2019-2020年高中數(shù)學(xué) 專題十 直線與圓教案 新人教A版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 專題十 直線與圓教案 新人教A版必修2 【高考導(dǎo)航】 一、 考試內(nèi)容 1. 有向線段.兩點(diǎn)間的距離.線段的定比分點(diǎn). 2. 直線的方程.直線的斜率.直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程.直線方程的一般式. 3. 兩條直線平行與垂直的條件.兩條直線所成的角.兩條直線交點(diǎn).點(diǎn)到直線的距離. 4. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程. 二、 考試要求 1. 理解有向線段的概念.掌握有向線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式. 2. 理解直線斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.熟練掌握直線方程的點(diǎn)斜式，掌握直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式、截距式以及直線方程的一般式.能夠根據(jù)條件求出直線的方程. 3. 掌握兩條直線平行與垂直的條件，能夠根據(jù)直線的方程判定兩條直線的位置關(guān)系.會(huì)求兩條相交直線的夾角和交點(diǎn).掌握點(diǎn)到直線的距離公式. 4. 熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.能夠根據(jù)條件求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.掌握直線和圓的位置關(guān)系的判定方法. 三、 考點(diǎn)簡(jiǎn)析 1. 有向線段.有向線段是解析幾何的基本概念，可用有向線段的數(shù)量來(lái)刻劃它，而在數(shù)軸上有向線段AB的數(shù)量AB＝xB－xA. 2. 兩點(diǎn)間的距離公式.不論A(x1，y1)， B(x2，y2)在坐標(biāo)平面上什幺位置，都有d＝｜AB｜＝，特別地，與坐標(biāo)軸平行的線段的長(zhǎng)｜AB｜＝｜x2－x1｜或｜AB｜＝｜y2－y1｜. 3. 定比分點(diǎn)公式.定比分點(diǎn)公式是解決共線三點(diǎn)A(x1， y1)， B(x2，y2)， P(x，y)之間數(shù)量關(guān)系的一個(gè)公式，其中λ的值是起點(diǎn)到分點(diǎn)，分點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量之比.這里起點(diǎn)、分點(diǎn)、終點(diǎn)的位置是可以任意選擇的，一旦選定后λ的值也就隨之確定了.若以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，P為分點(diǎn)，則定比分點(diǎn)公式是.當(dāng)P點(diǎn)為AB的中點(diǎn)時(shí)，λ＝1，此時(shí)中點(diǎn)公式是 4. 直線的傾斜角和斜率的關(guān)系. (1) 每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率. (2) 斜率存在的直線，其斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系是 k＝tanα. 5. 確定直線方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件.確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍. 6. 平面上直線與二元一次方程是一一對(duì)應(yīng)的. 7. 兩條直線的夾角.當(dāng)兩直線的斜率k1k2 ，都存在且k1k2≠－1時(shí)，tanθ＝，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可結(jié)合圖形判斷，另外還應(yīng)注意到：“到角”公式與“夾角”公式的區(qū)別. 8. 怎幺判斷兩直線是否平行或垂直?判斷兩直線是否平行或垂直時(shí)，若兩直線的斜率都存在，可用斜率的關(guān)系來(lái)判斷；若直線的斜率不存在，則必須用一般式的平行垂直條件來(lái)判斷. (1) 斜率存在且不重合的兩條直線l1:y＝k1x＋b1， l2:y＝k2x＋b2，有以下結(jié)論： ① l1∥l2k1＝k2； ② l1⊥l2k1k2＝－1. (2) 對(duì)于直線l1:A1x＋B1y＋C1＝0， l2:A2x＋B2y＋C2＝0，當(dāng)A1、A2、B1、B2都不為零時(shí)，有以下結(jié)論： ① l1∥l2＝ ② l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0； ③ l1與l2相交； ④ l1與l2重合. 9. 點(diǎn)到直線的距離公式. (1) 已知一點(diǎn)P(x0，y0)及一條直線l:Ax＋By＋C＝0，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝； (2) 兩平行直線l1:Ax＋By＋C1＝0， l2:Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝. 10. 確定圓方程需要有三個(gè)互相獨(dú)立的條件.圓的方程有兩種形式，要注意各種形式的圓方程的適用范圍. (1) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中(a，b)是圓心坐標(biāo)，r是圓的半徑； (2) 圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)，圓心坐標(biāo)為()，半徑為r＝ 11. 直線與圓的位置關(guān)系的判定方法. (1) 法一：直線：Ax＋By＋C＝0；圓：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 一元二次方程 (2) 法二：直線：Ax＋By＋C＝0；圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心(a，b)到直線的距離為d＝. 12. 兩圓的位置關(guān)系的判定方法. 設(shè)兩圓圓心分別為O1、 O2，半徑分別為r1、 r2， ｜O1O2｜為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下： ｜O1O2｜＞r1＋r2兩圓外離； ｜O1O2｜＝r1＋r2兩圓外切； ｜r1－r2｜＜｜O1O2｜＜r1＋r2兩圓相交； ｜O1O2｜＝｜r1－r2｜兩圓內(nèi)切； ０＜｜O1O2｜＜｜r1－r2｜兩圓內(nèi)含. 四、 思想方法 1. 公式法.求直線和圓的方程要正確運(yùn)用公式解題.各種位置關(guān)系的判斷要靈活使用各種結(jié)論. 2.數(shù)形結(jié)合思想.解題時(shí)重視方程的幾何意義和圖形的輔助作用是非常必要的.即：將對(duì)幾何圖形的研究，轉(zhuǎn)化為對(duì)代數(shù)式的研究，同時(shí)又要理解代數(shù)問題的幾何意義. 【典型例題】 【例1】 要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截成三種規(guī)格小鋼板塊數(shù)如下表： A B C 第一種鋼板 1 3 1 第二種鋼板 1 1 4 每塊鋼板面積第一種1平方單位，第二種3平方單位，今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各14、 23、 39塊，問各截這兩種鋼板多少?gòu)埧傻玫剿枞N規(guī)格成品，且使所用鋼板面積最小，并求出這個(gè)最小面積. 【解】設(shè)截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，滿足條件，則 其目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y取最小值.作出如圖可行域，最優(yōu)解在附近,取y＝8，x＝7滿足條件，此時(shí)z＝31；取y＝7， x＝11，滿足條件，此時(shí)z＝32.比較即知，x＝7，y＝8，即截第一種鋼板7張，第二種鋼板8張，可得到所需規(guī)格成品，且所使用的鋼板面積最小為31平方單位. 【例2】 如圖，已知：射線OA為y＝kx(k＞0，x＞0)，射線OB為y＝－kx(x＞0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在∠AOx的內(nèi)部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四邊形ONPM的面積恰為k. (1) 當(dāng)k為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y是其橫坐標(biāo)x的函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2) 根據(jù)k的取值范圍，確定y＝f(x)的定義域. 【解】設(shè) 則 , ,由動(dòng)點(diǎn)P在∠AOx的內(nèi)部，得0＜y＜kx . ∴ ∴= ∴ (1) 又,, ∴, , 代入(1)消去a,b 得 ∵y>0,∴ (2) 由得 , ∴ ∴ ① 當(dāng)k=1時(shí),x > ②當(dāng)01時(shí), 【例3】 如圖所示，已知⊙O′過定點(diǎn)A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線x2＝2py上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O′在x軸上所得的弦，令｜AM｜＝d1，｜AN｜＝d2，∠MAN＝θ. (1) 當(dāng)Ｏ′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，｜MN｜是否有變化?并證明你的結(jié)論； (2) 求的最大值，并求取得最大值的θ值. 【解】設(shè), 則⊙O′的半徑｜O′A｜ ∴ ⊙O′的方程為 令y=0,并把代入得 x2－2x0x＋x02－p2＝0， 得 , ∴為定值. (2) ∵ , ∴ ,, 則 ,, ∴ = = 當(dāng)且僅當(dāng) ,即時(shí), 的最大值為 此時(shí)(B為MN中點(diǎn))又 ∴ 為等腰直角三角形， 則 【例4】 如圖所示，已知圓C：x2＋y2＝4內(nèi)一點(diǎn)A(，0)與圓C上一動(dòng)點(diǎn)Q的連線AQ的垂直平分線交OQ于點(diǎn)P. (1) 當(dāng)點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2) 過點(diǎn)O傾斜角為θ的直線與點(diǎn)P的軌跡相交于B1、B2兩點(diǎn)，當(dāng)θ在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，求△AB1B2的面積S(θ).并求S(θ)的最大值. 【說(shuō)明】本題考查直線與圓的綜合問題.解題關(guān)鍵：①橢圓定義的運(yùn)用；②直線參數(shù)方程的運(yùn)用；③用基本不等式求最值. 【解】(1) 因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AQ的垂直平分線上，所以 ｜PA｜＝｜PQ｜ ∴ 又∵  所以點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)、 A為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為 . (2) 設(shè)直線B1B2的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)) 代入 整理，得 由弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理，得 所以△AB1B2的面積為 ∴= 當(dāng)且僅當(dāng), 即 ∴ S(θ)取最大值. 【例5】 設(shè)正方形ABCD的外接圓方程x2＋y2－6x＋a＝0(a＜9 ) C、D點(diǎn)所在直線l的斜率為. (1)求外接圓圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)及正方形對(duì)角線AC、 BD的斜率； (2)如果ABCD的外接圓方程半徑為，在x軸上方的A、 B兩點(diǎn)在一條以x軸為對(duì)稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程. 【解】(1)由 可知圓心M的坐標(biāo)為(3， 0)，依題意： , , MA、 MB的斜率k滿足： , 解得： (2) 將圓方程分別與AC、 BD直線方程：, 聯(lián)立，可解得A(－1， 2)， B(5， 4). 設(shè)拋物線方程為∶ (*)將A(－1， 2)、 B(5， 4)的坐標(biāo)代入(*)，得 解得：a＝2， m＝－3,∴　拋物線的方程為 .A(－1， 2)點(diǎn)關(guān)于M(3， 0)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C(7， －2)，故直線l的方程為,即 【例6】 已知圓(x＋4)2＋y2＝25的圓心為M1，圓(x－4)2＋y2＝1的圓心為M2，一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓都外切. (1) 求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程； (2) 若過點(diǎn)M2的直線與(1)中所求軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，求｜AM1｜｜BM1｜的取值范圍. 【解】 (1) ∵　｜PM1｜－5＝｜PM2｜－1， ∴　｜PM1｜－｜PM2｜＝4 ∴　動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M1、 M2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支. c＝4， a＝2， b2＝12，故所求軌跡方程為：  1.當(dāng)過M2的直線傾斜角不等于,設(shè)其斜率為k,直線方程為：. 與雙曲線聯(lián)立，消去y化簡(jiǎn)得： 又設(shè) 由 解得： 由雙曲線左準(zhǔn)線方程x＝－1且e＝2， 有｜AM1｜｜BM1｜ = 2.又當(dāng)傾斜角等于, A(4，y1)，B(4，y2)， ｜AM1｜＝｜BM2｜＝e(4＋1)＝10∴｜AM1｜｜BM1｜=100 故 ｜AM1｜｜BM1｜≥100. 【例7】 已知函數(shù)y＝ (x∈N). (1) 當(dāng)n＝1， 2， 3， …時(shí)，把已知函數(shù)的圖像和直線y＝1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次記為a1， a2，a3…，求證a1＋a2＋a3＋…＋an＜1； (2) 對(duì)于每一個(gè)n的值，設(shè)An、 Bn為已知函數(shù)的圖像上與x軸距離為1的兩點(diǎn)，求證n取任意一個(gè)正整數(shù)時(shí)，以AnBn為直徑的圓都與一條定直線相切，并求出這條定直線的方程和切點(diǎn)的坐標(biāo). 【解】原函數(shù)y＝ (x∈N)可化為∶ (1)當(dāng)y=1時(shí),可求得, ∴ 是以為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列. ∴ (2)同理可以求的橫坐標(biāo), 可得的坐標(biāo)分別為 ∴ ∴中點(diǎn)C(橫坐標(biāo))到Y(jié)軸的距離 ∴以C為圓心, 為直徑的圓必定與Y軸相切,切點(diǎn)(0,0) 【例8】 (1997年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題)設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3∶1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y＝0的距離最小的圓的方程. 【解】 設(shè)圓心P(a,b),半徑為r, 則 點(diǎn)P到x軸,y軸的距離分別為 ｜a｜,｜b｜,由題意知圓P截X軸所得劣弧的圓心角為90∴圓P截X軸所得弦長(zhǎng)=,故r2=2b2.又圓P截y軸所得弦長(zhǎng)= 2, 故r2=a2+1 ∴, ∴. ∵P(a,b)到直線l：x－2y＝0的距離為 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立 此時(shí) ∴或 由于, 故 . 于是,所求圓的方程為 或. 【例9】 (1989年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題) (如圖所示)自點(diǎn)A(－3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線L所在的直線的方程. 【解】圓方程x2＋y2－4x－4y＋7＝0可化為(x-2)2+(y-2)2=1 它關(guān)于x軸的對(duì)稱圓C′的方程是(x-2)2+(y+2)2=1, 設(shè)光線L所在的直線的方程是y-3=k(x+3), (其中斜率k待定) 解之得： 或 故所求直線的方程是y-3=(x+3) 或y-3=(x+3) 即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0 【例10】已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0. (1) 求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn) (2) 設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若｜AB｜＝，求l的傾斜角； (3) 若定點(diǎn)P(1，1)分弦AB為，求此時(shí)直線l的方程. 【證法一】由消去y并整理,得 因?yàn)? 故直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 【證法二】由已知直線l：mx－y＋1－m＝0,故直線l恒過定點(diǎn)P(1,1) ,定點(diǎn)P(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5內(nèi), 故直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 【證法三】圓心(0,1)到直直線l的距離 圓心(0,1)到直直線l的距離小于半徑, 故直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn). (2) 【解法一】則x1,x2是方程 的兩根 ∵ ∴ 所以解得m=,所以l的傾斜角為或. 【解法二】圓半徑r=, 圓心(0,1)到直線l的距離 , 即 所以解得m=,所以l的傾斜角為或. (3) ∵ , ∴ , ∴ (1) 由(1),(2),(3)得m=1, 此時(shí)直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0. 【同步精練】 一、 選擇題 1.若a∈，則直線2xcosα+3y+1=0的傾斜角的取值范圍是 ( ) A. B. C. D.  2.點(diǎn)A(-2，1)，B(3，2)已知直線l：ax+y+2=0與AB的延長(zhǎng)線總有交點(diǎn)(不含端點(diǎn)B)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( ) A. a<或a> B. D.

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