高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)版解析 專(zhuān)題1-16 理（打包16套）1.zip
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【十年高考】（浙江專(zhuān)版）高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)版解析 專(zhuān)題10 立體幾何 理
一．基礎(chǔ)題組
1. 【2014年.浙江卷.理3】某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是
A. 90 B. 129 C. 132 D. 138
2. 【2013年.浙江卷.理12】若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于__________cm3.
【答案】：24
【解析】：由三視圖可知該幾何體為如圖所示的三棱柱割掉了一個(gè)三棱錐．
＝×3×4×5－××3×4×3＝30－6＝24.
3. 【2012年.浙江卷.理10】已知矩形ABCD，AB＝1，．將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中，( )
A．存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直
B．存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直
C．存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直
D．對(duì)任意位置，三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直
4. 【2012年.浙江卷.理11】已知某三棱錐的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該三棱錐的體積等于__________ cm3．
【答案】1
【解析】
由圖可知三棱錐底面積(cm2)，三棱錐的高h(yuǎn)＝2 cm，根據(jù)三棱錐體積公式，(cm3)．
5. 【2011年.浙江卷.理3】若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是
7. 【2009年.浙江卷.理5】在三棱柱中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)掕垂直于底面，點(diǎn)是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是 ( )
A． B． C． D．
答案：C
【解析】取BC的中點(diǎn)E，則面，，因此與平面所成角即為，設(shè)，則，，即有．
8. 【2009年.浙江卷.理12】若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是 ．
答案：18
【解析】該幾何體是由二個(gè)長(zhǎng)方體組成，下面體積為，上面的長(zhǎng)方體體積為，因此其幾何體的體積為18
9. 【2008年.浙江卷.理14】如圖，已知球O點(diǎn)面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O點(diǎn)體積等于
【答案】
10. 【2007年.浙江卷.理6】若P是兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則
（A）過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與都平行 （B）過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與都垂直
（C）過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與都相交 （D）過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與都異面
【答案】B
【解析】選項(xiàng)A不正確，因?yàn)槿暨@條直線與都平行，則有互相平行；
選項(xiàng)B正確，因?yàn)檫^(guò)P分別作直線的平行線，這兩條直線確定一個(gè)平面 ，過(guò)P點(diǎn)作平面的垂線只能作一條；
選項(xiàng)C不正確，因?yàn)楫?dāng)其中一條直線平行于P點(diǎn)與另一條直線所確定的平面時(shí)，不存在過(guò)點(diǎn)P且與都相交的直線;
選項(xiàng)D不正確，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P與都異面的直線有數(shù)條.
故選B.
11. 【2005年.浙江卷.理6】設(shè)、 為兩個(gè)不同的平面，l、m為兩條不同的直線，且l，m，有如下的兩個(gè)命題：
①若∥，則l∥m；②若l⊥m，則⊥．
那么
(A) ①是真命題，②是假命題 (B) ①是假命題，②是真命題
(C) ①②都是真命題 (D) ①②都是假命題
12. 【2005年.浙江卷.理12】設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE⊥AB于E(如圖)．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則M、N的連線與AE所成角的大小等于_________．
【答案】90°
【解析】：
13. 【2015高考浙江，理2】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】
試題分析：由題意得，該幾何體為一立方體與四棱錐的組合，如下圖所示，∴體積，
故選C.
【考點(diǎn)定位】1.三視圖；2.空間幾何體的體積計(jì)算.
14. 【2015高考浙江，理13】如圖，三棱錐中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線，所成的角的余弦值是 ．
15. 【2015高考浙江，理17】如圖，在三棱柱-中，，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).
（1）證明：D平面；
（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.
，由余弦定理得，.
【考點(diǎn)定位】1.線面垂直的判定與性質(zhì)；2.二面角的求解
16. 【2016高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿(mǎn)足 則（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
17.【2016高考浙江理數(shù)】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是 cm2，體積是 cm3.
【答案】
【解析】
試題分析：幾何體為兩個(gè)相同長(zhǎng)方體組合，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為4,2,2，所以體積為，由于兩個(gè)長(zhǎng)方體重疊部分為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，所以表面積為
考點(diǎn)：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積與體積．
【方法點(diǎn)睛】解決由三視圖求空間幾何體的表面積與體積問(wèn)題，一般是先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再準(zhǔn)確利用幾何體的表面積與體積公式計(jì)算該幾何體的表面積與體積．
二．能力題組
1. 【2013年.浙江卷.理10】在空間中，過(guò)點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B，記B＝fπ(A)．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，對(duì)空間任意一點(diǎn)P，Q1＝fβfα(P)]，Q2＝fαfβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，則( )．
A．平面α與平面β垂直
B．平面α與平面β所成的(銳)二面角為45°
C．平面α與平面β平行
D．平面α與平面β所成的(銳)二面角為60°
2. 【2009年.浙江卷.理17】如圖，在長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，為垂足．設(shè)，則的取值范圍是 ．
3. 【2007年.浙江卷.理16】已知點(diǎn)O在二面角的棱上，點(diǎn)P在內(nèi)，且.若對(duì)于內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有，則二面角的取值范圍是_____________.
【答案】
【解析】
若二面角的大小為銳角，
則過(guò)點(diǎn) 向平面 作垂線，設(shè)垂足為 ．
過(guò)作的垂線垂足為C，
連PC、CH、OH，則∠PCH就是所求二面角的平面角．
根據(jù)題意得∠POH≥450，
由于對(duì)于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，
∴∠POH≥45°，
4. 【2006年.浙江卷.理14】正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是 .
【答案】
【解析】
5. 【2015高考浙江，理8】如圖，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ）
A. B. C. D.
，
∵，，∴（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
∵，，而在上為遞減函數(shù)，∴，故選B.
【考點(diǎn)定位】立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題
6.【2016高考浙江理數(shù)】如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿(mǎn)足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 .
【答案】
【解析】
所以.
（1）當(dāng)時(shí)，有，
故.
此時(shí)，
.
，因?yàn)椋?
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故.
（2）當(dāng)時(shí)，有，
三．拔高題組
1. 【2014年.浙江卷.理20】（本題滿(mǎn)分15分）如圖，在四棱錐中，平面平面.
（1） 證明：平面;
（2） 求二面角的大小
【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）二面角的大小是．
【解析】
試題分析：（Ⅰ）求證：平面，證明線面垂直，先證線線垂直，即證線和平面內(nèi)兩條相交直線垂直，由已知可得，只需證明，或，由已知平面平面，只需證明，就得平面，即，而由已知，在直角梯形中，易求，從而滿(mǎn)足，即得，問(wèn)題得證；（Ⅱ）求二面角
在中，，，得，在中，，，，得，，從而，在中，利用余弦定理分別可得，在中，，所以， 2. 【2013年.浙江卷.理20】(本題滿(mǎn)分15分)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝.M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC．
(1)證明：PQ∥平面BCD；
(2)若二面角C－BM－D的大小為60°，求∠BDC的大?。?
【答案】
【解析】
方法一：(1)證明：取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF＝3FC，連結(jié)OP，OF，F(xiàn)Q，因?yàn)锳Q＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝AD．
BG＝BCsin θ＝sin2θ.
在Rt△BDM中，.
在Rt△CHG中，tan∠CHG＝.
所以tan θ＝.
從而θ＝60°.即∠BDC＝60°.
方法二：(1)證明：如圖，取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OD，OP所在射線為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
取y＝－1，得m＝.
3. 【2012年.浙江卷.理20】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．
(1)證明：MN∥平面ABCD；
(2)過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.
【解析】(1)證明：因?yàn)镸，N分別是PB，PD的中點(diǎn)，
所以MN是△PBD的中位線．
所以MN∥BD．
又因?yàn)镸N平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD．
(2)解：方法一：連結(jié)AC交BD于O，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，如圖所示．
由，，
知
取z＝－1，得m＝(，0，－1)．
設(shè)n＝(x，y，z)為平面QMN的法向量．
由，
知
取z＝5，得n＝(，0,5)．
于是cos〈m，n〉＝．
所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為．
方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA，BD=AB．
．
在直角△PAC中，AQ⊥PC，得，QC=2，PQ=4，
在△PBC中，，得
．
在等腰△MQN中，MQ=NQ=，MN=3，得
．
在△AEQ中，，，，得
．
所以二面角A－MN－Q的平面角的余弦值為．
4. 【2011年.浙江卷.理20】（本題滿(mǎn)分15分）如圖，在三棱錐中，，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）證明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-β為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
，，，，，，由此可得 ，所以 ，即
（Ⅱ）解：設(shè)
綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM=3。
法二（Ⅰ）證明：
又因?yàn)樗云矫婀?
（Ⅱ）如圖，在平面內(nèi)作
5. 【2010年.浙江卷.理20】（本題滿(mǎn)分15分）如圖， 在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長(zhǎng)。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】：本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同事考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。
（Ⅱ）解：設(shè)則，
因?yàn)榉酆?，與重合，所以，
故， ，得，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，
所以。
方法二：
所以.
故二面角的余弦值為。
（Ⅱ）解：設(shè),
因?yàn)榉酆?，與重合，
所以，
而，
得，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，
所以。
6. 【2009年.浙江卷.理20】（本題滿(mǎn)分15分）如圖，平面平面，
是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，
，的中點(diǎn)，，．
（I）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面；
（II）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離．
此有，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿(mǎn)足不等式組，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到，的距離為．
7.【2008年.浙江卷.理18】（本題14分）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。
（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；
（Ⅱ）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為？
【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.
【解析】：本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．
方法一：
D
A
B
E
F
C
H
G
從而．
于是．
因?yàn)椋?
所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．
方法二：如圖，
D
A
B
E
F
C
y
z
x
解得．所以，．
設(shè)與平面垂直，則，，
解得．又因?yàn)槠矫妫?
所以，得到．
所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．
8. 【2007年.浙江卷.理19】（本題14分）在如圖所示的幾何體中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求CM與平面CDE所成的角.
（II）解：過(guò)點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)交延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，．
是直線和平面所成的角．
因?yàn)槠矫妫?
所以，
又因?yàn)槠矫妫?
方法二：
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，．，．
（I）證明：因?yàn)?，?
所以，
故．
（II）解：設(shè)向量與平面垂直，則，，
9. 【2006年.浙江卷.理17】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證：PB⊥DM;
(Ⅱ)求CD與平面ADMN所成的角
【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析； (Ⅱ) 與平面所成的角是.
【解析】解：方法一：
（I）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，
所以.
因?yàn)槠矫妫裕?
從而平面.
因?yàn)槠矫妫?
所以.
（II）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，
因?yàn)椋?
所以與平面所成的角為.
10. 【2005年.浙江卷.理18】如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC．
(Ⅰ)求證：OD∥平面PAB；
(Ⅱ)當(dāng)k＝時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的大??；
(Ⅲ) 當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影.
∵D是PC的中點(diǎn),若F是△PBC的重心,則B、F、D三點(diǎn)共線,直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,當(dāng)k=1時(shí),三棱錐O-PBC為正三棱錐,∴O在平面PBC內(nèi)的射影為△
(Ⅰ)∵D為PC的中點(diǎn),∴又∥,
∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵k=則PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量
∴cos.
設(shè)PA與平面PBC所成角為θ,剛sinθ=|cos()|=.
∴PA與平面PBC所成的角為arcsin.
(Ⅲ)△PBC的重心G(),∴=().
∵OG⊥平面PBC,∴又∴,
∴h=,∴PA=,即k=1,反之,當(dāng)k=1時(shí),三棱錐O-PBC為正三棱錐.
∴O為平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心.
10. 【2016高考浙江理數(shù)】(本題滿(mǎn)分15分)如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面
,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求證：EF⊥平面ACFD；
(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
所以平面．
由題意得
，，，
，，．
因此，
，，．
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．
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