高中數(shù)學(xué) 2.2.2 事件的相互獨立性課件 新人教A版選修2-3 .ppt

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2.2.2 事件的相互獨立性,事件的相互獨立性 (1)定義:設(shè)A,B為兩個事件,如果P(AB)=_________,則稱事件A 與事件B相互獨立. (2)性質(zhì):A與B是相互獨立事件,則 也相互獨立.,P(A)P(B),1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)不可能事件與任何一個事件相互獨立. ( ) (2)必然事件與任何一個事件相互獨立. ( ) (3)如果事件A與事件B相互獨立,則P(B|A)=P(B). ( ) (4)“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互獨立”的充要條 件. ( ),【解析】(1)正確.不可能事件的發(fā)生與任何一個事件的發(fā)生 沒有影響. (2)正確.必然事件的發(fā)生與任何一個事件的發(fā)生沒有影響. (3)正確.如果事件A與事件B相互獨立,則P(B|A)=P(B). (4)正確.如果事件A與事件B相互獨立,則有P(B|A)=P(B), 又P(B|A)= ,從而P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),即 P(AB)=P(A)P(B)是事件A,B相互獨立的充要條件. 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)甲、乙兩水文站同時作水文預(yù)報,如果甲站、乙站各自預(yù)報 的準確率為0.8和0.7.那么,在一次預(yù)報中,甲、乙兩站預(yù)報都 準確的概率為 . (2)一件產(chǎn)品要經(jīng)過兩道獨立的工序,第一道工序的次品率為a, 第二道工序的次品率為b,則該產(chǎn)品的正品率為 . (3)已知A,B是相互獨立事件,且P(A)= ,P(B)= ,則P(A )= ;P( )= .,【解析】(1)甲、乙兩站水文預(yù)報相互獨立，則P=0.8×0.7 =0.56. 答案：0.56 (2)由于經(jīng)過兩道工序才能生產(chǎn)出一件產(chǎn)品，當(dāng)兩道工序都合 格時才能生產(chǎn)出正品，又由于兩道工序相互獨立，則該產(chǎn)品 的正品率為(1-a)(1-b). 答案：(1-a)(1-b),(3)因為P(A)= ，P(B)= ， 所以 所以 答案：,【要點探究】 知識點 相互獨立事件 1.對事件相互獨立性的兩點說明 (1)前提:在應(yīng)用公式P(AB)=P(A)P(B)時,一定要注意公式成立的條件,即各事件必須相互獨立. (2)推廣:一般地,如果事件A1,A2,…,An相互獨立,那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積,即 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).,2.相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別,3.兩個事件是否相互獨立的判斷 (1)直接法:由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響. (2)定義法:如果事件A,B同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積,則事件A,B為相互獨立事件. (3)條件概率法:當(dāng)P(A)0時,可用P(B|A)=P(B)判斷.,【微思考】 (1)若兩個事件相互獨立,是否就說明這兩個事件間沒有任何關(guān) 系? 提示:不是.若兩事件A,B相互獨立是指事件A是否發(fā)生與事件B 是否發(fā)生沒有關(guān)系,并不是說事件A,B間沒有關(guān)系,相反,若事件 A,B相互獨立,則事件AB≠ ,即事件A,B不互斥. (2)能否利用P(B|A)=P(B)來定義相互獨立的概念? 提示:不能.原因是這個等式的適用范圍是P(A)0,否則P(B|A) 沒有意義.,【即時練】 1.下列事件中A,B是相互獨立事件的是 ( ) A.一枚硬幣擲兩次,事件A為“第一次為正面”,事件B為“第二次為反面” B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸兩球,事件A為“第一次摸到白球”,事件B為“第二次摸到白球” C.擲一枚骰子,事件A為“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”,事件B為“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)” D.事件A為“人能活到20歲”,事件B為“人能活到50歲”,【解析】選A.把一枚硬幣擲兩次,對于每次而言是相互獨立的,其結(jié)果不受先后影響,故A是獨立事件;B中是不放回地摸球,顯然A事件與B事件不相互獨立;對于C,A,B應(yīng)為互斥事件,不相互獨立;D是條件概率,事件B受事件A的影響.,2.判斷下列各對事件是否是相互獨立事件: (1)甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”. (2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球,“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的還是白球”. (3)擲一枚骰子一次,“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”.,【解析】(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生,對 “從乙組中選出1名女生”這一事件是否發(fā)生沒有影響,所以它 們是相互獨立事件. (2)“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”的概率為 ,若 這一事件發(fā)生了,則“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的仍 是白球”的概率為 ;若前一事件沒有發(fā)生,則后一事件發(fā)生的 概率為 ,可見,前一事件是否發(fā)生,對后一事件發(fā)生的概率有 影響,所以二者不是相互獨立事件.,(3)記A：出現(xiàn)偶數(shù)點，B：出現(xiàn)3點或6點，則A={2，4，6}， B={3，6}，AB={6}， 所以 所以P(AB)=P(A)·P(B)，所以事件A與B相互獨立.,【題型示范】 類型一 相互獨立事件發(fā)生的概率 【典例1】 (1)同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤甲 得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為y，構(gòu)成數(shù) 對(x,y)，則所有數(shù)對(x,y)中滿足xy=4的概 率為( ),(2)根據(jù)資料統(tǒng)計,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險的概率為0.6,購買甲、乙保險相互獨立,各車主間相互獨立. ①求一位車主同時購買甲、乙兩種保險的概率; ②求一位車主購買乙種保險但不購買甲種保險的概率.,【解題探究】1.題(1)滿足xy=4的數(shù)對(x,y)有幾個? 2.題(2)中車主不購買甲種保險的概率是多少? 【探究提示】1.有3個,分別為(1,4),(2,2),(4,1). 2.車主不購買甲種保險的概率P=1-0.5=0.5.,【自主解答】(1)選C.滿足xy=4的所有可能如下: x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1. 所以,所求事件的概率 P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1),(2)記A表示事件“購買甲種保險”，B表示事件“購買乙種保 險”，則由題意得A與B，A與 與B， 與 都是相互獨立事 件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6. ①記C表示事件“同時購買甲、乙兩種保險”，則C=AB. 所以P(C)=P(AB)=P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3. ②記D表示事件“購買乙種保險但不購買甲種保險”， 則D= B，所以P(D)=P( B)=P( )·P(B)=(1-0.5)×0.6 =0.3.,【延伸探究】題(2)中車主至少購買甲、乙兩種保險中的一種 的概率是多少？ 【解析】方法一：記E表示事件“至少購買甲、乙兩種保險中 的一種”，則事件E包括 B，A ，AB，且它們彼此為互斥 事件. 所以P(E)= =0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.6=0.8.,方法二：事件“至少購買甲、乙兩種保險中的一種”與事件 “甲、乙兩種保險都不購買”為對立事件. 所以P(E)=1-P( )=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.,【方法技巧】與相互獨立事件有關(guān)的概率問題求解策略 明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義. 一般地，已知兩個事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么：,(1)A，B中至少有一個發(fā)生為事件A＋B. (2)A，B都發(fā)生為事件AB. (3)A，B都不發(fā)生為事件 . (4)A，B恰有一個發(fā)生為事件 . (5)A，B中至多有一個發(fā)生為事件,它們之間的概率關(guān)系如表所示：,【變式訓(xùn)練】紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A,B,C進行圍棋比賽,甲對A、乙對B、丙對C各一盤.已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立.求: (1)紅隊中有且只有一名隊員獲勝的概率. (2)紅隊至少兩名隊員獲勝的概率.,【解題指南】弄清事件“紅隊有且只有一名隊員獲勝”與事件“紅隊至少兩名隊員獲勝”是由哪些基本事件組成的,及這些事件間的關(guān)系,然后選擇相應(yīng)概率公式求值.,【解析】設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件 為F， 則 分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件. 因為P(D)=0.6，P(E)=0.5，P(F)=0.5， 由對立事件的概率公式知P( )=0.4，P( )=0.5， P( )=0.5.,(1)紅隊有且只有一名隊員獲勝的事件有 以上3個事件彼此互斥且獨立. 所以紅隊有且只有一名隊員獲勝的概率,(2)方法一：紅隊至少兩人獲勝的事件有： 由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立， 因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 =0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5× 0.5=0.55.,方法二：“紅隊至少兩人獲勝”與“紅隊最多一人獲勝”為 對立事件，而紅隊都不獲勝為事件 ，且P( ) =0.4×0.5×0.5=0.1. 所以紅隊至少兩人獲勝的概率為P2=1-P1-P( )=1-0.35 -0.1=0.55.,【補償訓(xùn)練】甲、乙兩人獨立地破譯密碼的概率分別為 求：(1)兩個人都譯出密碼的概率. (2)兩個人都譯不出密碼的概率. (3)恰有一人譯出密碼的概率. (4)至多一人譯出密碼的概率. (5)至少一人譯出密碼的概率．,【解析】記A為“甲獨立地譯出密碼”，B為“乙獨立地譯出密 碼”． (1)兩個人都譯出密碼的概率為 (2)兩個人都譯不出密碼的概率為,(3)恰有一人譯出密碼分為兩類：甲譯出乙譯不出，乙譯出甲 譯不出，即 所以 (4)至多一人譯出密碼的對立事件是兩人都譯出密碼， 所以1-P(AB)= (5)至少一人譯出密碼的對立事件為兩人都沒有譯出密碼， 所以,類型二 相互獨立事件概率的實際應(yīng)用 【典例2】 (1)在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常 開開關(guān),只要其中有1個開關(guān)能夠閉合,線 路就能正常工作.假定在某段時間內(nèi)每個 開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7,則在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率是 . (2)在一袋中裝有2只紅球和8只白球,每次從袋中任取一球,取后放回,直到取得紅球為止,求取球次數(shù)X的分布列.,【解題探究】1.題(1)中,線路能正常工作存在幾種情況?不能正常工作又有幾種情況? 2.題(2)中,取球的次數(shù)X的取值有哪些? 【探究提示】1.能正常工作的情況可分為三類,一類是只有1個開關(guān)閉合,此時又有3種情況,二類是有2個開關(guān)閉合,此時有=3種情況,三類是3個開關(guān)均閉合,有1種情況,故共有7種情況;而不能正常工作僅有一種情況. 2.X的所有可能取值為1,2,…,i,….,【自主解答】(1)由題意，分別記這段時間內(nèi)開關(guān)JA，JB，JC能 夠閉合為事件A，B，C．這段時間內(nèi)3個開關(guān)是否能夠閉合相互 之間沒有影響.根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，這段時間 內(nèi)3個開關(guān)都不能閉合的概率是 =［1-P(A)］［1-P(B)］［1-P(C)］ =(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027.,所以這段時間內(nèi)至少有1個開關(guān)能夠閉合，即使線路能正常工 作的概率是1-P( )=1-0.027=0.973． 答案：0.973,(2)X的所有可能取值為1，2，…，i，… 令A(yù)i表示“第i次取得紅球”，則由于各次取球相互獨立， 且取到紅球的概率為p=0.2，于是得P(X=1)=P(A1)=0.2，,所以其分布列為,【方法技巧】系統(tǒng)可靠性問題的求解策略 由于該類問題常常與物理知識相聯(lián)系,在考查知識縱向聯(lián)系的同時,重點考查事件獨立性的綜合應(yīng)用.求解時可先從系統(tǒng)的構(gòu)造出發(fā),分析所給的系統(tǒng)是單純的串(并)聯(lián)還是串并聯(lián)混合體結(jié)構(gòu). (1)直接法:把所求的事件分成若干個互斥事件之和,根據(jù)互斥事件的概率公式求解. (2)間接法:當(dāng)所涉及的事件較多,而其對立事件所涉及的事件較少時,可根據(jù)對立事件的概率公式求解.,【變式訓(xùn)練】(2014·武漢高二檢測)已知某音響設(shè)備由五個部件組成,A電視機,B影碟機,C線路,D左聲道和E右聲道,其中每個部件工作的概率如圖所示,能聽到聲音,當(dāng)且僅當(dāng)A與B中有一個工作,C工作,D與E中有一個工作;且若D和E同時工作則有立體聲效果. (1)求能聽到立體聲效果的概率. (2)求聽不到聲音的概率.(結(jié)果精確到0.01),【解題指南】(1)根據(jù)事件A,B,C,D,E的能否正常工作之間沒有影響,所以事件A,B,C,D,E是相互獨立事件,又事件A發(fā)生的概率為0.9,由對立事件的概率得出事件A不發(fā)生的概率為1-0.9,同理事件B不發(fā)生的概率為1-0.8,根據(jù)獨立事件的概率公式可得出能聽到立體聲效果的概率.(2)事件“聽不到聲音”即為“當(dāng)A,B都不工作,或C不工作,或D,E都不工作時”,又由獨立事件的概率公式得出結(jié)論.,【解析】(1)因為A與B中都不工作的概率為(1-0.9)(1-0.8); 所以能聽到立體聲效果的概率為[1-(1-0.9)(1-0.8)] ×0.95×0.8×0.7≈0.52. (2)當(dāng)A,B都不工作,或C不工作,或D,E都不工作時,就聽不到 音響設(shè)備的聲音. 其否定是:A,B至少有1個工作,且C工作,且D,E中至少有一個 工作.,所以,聽不到聲音的概率為1-[1-(1-0.9)(1-0.8)]×0.95× [1-(1-0.8)(1-0.7)]=1-0.87514≈0.12. 答:(1)能聽到立體聲效果的概率約為0.52; (2)聽不到聲音的概率約為0.12.,【補償訓(xùn)練】(2014·寶雞高二檢測)某果園要用三輛汽車將一 批水果從所在城市E運至銷售城市F，已知從城市E到城市F有兩 條公路.統(tǒng)計表明：汽車走公路Ⅰ堵車的概率為 ，不堵車的 概率為 ；走公路Ⅱ堵車的概率為 ，不堵車的概率為 ， 若甲、乙兩輛汽車走公路Ⅰ，第三輛汽車丙由于其他原因走公 路Ⅱ運送水果，且三輛汽車是否堵車相互之間沒有影響. (1)求甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率. (2)求三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率.,【解析】記“汽車甲走公路Ⅰ堵車”為事件A，“汽車乙走公 路Ⅰ堵車”為事件B，“汽車丙走公路Ⅱ堵車”為事件C. (1)甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率為 (2)甲、乙、丙三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率為,【易錯誤區(qū)】對事件類型判斷不準導(dǎo)致錯誤 【典例】甲、乙兩人參加環(huán)保知識競賽,在10道備選試題中,甲能答對其中的6道題,乙能答對其中的8道題.現(xiàn)規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試,至少答對2題為合格.則甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為 .,【解析】設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A，B，事件A， B相互獨立. 所以甲、乙兩人考試均不合格的概率為 故甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率 答案：,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.注意事件類型的甄別 在解決與概率相關(guān)問題時,要理清事件間的關(guān)系,強化事件概型及關(guān)系的判斷,明確事件是互斥事件,還是相互獨立事件,然后合理選擇公式,如本例中的事件A,B是相互獨立的,所以選擇相互獨立事件的概率公式.,2.明確求解問題的思路 一是直接法,即求解時先把待求事件分解成彼此互斥的事件的和事件,在此基礎(chǔ)上求相應(yīng)事件的概率.二是間接法,利用對立事件的知識求解,采用的是“正難則反”的解題原則.如本例中求“至少一人”的問題,采用其對立事件求解更加方便.,【類題試解】某同學(xué)甲上大學(xué)前把手機號碼抄給同學(xué)乙,后來同學(xué)乙給他打電話時,發(fā)現(xiàn)號碼的最后一個數(shù)字被撕掉了,于是乙在撥號時隨意地添上最后一個數(shù)字,且用過了的數(shù)字不再重復(fù),則撥號不超過3次而撥對甲的手機號碼的概率是 ( ),【解析】選A.撥號不超過三次撥對這個事件包含了三個事件， 第一次撥對的概率是 ， 第二次撥對是在第一次沒有撥對的情況下發(fā)生的，故其概率是 第三次撥對是在前兩次沒有撥對的前提下發(fā)生的，故其概率是 故撥號不超過3次而撥對甲的手機號碼的概率是 故選A.,