是合格的，現(xiàn)有一種簡化的檢查方法，它把真正的合格品確認為合格品的概率為0.98，而誤認廢品為合格品的概率為0.05，求以簡化法檢查為合格品的一個產(chǎn)品確實是合格品的概率． 2．炮戰(zhàn)中，在距目標250米、200米、150米處發(fā)射的概率分別為0.1、0.7、0.2，命中目標的概率分別為0.05、0.1、0.2．現(xiàn)在已知目標被擊毀，求擊毀目標的炮彈是由距目標250米處發(fā)射的概率． 3．已知男性有5%是色盲患者，女性有0.25%是色盲患者．今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人為男性的概率是多少？ 4．某種產(chǎn)品50件為一批，每批產(chǎn)品中沒有次品的概率為0.35，有1,2,3,4件次品的概率分別為0.25,0.2,0.18,0.02．今從某批產(chǎn)品中隨機地取出了10件，檢查出一件次品，求該批產(chǎn)品中的次品不超過2件的概率． 5．將兩條信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01．信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1．若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息也是A的概率是多少？ 6．一盒中裝有15個球，其中9個是新球．第一次比賽時從中任取3個使用，但賽后都放回盒中，第二次比賽再從盒中任取3個， （1）求第二次取出的都是新球的概率； （2）已知第二次取出的球都是新球，求第一次恰好取出2個新球的概率． 7．有兩箱同種類的零件．第一箱裝50只，其中10只是一等品；第二箱裝30只，其中18只是一等品．今從兩箱中任意挑出一箱，然后從該箱中不放回地抽取零件兩次，每次任取一只．求： （1）第一次取到的零件是一等品的概率； （2）在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的零件也是一等品的概率． 習題1.6 1．設PA1=PA2=PA3=13, A1,A2,A3相互獨立，求： （1）A1,A2,A3至少發(fā)生一個的概率； （2）A1,A2,A3恰好發(fā)生一個的概率； （3）A1,A2,A3最多發(fā)生一個的概率. 2．一旦危險情況C發(fā)生，報警電路會閉合發(fā)出警報．借助兩個或更多開關并聯(lián)的報警電路可以增強報警系統(tǒng)的可靠性．現(xiàn)在有兩個開關并聯(lián)的報警電路，每個開關具有0.96的可靠性，問這個報警系統(tǒng)的可靠性是多少？如果要求報警系統(tǒng)的可靠性至少為0.9999，則至少需要多少只開關并聯(lián)？假設各開關的閉合與否是相互獨立的． 3．求下圖所示的兩個系統(tǒng)的可靠性．假設元件i的可靠性為 pi，各元件正常工作與否相互獨立． 　　　 　　3題圖(a) 　　　　　　 3題圖(b) 4．根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運輸某種物資損壞的情況共有三種：損壞2% （記為A1），損壞10%（記為A2），損壞90%（記為A3），且PA1=0.8,PA2=0.15,PA3=0.05．現(xiàn)在從已被運輸?shù)奈镔Y中隨機地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B）．求PA1B, PA2B,PA3B．（這里假設物品件數(shù)很多，取出一件后不影響后一件是否為好品的概率．） 5．將A,B,C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為α，而輸出為其它字母的概率都是1-α/2．今將字母串AAAA, BBBB, CCCC之一輸入信道，輸入AAAA, BBBB, CCCC的概率分別為p1 ,p2 ,p3p1 +p2 +p3=1．若已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設信道傳輸各個字母的工作是相互獨立的．） 6． 設在第一臺車床上制造一級品零件的概率為0.7，在第二臺車床上制造一級品零件的概率為0.8；第一臺車床制造了2個零件，第二臺車床制造了3個零件．求這5個零件均為一級品的概率． 7．設實驗室產(chǎn)生甲類細菌和乙類細菌的機會是相等的．若某次產(chǎn)生了2n個細菌，求： （1）至少有一個是甲類細菌的概率； （2）甲、乙兩類細菌各占一半的概率． 8．設每次射擊打中目標的概率是0.001，射擊5000次，求至少擊中兩彈的概率． 9．某人向一目標獨立重復射擊，每次擊中目標的概率均為p(0<p<1)，求此人第5次射擊恰好第2次命中目標的概率． 10．設A,B是兩個隨機事件，且0<PA<1，證明：PBA=PBA是事件A,B相互獨立的充分必要條件． 章末習題1 1．已知隨機事件A,B滿足PAB=P(AB)，且PA=p，求P(B)． 2．設A,B為兩個隨機事件，PA=0.7,PB=0.6, PBA=0.4，求PA∪B. 3．設兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為19， A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求PA． 4．50只鉚釘隨機地取來用在10個部件上，其中有3個鉚釘強度太弱．每個部件用3只鉚釘．若將3只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則部件的強度就太弱．問發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？ 5．一打靶場備有5支某種型號的槍，其中3支已經(jīng)校正，2支未經(jīng)校正．某人使用已校正的槍擊中目標的概率為p1，使用未經(jīng)校正的槍擊中目標的概率為p2．現(xiàn)在他隨機地取了一支槍，射擊5次都未擊中，求他使用的是已校正的槍的概率（設各次射擊的結(jié)果相互獨立）． 6．將一顆骰子擲兩次，考慮兩個事件：A=“第一次擲得點數(shù)為2或5”，B=“兩次點數(shù)之和至少為7”． （1）求PA,PB； （2）判斷A,B是否相互獨立． 7．設甲、乙、丙三門炮同時獨立地向某目標射擊，命中率分別為0.2、0.3、0.5，目標被命中一發(fā)而被擊毀的概率為0.2，被命中兩發(fā)而被擊毀的概率為0.6，被命中三發(fā)而被擊毀的概率為0.9，求： （1）三門炮在一次射擊中擊毀目標的概率； （2）若已知目標被擊毀，求只由甲炮擊中的概率． 8．甲、乙二人輪流擲一顆骰子，每輪擲一次，誰先擲出6點誰得勝．若從甲開始，問甲、乙得勝的概率各為多少？ 9．A、B兩人輪流射擊，每次每人射擊一槍，射擊的次序是A, B, A, B, A, …，直至擊中兩槍為止．設兩人擊中的概率均為p，且各次擊中與否相互獨立．求擊中的兩槍是由同一個人射擊的概率． 10．一射手對同一目標獨立地進行四次射擊后，至少命中一次的概率為8081，求該射手的命中率． 11．假設一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.70直接出廠，以概率0.30需進一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.80出廠，以概率0.20定為不合格不能出廠．現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n≥2)臺儀器(假設各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立)，求： （1）全部能出廠的概率α； （2）其中恰好有兩件不能出廠的概率β； （3）其中至少有兩件不能出廠的概率θ． 12．若每蠶產(chǎn)n個卵的概率為pn=λnn!e-λ, n=0, 1, 2, ?λ>0，每個卵變?yōu)槌上x的概率為p，且各卵是否變?yōu)槌上x是相互獨立的， （1）求每蠶養(yǎng)出k個成蟲的概率； （2）若某蠶養(yǎng)出k個成蟲，求它產(chǎn)了n個卵的概率． 習題2.1 1. 舉出幾個你所熟悉的能用隨機變量來描述的社會或生活現(xiàn)象. 習題2.2 1. 問c取何值才能使下列數(shù)列 （1） fk=cN, k=1,2,…,N； （2） fk=c?λkk!, k=1,2,…λ>0為常數(shù) 成為分布律. 2. 已知隨機變量X取四個值-1,0,1,2，相應概率分別為12c,34c,58c,716c，試確定常數(shù)c，并計算PX<1X≠0. 3. 一批產(chǎn)品分一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品是二級品的一半. 從這批產(chǎn)品中隨機地抽取一個檢驗質(zhì)量，試用隨機變量描述檢驗的可能結(jié)果，并寫出其分布律. 4. 某運動員的投籃命中率為0.4，寫出他一次投籃命中數(shù)X的分布律. 5. 上拋兩枚硬幣，寫出正面朝上的個數(shù)Y的分布律. 6. 一批花生種子的發(fā)芽率為0.9，如果每穴播種3粒，求發(fā)芽數(shù)X的分布律. 7. 設隨機變量X~B(6,p)，已知PX=1=PX=5，求PX=2的值. 8. 已知事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生不少于三次時，指示燈將發(fā)出信號.若按以下兩種方式進行試驗，分別求指示燈發(fā)出信號的概率. （1）進行5次重復獨立的試驗； （2）進行7次重復獨立的試驗. 9. 某實驗室有自動控制的儀器10只，相互獨立地運行，發(fā)生故障的概率都是0.03. 在一般情況下，一臺儀器的故障需要一個技師處理，問配備多少技師可以保證在設備發(fā)生故障時不能及時處理的概率小于0.05. 10. 從五批零件中各抽取一個零件組裝一種產(chǎn)品，每批抽出非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率均為1/6．如果5個零件中有超過3件的非優(yōu)質(zhì)品就制不成產(chǎn)品，求制不成產(chǎn)品的概率. 11. 某救援站在長度為t的時間（單位：h）內(nèi)收到救援信號的次數(shù)X服從Pt2分布且與時間的起點無關，試求某天下午救援站在1點至6點間至少收到一次救援信號的概率. 12. 若X~P(λ)且PX=2=PX=3，求PX=5. 13. 設步槍射擊飛機的命中率為0.001，今射擊6000次，試按泊松分布近似計算步槍至少擊中飛機兩彈的概率，并求最可能擊中數(shù). 14. 有大量汽車通過一個繁忙的汽車站，經(jīng)統(tǒng)計每輛汽車在一天某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001.若在某天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率（利用泊松定理近似計算）是多少？ 15. 在有8件正品、2件次品的10件產(chǎn)品中隨機地取3件，寫出取出的次品數(shù)X的分布律. 16. 在一副撲克牌中（按54張計）隨機地抽出5張，求抽出黑桃張數(shù)的概率分布. 17. 一批產(chǎn)品的次品率為0.02，從中任取20件，現(xiàn)已初步查出2件次品，求20件中次品數(shù)不少于3的概率. 18. 自動生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)廢品的概率為p，且生產(chǎn)過程中一旦出現(xiàn)廢品即刻重新進行調(diào)整.求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律. 19. 某射手有5發(fā)子彈，每射一發(fā)子彈的命中率都是0.7，如果命中目標便停止射擊，不中目標就一直射擊到子彈用完為止，試求所用子彈數(shù)X的分布律. 20. 從有10件正品、3件次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取，設每次抽取時，各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等. 在下列三種情形下，分別寫出直到取得正品為止所需抽取次數(shù)X的分布律. （1）每次取出的產(chǎn)品不再放回； （2）每次取出的產(chǎn)品立即放回； （3）每次取出一件產(chǎn)品后隨即放回一件正品. 習題2.3 1. 已知隨機變量X~fx=cx2, 0<x<3,0, 其它. 求：(1)常數(shù)c ；(2) P1<X<2, PX≤1,PX=2. 2. 證明函數(shù)fx=xce-x22c, x≥0,0, x<0 (c為正的常數(shù))為密度函數(shù). 3. 設隨機變量X~U-2,3，寫出X的密度函數(shù). 4. 設隨機變量X~fx=c, 1<x<5,0, 其它. 求：(1)常數(shù)c；(2) P1<X<2；(3) PX≤3；(4)PX>2. 5. 設隨機變量X~U-1,1，事件A=0<X<1,B=|X|<14，則正確的是[ ]. (A) P(AB)=0; (B) P(AB)=P(A); (C) PA+P(B)=1; (D) P(AB)=PAP(B). 6. 設隨機變量X~E2，(1)寫出X的密度函數(shù)；(2)求 P-1<X<2,P1<X<3,PX≤5和PX>4. 7. 假定打一次電話所用時間(以分計)服從λ=0.1的指數(shù)分布，試求在排隊打電話的人中，后一個人等待前一個人的時間超過10分鐘的概率和在10分鐘到20分鐘之內(nèi)的概率. 8. 設隨機變量X~N-2,9，寫出X的密度函數(shù). 9. 設隨機變量X~fx=ce-x2+x，求常數(shù)c. 10. 設隨機變量X~N-1,16，求PX<2.44, PX>-1.48,PX<-2.8, P|X|<4及P|X-1|>1. 11. 設隨機變量X~Nμ,σ2，方程y2+4y+X=0無實根的概率為0.5，求μ. 12. 設隨機變量X~N(2,σ2)，且P2<X<4=0.3，求PX<0. 13. 設隨機變量X~N(μ,σ2)，則隨著σ的增大，概率P{X-μ<σ}必然是[ ]. (A) 單調(diào)增大； (B) 單調(diào)減?。? (C) 保持不變； (D) 增減不定. 14. 隨機變量X~ N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22)，且PX-μ1<1>P{Y-μ2<1}，則正確的是[ ]. (A) σ1<σ2； (B) σ1>σ2； (C) μ1<μ2； (D) μ1>μ2. 15. 某機器生產(chǎn)的螺栓的長度(cm)服從參數(shù)為μ=10.05,σ=0.06的正態(tài)分布，規(guī)定長度在范圍10.050.12內(nèi)為合格品，求一只螺栓為不合格品的概率. 16. 設隨機變量X~N(160,σ2)，若P120<X<200≥0.8，求σ. 17. 設f1x為[-1,3]上均勻分布的密度函數(shù)，f2(x)為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)，若 fx=af1x, x>0,bf2x, x≤0 (a>0,b>0) 為密度函數(shù)，則a ,b應該滿足什么條件？ 習題2.4 1. 寫出分布函數(shù)的定義式以及離散與連續(xù)兩種類型隨機變量的分布函數(shù)計算公式. 2. 寫出習題2.2第3題中的隨機變量的分布函數(shù). 3. 寫出習題2.2第15題中的隨機變量的分布函數(shù). 4. 設隨機變量X的密度函數(shù)fx=2x, 0<x<A,0, 其它. 求：(1)常數(shù)A；(2) X的分布函數(shù). 5. 設隨機變量X的密度函數(shù)為 fx=x, 0≤x<1,2-x, 1≤x≤2,0, 其它. 求X的分布函數(shù)F(x)，并計算概率PX=1,P0.5<X≤5. 6. 設隨機變量X的密度函數(shù)為fx=Ae-x，求X的分布函數(shù). 7. 求與密度函數(shù)fx=0.5ex, x<0,0.25, 0≤x<2,0, x≥2對應的分布函數(shù)Fx的表達式. 8. 設隨機變量X的分布函數(shù) Fx=A+Be-x22, x>0,0, x≤0. (1)求常數(shù)A,B；(2)求 P-2<X<2；(3) X是連續(xù)型隨機變量嗎？如果是，則求X的密度函數(shù). 9. 在區(qū)間0,a上任意投擲一個質(zhì)點，設質(zhì)點落在0,a內(nèi)任意一小區(qū)間上的概率與這個小區(qū)間的長度成正比，若以X表示這個質(zhì)點的坐標，試求X的分布函數(shù). 10. 一個靶子是半徑為2m的圓盤，設擊中靶上同心圓盤上任意一點的概率與該圓盤的面積成正比，并且每次射擊都能中靶．若以X表示彈著點與圓心的距離，試求X的分布函數(shù). 11. 設F1(x)與F2(x)分別為隨機變量X1與X2的分布函數(shù)，若Fx=aF1x-bF2(x)為隨機變量的分布函數(shù)，則a, b應該滿足什么條件？ 12*. 設隨機變量X的概率密度為φ(x)，φ-x=φ(x)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a，下列選項正確的是[ ]. (A) F-a=1-0aφxdx； (B) F-a=12-0aφxdx； (C) F-a=F(a)； (D) F-a=2Fa-1. 13*. 設X1和X2是任意兩個連續(xù)型隨機變量，它們的密度函數(shù)分別為f1(x)和f2(x)，分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x)，則下列選項正確的是[ ]. (A) f1x+f2(x)必為某一隨機變量的密度函數(shù)； (B) f1x?f2(x)必為某一隨機變量的密度函數(shù)； (C) F1x+F2(x)必為某一隨機變量的分布函數(shù)； (D) F1x?F2(x)必為某一隨機變量的分布函數(shù). 14*. 設隨機變量X的分布函數(shù) Fx=0, x<0,12, 0≤x<1,1-e-x, x≥1, 求PX=1.問X是連續(xù)型隨機變量嗎？ 15*. 函數(shù)Fx=c1-x2, 0≤x≤2,0, 其它 是分布函數(shù)嗎？說明理由. 習題2.5 1. 已知隨機變量X的分布律為 X -1 0 1 1.5 P 0.1 0.2 0.3 0.4 求Y=2X-1與Z=X2的分布律. 2. 測量一個正方形的邊長，結(jié)果是一個離散型隨機變量X(為方便起見把它看成是離散型的)，分布律為 X 9 10 11 12 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求該正方形的周長和面積的分布律. 3. 設X的密度函數(shù)為fx=2x, &0<x<1,0, 其它. 求Y=2X, Z=-X+1和 U=X2的密度函數(shù). 4.（1）設X~fx，求Y=X2的密度函數(shù)； （2）設X~fx=2xe-x2, x>0,0, x≤0. 求Y=X2的密度函數(shù). 5.（1）設X~fx，求Y=X3的密度函數(shù)； （2）設X~Eλ，求Y=X3的密度函數(shù)； （3）設X~E1，求Y=eX的概率密度. 6. 設X~U0, 1，求： （1）Y=3X+1的密度函數(shù)； （2）Y＝-2lnX的密度函數(shù)； （3）Y＝eX的密度函數(shù). 7. 設X~N0, 1，求： （1）Y＝eX的密度函數(shù)； （2）Y＝X2的密度函數(shù)； （3）Y＝X的密度函數(shù). 8. 設隨機變量X~fx=x, -1<x<1,0, 其它. 令Y=X2+1，求:（1）Y的密度函數(shù)fYy；（2）P-1<Y<32. 9. 對圓片直徑進行測量，測量值X服從區(qū)間5,6上的均勻分布，求圓片面積Y的密度函數(shù). 10*. 設隨機變量X在區(qū)間-1,2上服從均勻分布，隨機變量Y=1, X>0,0, X=0,-1, & X<0. 試求隨機變量Y的分布律. 11*. 假設由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑(單位:mm)服從正態(tài)分布N11,1，內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品，其余為合格品．銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品則虧損．已知銷售利潤Y(單位：元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關系： Y=-1, X<10,20, 10≤X≤12,-5, & X>12. 求Y的分布律. 章末習題2 1. 下面給出的數(shù)列哪些是隨機變量的分布律？說明理由. (1)Pi=i15,i=0,1,2,3,4,5； (2) Pi=(5-i2)6,i=0,1,2,3； (3)Pi=14,i=2,3,4,5； (4) Pi=i+125,i=1,2,3,4,5. 2. 試確定常數(shù)c，使PX=i=C2i(i=0,1,2,3,4)為分布律，并求：PX≤2;P0.5<X<2.5. 3. 從正品率為95%的一大批產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品進行檢驗，試用隨機變量表示檢驗結(jié)果，并寫出其概率分布. 4. 試分別用離散型分布的總和形式和連續(xù)型分布的積分形式分別表達概率PX-a>x和PX-a≤x. 5. 火炮向某目標獨立射擊，每發(fā)炮彈命中目標的概率為0.6，且只要命中一發(fā)目標就被摧毀.今發(fā)射4發(fā)，求摧毀目標的概率.若使目標被摧毀的概率達到0.999以上，則至少要發(fā)射多少發(fā)炮彈？ 6. 已知隨機變量 X的概率密度fx=2x, 0<x<1,0, 其它. 現(xiàn)對X進行n次獨立的重復觀測，并以Vn表示觀測值不大于0.1的次數(shù)，求Vn的概率分布. 7. 某種生物出現(xiàn)畸形的概率為0.001，如果在相同的環(huán)境中觀察5000例，試按泊松分布近似計算其中至多有兩例是畸形的概率，并求最可能畸形例數(shù). 8. 某試驗的成功概率為0.75，失敗概率為0.25，若以X表示試驗獲得首次成功所進行的試驗次數(shù)，寫出X的分布律. 9. 袋中裝有1個白球、4個紅球，每次從中任取一球，直到取出白球為止，試寫出取球次數(shù)X的分布律.假定取球方式為每次取出的紅球不再放回，或者為每次取出的紅球仍然放回. 10. 已知fx=K1+x-a2 (a為常數(shù))是概率密度函數(shù)，稱為參數(shù)為a的柯西(Cauchy)分布，求常數(shù)K. 11. 設X是區(qū)間0,1中的隨機數(shù)，試確定滿足條件0<a<1的數(shù)a，使得隨機抽取且可以重復的4個數(shù)的數(shù)值中至少有一個超過a的概率為0.9. 12. 設顧客在某銀行窗口等待服務的時間(單位:min)服從λ=0.2的指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務，若超過10min，他就離開. (1)設某顧客某天去銀行，求他未等服務就離開的概率； (2)設某顧客一個月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務而離開的概率. 13. 某軍事掩體的高度是按戰(zhàn)士與掩體門頂撞頭的概率在0.01以下設計的.設戰(zhàn)士身高服從參數(shù)μ=165cm, σ=5cm的正態(tài)分布，試確定掩體門的高度. 14. 設X~Nμ,36,Y~N(μ,64)，記p1=PX≤μ-6,p2=PY≥μ+8，則對任何實數(shù)μ都有[ ]. (A) p1= p2； (B) p1> p2； (C) p1< p2 ； (D) p1≠ p2. 15. 設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對給定的α∈(0,1) 數(shù)uα滿足PX>uα=α.若PX<x=α，則x等于[ ]. (A) uα2 ； (B) u1-α2 ； (C) u1-α2 ； (D) u1-α. 16. 設隨機變量X~fx=A2x, 0<x<1,0, 其它, 計算PX≤0.20.1<X≤0.5，求X的分布函數(shù)Fx，畫出Fx的圖形. 17. 設隨機變量X的密度函數(shù)為 fx=1+x, -1≤x<0, 1-x, 0≤x≤1, 0, 其它. 求X的分布函數(shù)F(x). 18. 設隨機變量X的分布函數(shù)為 Fx=A, x≤0,Bx2, 0<x≤1,Cx-x22-1, 1<x≤2,1, x>2. (1)求常數(shù)A,B,C；(2)求P{X>12}；(3)X是連續(xù)型隨機變量嗎？如果是，則求X的密度函數(shù). 19. 設隨機變量X的密度函數(shù)為 fx=13, x∈0,1,29, x∈3,6,0, 其它. 若k使得PX≥k=23，求k的取值范圍. 20. 已知隨機變量X的分布律為 X -2 0 1 1.5 3 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 求X+2、-X+1與 X2的分布律. 21. 設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明：Y=1-e-2X服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布. 22. 設隨機變量X~fx=2π1+x2, x>0,0, x≤0. 求Y=lnX的密度函數(shù). 23. 隨機變量X的密度函數(shù)為 fXx=12, -1<x<0,14, 0≤x<2,0, 其它. 求Y=X2的密度函數(shù). 24. 設隨機變量X服從參數(shù)為λ=5的指數(shù)分布，則隨機變量Y=min?{X,2}的分布函數(shù)是[ ]. (A) 連續(xù)函數(shù)； (B) 至少有兩個間斷點； (C) 階梯函數(shù)； (D) 恰好有一個間斷點. 25*. 設隨機變量X的分布函數(shù) Fx=0, x<0,cx3, 0≤x<3,1, x≥3. 若PX=3=0.1，求常數(shù)c，問X是連續(xù)型隨機變量嗎？ 習題3.1 1. 舉出幾個你所熟悉的能用多維隨機變量來描述的社會或生活現(xiàn)象. 習題3.2 1. 袋中裝有3個球，分別標有數(shù)字1,2,2.從袋中順次取兩次球，每次任取一個．以X,Y分別記第一、二次取到的球上的數(shù)字，試就有放回和不放回兩種取球方式，寫出X,Y的分布律. 2. 袋中裝有1個紅球、2個黑球與3個白球.現(xiàn)從袋中取兩次，每次取一個球，以X,Y,Z分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù). 若每次取出的球(1)立即放回袋中，再取下一個，或者(2)不放回袋中接著便取下一個，就這兩種取球方式，寫出X,Y的概率分布，求PX=1Z=0. 3. 將一硬幣連擲三次，以X表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)之差的絕對值，試寫出X和Y的聯(lián)合分布律. 4. 以X表示在整數(shù)1,2,3,4中隨機取的一個值，以Y表示在整數(shù)1~X中隨機取的另一個值，求X,Y的分布律. 5. 一射手射擊命中目標的概率為p0<p<1，射擊進行到擊中目標兩次為止.設以X表示第一次擊中目標所進行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進行的射擊次數(shù)，試求X和Y的聯(lián)合分布律. 6. 對第1題-第4題，求邊緣分布律. 7. 設隨機變量U在區(qū)間[-2,2]上服從均勻分布，隨機變量 X=-1, 若U≤-1,1, 若U>-1. Y=-1, 若U≤1,1, 若U>1. 求X和Y的聯(lián)合概率分布. 8. 設A,B為隨機事件，且PA=14,PBA=13,PAB=12，令 X=1, A發(fā)生, 0, A不發(fā)生. Y=1, B發(fā)生, 0, B不發(fā)生. 求隨機變量(X,Y)的概率分布. 9. 已知隨機變量X1,X2的概率分布為 X1~-101141214 , X2~ 011212 ， 且PX1X2=0=1，求X1和X2的聯(lián)合概率分布. 10. 設二維離散型隨機變量X,Y的分布律為 Y X -2 -1 0 1 2 1 2 3 0.02 0.10 0.05 0.08 0.01 0.00 0.03 0.11 0.15 0.20 0.08 0.00 0.06 0.04 0.07 求：（1）邊緣分布律；（2）在X=1條件下Y的條件分布律和在Y=0條件下X的條件分布律；（3）PX>Y,PX+Y=0. 11. 已知隨機變量X服從參數(shù)為p=0.6的0-1分布，且在X=0、X=1條件下隨機變量Y的條件分布律為 YX=0 1 2 3 與 YX=1 1 2 3 P 14 12 14 P 12 16 13 求X,Y的分布律. 習題3.3 1. 設隨機變量X,Y的密度函數(shù)為 fx,y=ax2y, x2<y<1,0, 其它. 求：(1)常數(shù)a；(2) PX>0.5,PY>0.5. 2. 設隨機變量X,Y的密度函數(shù)fx,y=bx, 0≤x≤y≤1,0, 其它. 求：(1)常數(shù)b；(2) PX+Y≤1. 3. 設隨機變量X,Y~ fx,y=ce-x, 0<y<x,0, 其它. 求：(1)常數(shù)c；(2)PX≤1Y≤1 . 4. 對第1題-第3題，求邊緣密度函數(shù)與條件密度函數(shù). 5. 設二維隨機變量(X,Y)在平面區(qū)域D上服從均勻分布，其中區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0,x=1,x=e2圍成，寫出(X,Y)的密度函數(shù)，并求(X,Y)關于X的邊緣密度函數(shù)在x=2的值. 6. 隨機變量X,Y在區(qū)域D上服從均勻分布，其中D為x軸、y軸及直線y=2x+1圍成的三角形區(qū)域，求條件密度函數(shù)fYXyx. 7. 已知隨機變量X,Y的密度函數(shù)fx,y=Ae-2x2+2xy-y2, -∞<x<+∞,-∞<y<+∞，求常數(shù)A及條件密度函數(shù)fYXyx. 習題3.4 1. 對習題3.2的第1題，求隨機變量(X,Y)的分布函數(shù). 2. 對習題3.3的第3題，求隨機變量(X,Y)的分布函數(shù). 3. 對第1、2題，求隨機變量(X,Y)的邊緣分布函數(shù). 4. 已知連續(xù)型隨機變量X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 Fx,y=1-e-0.5x-e-0.5y+e-0.5x+y, x≥0,y≥0,0, 其它. 求：（1）X,Y的邊緣分布函數(shù)；（2）X,Y皆大于0.1的概率. 5. 隨機變量X的密度函數(shù)為 fXx=12, -1<x<0,14, 0≤x<2,0, 其它. 而Y=X2，F(xiàn)(x,y)為隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，求F-12,4. 6*. 證明函數(shù)Fx,y=1, x+y>0,0, x+y≤0 不是分布函數(shù). 習題3.5 1. 對習題3.2的第1、4題，判斷隨機變量X,Y是否相互獨立. 2. 對習題3.3的第3、7題，判斷隨機變量X,Y是否相互獨立. 3. 隨機變量X, Y相互獨立， X,Y的分布律為 X -1 0 1 和 Y -2 2 P 1 3 13 13 P 1 2 12 寫出X,Y的分布律，并求PX+Y=1和PXY=0. 4. 設隨機變量X,Y相互獨立且有相同的分布， X的分布律為 X 1 2 P 2 3 1 3 記U=maxX,Y,V=minX,Y，求(U,V)的分布律. 5. 下表列出了隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律與邊緣分布律中的部分數(shù)值，如果X與Y相互獨立，試在表中的空白處填上其余數(shù)值. Y X y1 y2 y3 PX x1 18 x2 18 PY 16 1 6．設隨機變量X與Y相互獨立且有相同的分布：PX=-1=PY=-1= 12,PX=1=PY=1= 12，則下列選項正確的是[ ]. （A）PX=Y= 12；（B）PX=Y=1；（C）PX+Y=0= 14；（D）PXY=1= 14. 7. 設隨機變量(X,Y)的概率分布為 Y X 0 1 0 1 0.4 a b 0.1 且事件X=0與X+Y=1相互獨立，求常數(shù)a,b. 8. 已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度 fx,y=4xy, 0≤x≤1,0≤y≤1,0, 其它. 求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)，計算事件0<X<0.5,0<Y<0.5的概率. 9. 已知X,Y的密度函數(shù) fx,y=2e-(2x+y), x>0,y>0,0, 其它. 求X,Y的分布函數(shù)F(x,y)，計算事件X>5、Y>10的概率. 10. 設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求PmaxX,Y≤1. 11. 在區(qū)間0,1中隨機地取兩個數(shù)，求兩數(shù)之差的絕對值小于0.5的概率. 12. 設隨機變量 X和Y相互獨立，X~U0,0.2,Y~E(5)． （1）寫出X,Y的密度函數(shù)；（2）求 PY<X. 13. 設隨機變量Xi~Nμ,σ2(i=1,2,?,n)，且它們相互獨立，寫出X1,X2,?,Xn的聯(lián)合密度函數(shù). 習題3.6 1. 已知隨機變量X,Y的分布律 Y X -1 0 1 -1 1 0.3 0.2 0 0 0.4 0.1 求Z=2X-Y,U=minX,Y,V=maxX,Y和W=XY的分布律. 2. 設二維隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律為 Y X -2 -1 0 1 2 1 2 3 0.02 0.10 0.05 0.08 0.01 0.00 0.03 0.11 0.15 0.20 0.08 0.00 0.06 0.04 0.07 求：(1) Z=X+Y,U=maxX,Y和V=minX,Y的分布律；(2) PX=2Y=2,PX=3Y=0. 3. 一個儀器的長度是它的兩個主要組成部件的長度的和，設這兩個部件的長度X和Y為兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布律分別為 X 9 10 11 與 Y 6 7 P 0.3 0.5 0.2 P 0.4 0.6 求此儀器長度的分布律. 4. 設隨機變量 X與Y相互獨立，且均服從U0,1，求Z=X+Y的概率密度函數(shù). 5. 設二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為fx,y=e-x, 0<y<x,0, 其它, 求Z=X-Y的密度函數(shù). 6. 設二維隨機變量X,Y的概率密度函數(shù)為 fx,y=e-x+y, x>0,y>0,0, 其它. 求Z=X+Y2的概率密度函數(shù). 7. 若隨機變量X,Y相互獨立，且均服從N0,1，證明Z=X2+Y2的概率密度函數(shù)為 fZz=12e-z2, z>0,0, z≤0. 8. 設隨機變量X,Y相互獨立，且有相同的分布函數(shù)F(x)，則Z=maxX,Y?的分布函數(shù)為[ ]. (A) F2x； (B)Fx?Fy； (C) 1-1-Fx2； (D) 1-Fx?1-Fy. 9. 某電子元件的壽命X(單位：小時)服從參數(shù)為0.0015的指數(shù)分布，現(xiàn)有6個元件在獨立地工作，求6個元件工作時間均在800小時以上的概率和不超過3000小時的概率. 10*. 設隨機變量X,Y相互獨立，且X的分布律為PX=i=1/3i=-1,0,1，Y的概率密度函數(shù)為fYy=1, 0≤y<10, 其它 ，記Z=X+Y，（1）求Z的概率分布；（2）求PZ≤12X=0. 章末習題3 1. 設隨機變量X,Y在區(qū)域D=x,y|x2+y2≤1且y≥0內(nèi)服從均勻分布，在三次重復獨立觀察中事件X≥Y出現(xiàn)的次數(shù)為Z，試求PZ=2. 2. 袋中裝有1個紅球、4個白球，任意取出2個球，若以X表示其中的紅球數(shù)，以Y表示其中的白球數(shù)，試求隨機變量X,Y的分布律和分布函數(shù). 3. 設隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為 X Y 0 1 2 -1 1 225 a 125 b 325 225 且PY=1X=0=35，求常數(shù)a,b的值. 4. 已知隨機變量Xi~-1 0 1 14 12 14 (i=1,2)，且PX1X2=0=1，則PX1=X2等于[ ]. (A) 0； (B)1/4； (C) 1/2； (D) 1. 5. 設隨機變量X,Y的分布律為 X,Y 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 P 1 6 19 118 13 a b 若X,Y相互獨立，試求常數(shù)a, b的值. 6. 設隨機變量X與Y相互獨立，它們的分布律分別為 X -2 -1 0 0.5 和 Y -0.5 1 3 P 14 13 112 13 P 12 14 14 求X,Y的分布律及PX+Y=1和PX+Y≠0. 7. 設二維離散型隨機變量X,Y的分布律為 Y X 1 2 3 4 -1 0 1 0.20 0.03 0.21 0.10 0 0.08 0.11 0.09 0.07 0.11 0 0 求：（1）邊緣分布律；（2）在X=-1和在Y=2條件下的條件分布律；（3）PX≠Y,PX≤0. 8. 設X和Y為兩個隨機變量，且PX≥0,Y≥0=3/7,PX≥0=PY≥0=4/7，求PmaxX,Y≥0. 9. 一個商店每周四進貨，以備星期五、六、日銷售. 根據(jù)多周統(tǒng)計，這三天的銷售件數(shù)X1,X2,X3彼此獨立，且有如下的分布律 X1 10 11 12 X2 13 14 15 X3 17 18 19 P 0.2 0.7 0.1 P 0.3 0.6 0.1 P 0.1 0.8 0.1 問三天的銷售總量這個隨機變量可以取那些值？進貨45件不夠賣的概率有多大？進貨40件夠賣的概率又是多少？ 10. 設二維隨機變量X,Y在區(qū)域G=x,yx2≤y≤x上服從均勻分布，試求X,Y的概率密度函數(shù)及邊緣密度函數(shù). 11. 已知隨機變量X,Y的密度函數(shù)fx,y=1πe-12x2+2xy+5y2, -∞<x,y<+∞，求條件密度函數(shù)fYXyx和fXYxy. 12. 設隨機變量X,Y的概率密度為 fx,y=x2+xy3, 0≤x≤1, 0≤y≤2,0, 其它. 求：（1）PX+Y≥1；（2）邊緣密度函數(shù)與條件密度函數(shù)；（3）判斷X,Y的獨立性. 13. 已知隨機變量X,Y的概率密度為 fx,y=6xy2-x-y, 0≤x≤1,0≤y≤1,0, 其它. (1)求條件密度函數(shù)fX|Yx|y和fY|Xy|x；(2)說明X,Y是否相互獨立. 14. 若隨機變量X,Y的密度函數(shù) fx,y=12e-(3x+4y), x>0,y>0,0, 其它. 若X,Y相互獨立，求聯(lián)合分布函數(shù)Fx,y. 15. 設隨機變量X1,X2相互獨立， X1~Bn1,p, X2~Bn2,p，證明：X1+X2~Bn1+n2,p. 16. 設隨機變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均勻分布，求：（1）X,Y的分布函數(shù)；（2）隨機變量U=|X-Y|的密度函數(shù). 17. 兩臺同樣自動記錄儀，每臺無故障工作的時間服從參數(shù)為的指數(shù)分布. 首先開動其中一臺，當其發(fā)生故障時停用而另一臺自行開動，試求兩臺記錄儀無故障工作的總時間T的概率密度f(t). 18. 設X與Y相互獨立且都服從N(0,1)，試求Z=X2+Y2的密度函數(shù). 19. 一電路裝有三個同種電氣元件，工作狀態(tài)相互獨立，且無故障工作時間均服從參數(shù)為λ>0的指數(shù)分布. 當三個元件都無故障時電路正常工作，否則整個電路不能正常工作. 試求電路正常工作時間T的概率分布. 20. 若隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立，且皆服從參數(shù)分別為λ1,λ2,…,λn的指數(shù)分布，試求Y=minX1,X2,…,Xn?概率分布. 21. 有四個獨立工作的元件Rij(i.j=1,2)，它們的壽命(單位：小時)均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.若R11與R12串聯(lián)為子系統(tǒng)R1，R21與R22串聯(lián)為子系統(tǒng)R2，子系統(tǒng)R1與R2并聯(lián)為系統(tǒng)R，R的壽命為Z，試求Z的壽命分布. 22. 設隨機變量X1,X2,…,X5相互獨立，且均服從正態(tài)分布N(12,5)，求. 習題4.1 1．（1）在下面的句子中隨機地取一單詞，以X表示取到的單詞中的字母個數(shù)，寫出X的分布律，并求EX． （2）在下面句子的30個字母中隨機地取一字母，以Y表示取到的字母所在單詞中的字母數(shù)，寫出Y的分布律，并求EY． “THE GIRL PUT ON HER BEAU