高一數(shù)學(xué)上學(xué)期周清 第八周周清 一元二次不等式

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第八周周清 一元二次不等式 　核心知識 總結(jié)升華： 　　1. 初學(xué)二次不等式的解法應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能力； 　　2. 當(dāng)時，用配方法，結(jié)合符號法則解答比較簡潔（如第2、3小題）；當(dāng)且是一個完全平方數(shù)時，利用因式分解和符號法則比較快捷，（如第1小題）. 　　3. 當(dāng)二次項的系數(shù)小于0時，一般都轉(zhuǎn)化為大于0后，再解答. 自我測評 類型二：已知一元二次不等式的解集求待定系數(shù) 　　例2．不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集。 　　思路點撥：由二次不等式的解集為可知：4、5是方程的二根，故由韋達(dá)定理可求出、的值，從而解得. 　　解析：由題意可知方程的兩根為和 　　　　　由韋達(dá)定理有， 　　　　　∴， 　　　　　∴化為，即 　　　　　，解得， 　　　　　故不等式的解集為. 　　總結(jié)升華：二次方程的根是二次函數(shù)的零點，也是相應(yīng)的不等式的解集的端點.根據(jù)不等式的解集的端點恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系，這一點是解此類題的關(guān)鍵。 　　舉一反三： 　　【變式1】不等式ax2+bx+12＞0的解集為{x|-3＜x＜2}，則a=_______, b=________。 　　【答案】由不等式的解集為{x|-3＜x＜2}知a＜0，且方程ax2+bx+12=0的兩根為-3，2。 　　　　　　由根與系數(shù)關(guān)系得 　　　　　　解得a=-2, b=-2。 　　【變式2】已知的解為,試求、,并解不等式. 　　【答案】由韋達(dá)定理有：，，∴,. 　　　　　　∴代入不等式得， 　　　　　　即，，解得， 　　　　　　故不等式的解集為：. 　　【變式3】已知關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集. 　　【答案】由韋達(dá)定理有：，解得, 代入不等式得 　　　　　　，即，解得或. 　　　　　　∴的解集為：. 類型三：二次項系數(shù)含有字母的不等式恒成立恒不成立問題 　　例3．已知關(guān)于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3＞0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。 　　思路點撥：不等式對一切實數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項的系數(shù)。 　　解析： 　　(1)當(dāng)m2+4m-5=0時，m=1或m=-5 　　　 若m=1，則不等式化為3＞0, 對一切實數(shù)x成立，符合題意。 　　　 若m=-5，則不等式為24x+3＞0，不滿足對一切實數(shù)x均成立，所以m=-5舍去。 　　(2)當(dāng)m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5時， 　　　 由此一元二次不等式的解集為R知，拋物線y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3開口向上，且與x軸無交點， 　　　 所以， 　　　 即， ∴ 1＜m＜19。 　　　 綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是{m|1≤m＜19}。 　　總結(jié)升華：情況(1)是容易忽略的，所以當(dāng)我們遇到二次項系數(shù)含有字母時，一般需討論。 　　舉一反三： 　　【變式1】 若關(guān)于的不等式的解集為空集，求的取值范圍. 　　【答案】關(guān)于的不等式的解集為空集 　　　　　　 即的解集為R 　　　　　　 當(dāng)時，原不等式為：，即，不符合題意，舍去. 　　　　　　 當(dāng)時，原不等式為一元二次不等式，只需且， 　　　　　　 即，解得， 　　　　　　 綜上，的取值范圍為：. 　　【變式2】若關(guān)于的不等式的解為一切實數(shù)，求的取值范圍. 　　【答案】當(dāng)時，原不等式為：，即，不符合題意，舍去. 　　　　　　 當(dāng)時，原不等式為一元二次不等式，只需且， 　　　　　　 即，解得， 　　　　　　 綜上，的取值范圍為：. 　　【變式3】若關(guān)于的不等式的解集為非空集，求的取值范圍. 　　【答案】當(dāng)時，原不等式為：，即，符合題意. 　　　　　　 當(dāng)時，原不等式為一元二次不等式，顯然也符合題意 　　　　　　 當(dāng)時，只需， 　　　　　　 即，解得， 　　　　　　 綜上，的取值范圍為：.