高考數學大二輪總復習 增分策略 專題二 函數與導數 第4講 導數的熱點問題課件.ppt

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第4講導數的熱點問題 專題二函數與導數 高考真題體驗 熱點分類突破 高考押題精練 欄目索引 高考真題體驗 1 求a b 解函數f x 的定義域為 0 由題意可得f 1 2 f 1 e 故a 1 b 2 2 證明 f x 1 設函數g x xlnx 則g x 1 lnx 則h x e x 1 x 所以當x 0 1 時 h x 0 當x 1 時 h x 0 故h x 在 0 1 上單調遞增 在 1 上單調遞減 綜上 當x 0時 g x h x 即f x 1 考情考向分析 利用導數探求函數的極值 最值是函數的基本問題 高考中常與函數零點 方程根及不等式相結合 難度較大 熱點一利用導數證明不等式 熱點分類突破 用導數證明不等式是導數的應用之一 可以間接考查用導數判定函數的單調性或求函數的最值 以及構造函數解題的能力 例1已知函數f x lnx x 3 1 求函數f x 的單調區(qū)間 解f x 0得x 1 解f x 0得x 0 1 f x 的單調增區(qū)間為 1 單調減區(qū)間為 0 1 2 證明 在 1 上 f x 2 0 證明f x lnx x 3 所以f 1 2 由 1 知f x lnx x 3在 1 上單調遞增 所以當x 1 時 f x f 1 即f x 2 所以f x 2 0 證明由 1 可知 當x 1 時 f x f 1 即 lnx x 1 0 0 lnx x 1對一切x 1 成立 n 2 n N 則有0 lnn n 1 思維升華 用導數證明不等式的方法 1 利用單調性 若f x 在 a b 上是增函數 則 x a b 則f a f x f b 對 x1 x2 a b 且x1 x2 則f x1 f x2 對于減函數有類似結論 2 利用最值 若f x 在某個范圍D內有最大值M 或最小值m 則對 x D 則f x M 或f x m 3 證明f x g x 可構造函數F x f x g x 證明F x 0 跟蹤演練1已知函數f x alnx bx a b R 在點 1 f 1 處的切線方程為x 2y 2 0 1 求a b的值 則g x x lnx 1 x 1 lnx 當x 1時 h x 0 函數h x 在 1 上單調遞增 故h x h 1 0 從而 當x 1時 g x 0 即函數g x 在 1 上單調遞增 熱點二利用導數討論方程根的個數 方程的根 函數的零點 函數圖象與x軸的交點的橫坐標是三個等價的概念 解決這類問題可以通過函數的單調性 極值與最值 畫出函數圖象的走勢 通過數形結合思想直觀求解 1 求f x 的單調區(qū)間 最大值 2 討論關于x的方程 lnx f x 根的個數 所以g x 在 1 上單調遞增 因為e2x 1 e2 e2x 1 x 0 所以g x 0 即g x 在 0 1 上單調遞減 方程 lnx f x 根的個數為0 思維升華 1 函數y f x k的零點問題 可轉化為函數y f x 和直線y k的交點問題 2 研究函數y f x 的值域 不僅要看最值 而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢 跟蹤演練2已知函數f x lnx ax a R 若函數f x 無零點 求實數a的取值范圍 解函數f x 無零點 方程lnx ax 由g x 0 得x e 在區(qū)間 0 e 上 g x 0 函數g x 單調遞增 在區(qū)間 e 上 g x 0 函數g x 單調遞減 注意到當x 0 1 時 g x 0 當x 1時 g 1 0 熱點三利用導數解決生活中的優(yōu)化問題 生活中的實際問題受某些主要變量的制約 解決生活中的優(yōu)化問題就是把制約問題的主要變量找出來 建立目標問題即關于這個變量的函數 然后通過研究這個函數的性質 從而找到變量在什么情況下可以達到目標最優(yōu) 例3某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池 不計厚度 設該蓄水池的底面半徑為r米 高為h米 體積為V立方米 假設建造成本僅與表面積有關 側面的建造成本為100元 平方米 底面的建造成本為160元 平方米 該蓄水池的總建造成本為12000 元 為圓周率 1 將V表示成r的函數V r 并求該函數的定義域 解因為蓄水池側面的總成本為100 2 rh 200 rh元 底面的總成本為160 r2元 所以蓄水池的總成本為 200 rh 160 r2 元 又根據題意得200 rh 160 r2 12000 2 討論函數V r 的單調性 并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大 令V r 0 解得r1 5 r2 5 因為r2 5不在定義域內 舍去 當r 0 5 時 V r 0 故V r 在 0 5 上為增函數 由此可知 V r 在r 5處取得最大值 此時h 8 即當r 5 h 8時 該蓄水池的體積最大 思維升華 利用導數解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 1 建模 分析實際問題中各量之間的關系 列出實際問題的數學模型 寫出實際問題中變量之間的函數關系式y(tǒng) f x 2 求導 求函數的導數f x 解方程f x 0 3 求最值 比較函數在區(qū)間端點和使f x 0的點的函數值的大小 最大 小 者為最大 小 值 4 作答 回歸實際問題作答 解析設剪成的兩塊中是正三角形的那一塊邊長為xm 高考押題精練 1 討論a 1時 函數f x 的單調性和極值 3 是否存在正實數a 使f x 的最小值是3 若存在 求出a的值 若不存在 請說明理由 押題依據函數的單調性 極值 最值是導數的典型應用 不等式證明體現了轉化與化歸的思想 是高考的必考點 當00時 此時f x 單調遞增 f x 的極小值為f 1 1 2 證明 f x 的極小值為1 f x 在 0 e 上的最小值為1 即 f x min 1 當00 g x 在 0 e 上單調遞增 3 解假設存在正實數a 使f x ax lnx x 0 e 有最小值3 所以 此時f x 無最小值 綜上 存在實數a e2 使得當x 0 e 時f x 有最小值3