高中數(shù)學(xué)必修一、必修四、必修五知識點(diǎn).doc

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高中數(shù)學(xué)必修一、必修四、必修五知識點(diǎn) 一、知識點(diǎn)梳理 必修一第一單元 1.集合定義：一組對象的全體形成一個(gè)集合. 2.特征：確定性、互異性、無序性. 3.表示法：列舉法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韋恩圖、語言描述法{不是直角三角形的三角形} 4.常用的數(shù)集：自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、正整數(shù)集N. 5.集合的分類： (1) 有限集 含有有限個(gè)元素的集合 (2) 無限集 含有無限個(gè)元素的集合 (3) 空集φ 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝ 5.關(guān)系：屬于∈、不屬于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝. 6.集合的運(yùn)算 （1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合；表示為： 數(shù)學(xué)表達(dá)式： 性質(zhì)： （2）并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合；表示為： 數(shù)學(xué)表達(dá)式： 性質(zhì)： （3）補(bǔ)集：已知全集I，集合，由所有屬于I且不屬于A的元素組成的集合。表示： 數(shù)學(xué)表達(dá)式： 方法：韋恩示意圖, 數(shù)軸分析. 注意：① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}； ② AB時(shí)，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ. ③若集合A中有n個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為，所有真子集的個(gè)數(shù)是-1, 所有非空真子集的個(gè)數(shù)是。 ④空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時(shí)候不要遺忘了的情況。 ⑤符號“”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 點(diǎn)與直線（面）的關(guān)系 ；符號“”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 面與直線(面)的關(guān)系 。 8.函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中x叫做自變量.x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域. ①．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。 求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零； (4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合. (6)指數(shù)為零底不可以等于零， (7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義. ②．求函數(shù)的值域的方法 : 先考慮其定義域 (1)觀察法 (2)配方法 (3)代換法 9.兩個(gè)函數(shù)的相等：當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù). 10.映射的定義：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)（包括集合A、B，以及集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f）叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B. 由映射和函數(shù)的定義可知，函數(shù)是一類特殊的映射，它要求A、B非空且皆為數(shù)集. 11.函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法、圖象法 12.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì)) （1）增函數(shù) 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x11，且∈*． 當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．此時(shí)，的次方根用符號表示． 式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)． 當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．此時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號－表示．正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±（>0）． 由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作． 結(jié)論：當(dāng)是奇數(shù)時(shí)， 當(dāng)是偶數(shù)時(shí)， 2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 規(guī)定： 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪． 3．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) （1）· ； （2） ； （3） ． 一般地，無理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪． 4.一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽． 5.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 圖象特征 函數(shù)性質(zhì) 向x、y軸正負(fù)方向無限延伸 函數(shù)的定義域?yàn)镽 圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都在x軸上方 函數(shù)的值域?yàn)镽+ 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1） 自左向右看， 圖象逐漸上升 自左向右看， 圖象逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù) 在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1 在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1 在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1 在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1 圖象上升趨勢是越來越陡 圖象上升趨勢是越來越緩 函數(shù)值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快； 函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢； 6.對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作： — 底數(shù)，— 真數(shù)，— 對數(shù)式 說明： 注意底數(shù)的限制，且； ； 注意對數(shù)的書寫格式． 兩個(gè)重要對數(shù)： 常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)； 自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù)． 7.對數(shù)式與指數(shù)式的互化： 8.對數(shù)的性質(zhì) （1）負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)； （2）1的對數(shù)是零：； （3）底數(shù)的對數(shù)是1：；（4）對數(shù)恒等式：； （5）． 9.如果，且，，，那么： （1）·＋； （2）－； （3） ． 10.換底公式 （，且；，且；）． （1）； （2）． 11.對數(shù)函數(shù)的概念 1．定義：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)。其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）． 注意： 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別．如：， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)． 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且． 類比指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究，研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并填寫如下表格： 圖象特征 函數(shù)性質(zhì) 函數(shù)圖象都在y軸右側(cè) 函數(shù)的定義域?yàn)椋?，＋∞） 圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱 非奇非偶函數(shù) 向y軸正負(fù)方向無限延伸 函數(shù)的值域?yàn)镽 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，1） 自左向右看， 圖象逐漸上升 自左向右看， 圖象逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù) 第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0 第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0 第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0 第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0 規(guī)律：在第一象限內(nèi)，自左向右， 圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大． 12.冪函數(shù)：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)． 冪函數(shù)性質(zhì)歸納： （1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）； （2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸； （3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸． 必修一第三單元 1.函數(shù)零點(diǎn)的概念： 對于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)． 函數(shù)零點(diǎn)的意義： 函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)． 2.函數(shù)零點(diǎn)的求法： 求函數(shù)的零點(diǎn)： （代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根； （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)． 3.零點(diǎn)存在性定理： 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根. 4.二分法及步驟： 對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下： 1．確定區(qū)間，，驗(yàn)證·，給定精度； 2．求區(qū)間，的中點(diǎn)； 3．計(jì)算： 若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)； 若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； 若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； 4．判斷是否達(dá)到精度； 即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2~4． 必修四第一單元 1.任意角的三角函數(shù)的意義及其求法：在角上的終邊上任取一點(diǎn)，記 則, , . 2.三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號： 正弦：上正下負(fù); 余弦：左負(fù)右正； 正切：一、三正，二、四負(fù) 3.同角三角函數(shù)間的關(guān)系： . . 4.誘導(dǎo)公式 ，，． ，，． ，，． ，，． 口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限． ，． ， 口訣：奇變偶不變，符號看象限． 5. 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)： 名稱 定義域 值 域 圖象 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單 調(diào) 性 單調(diào)增區(qū)間: () 單調(diào)減區(qū)間: ) 單調(diào)增區(qū)間: () 單調(diào)減區(qū)間: () () 單調(diào)增區(qū)間： () 周期性 對 稱 性 對稱中心: , 對稱軸: ， 對稱中心:, 對稱軸: , 對稱中心:, 對稱軸：無 最值 時(shí)，； 時(shí)， 時(shí)，； 時(shí)， 無 6.得到函數(shù)的圖象的方法： 方法1、函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象． 方法2、函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象． 7.函數(shù)的性質(zhì)： ①振幅：；②周期：；③頻率：；④相位：；⑤初相：． 函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為 ；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，． 必修四第二單元 16、向量：既有大小，又有方向的量． 數(shù)量：只有大小，沒有方向的量． 有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度． 零向量：長度為的向量． 單位向量：長度等于個(gè)單位的向量． 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行． 相等向量：長度相等且方向相同的向量． 17、向量加法運(yùn)算： ⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連． ⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)． ⑶三角形不等式：． ⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：； ②結(jié)合律：；③． ⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則． 18、向量減法運(yùn)算： ⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量． ⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則． 設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則． 19、向量數(shù)乘運(yùn)算： ⑴實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作． ①； ②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，． ⑵運(yùn)算律：①；②；③． ⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則． 20、向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使． 設(shè)，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量、共線． 21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使．（不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底） 22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是． 23、平面向量的數(shù)量積： ⑴．零向量與任一向量的數(shù)量積為． ⑵性質(zhì)：設(shè)和都是非零向量，則①．②當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或．③． ⑶運(yùn)算律：①；②；③． ⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，，則． 若，則，或． 設(shè)，，則． 設(shè)、都是非零向量，，，是與的夾角，則． 必修四第三單元 1.三角恒等變換公式 正弦的兩角和、差公式：sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β 余弦的兩角和、差公式：cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β 正切的兩角和、差公式：tan（α＋β）＝ tan（α－β）＝ 正弦的二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α 余弦的二倍角公式：cos 2α＝cos2 α－sin2 α ＝2cos2 α－1 ＝1－2sin2 α 正切的二倍角公式：tan 2α＝ 必修五第一單元 1.正弦定理：在一個(gè)三角形中,各邊和它的所對角的正弦的比相等. 形式一： (解三角形的重要工具) 形式二： (邊化正弦) 形式三：（比的性質(zhì)） 形式四：（正弦化邊） 利用正弦定理能夠解兩類三角形： 1、已知三角形的任意兩角與任意一邊.其步驟是： （1）利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角； （2）利用正弦定理求出另兩邊. 2、已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角.其步驟是： （1）利用正弦定理求出另一邊的對角； （2）利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)內(nèi)角； （3）利用正弦定理求出第三邊. 此時(shí)，可能無解或僅有一解或有兩解. 判斷有多少個(gè)解的方法： 在中，已知a,b和A，解三角形時(shí)，由正弦定理得 則有兩解. 2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍. (遇見二次想余弦)形式一： 形式二： ，， 利用余弦定理能夠解三類三角形： 1、已知三角形的三邊，求三個(gè)角.其步驟是： （1）利用余弦定理求出兩個(gè)角； （2）利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角. 2、已知三角形的兩邊及其夾角，求第三邊和另外兩個(gè)角，其步驟是： 方法一：（1）利用余弦定理求出第三邊； （2）利用余弦定理求出一個(gè)角； （3）利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角. 方法二：（1）利用余弦定理求出第三邊； （2）利用正弦定理求出一個(gè)角； （3）利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角. 3、已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角：用余弦定理求出第三邊，此時(shí)第三邊的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù). 必修五第二單元 1．?dāng)?shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。 2．等差數(shù)列的有關(guān)概念： (1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。 (2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。 (3）等差數(shù)列的前和：，。 (4）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。 提醒： [1]等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。 [2]為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（公差為2） 3．等差數(shù)列的性質(zhì)： (1）．當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. (2）．若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。 (3）．當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有. (4）．若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、、 ，…也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. (5）．在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，，（這里即）；。 4．等比數(shù)列的有關(guān)概念： (1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。 (2）．等比數(shù)列的通項(xiàng)：或。 (3）．等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。 特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對分和兩種情形討論求解。 (4）．等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)。 提醒： [1]等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；[2]為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為…，…（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為…，…，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為。 5.等比數(shù)列的性質(zhì)： （1）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有. (2) 若是等比數(shù)列，則、、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，…也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. (3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列. 五.數(shù)列的通項(xiàng)的求法： ⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。 ⑵已知（即）求，用作差法：。 ⑶已知求，用作商法：。 ⑷若求用累加法：。 ⑸已知求，用累乘法：。 ⑹已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。 注意：（1）用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當(dāng)時(shí)，）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解。 六.數(shù)列求和的常用方法： 1．公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；③常用公式：，，. 2．分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和. 3．倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 4．錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 5．裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有： ①； ②； ③，； ④ ；⑤； ⑥. 6．通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。