2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.2 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 2.2.2 事件的相互獨(dú)立性學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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2.2.2　事件的相互獨(dú)立性 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.在具體情境中，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.能利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　相互獨(dú)立的概念 甲箱里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱里裝有2個(gè)白球，2個(gè)黑球．從這兩個(gè)箱子里分別摸出1個(gè)球，記事件A為“從甲箱里摸出白球”，事件B為“從乙箱里摸出白球”． 思考1　事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎？ 答案　不影響． 思考2　P(A)，P(B)，P(AB)的值為多少？ 答案　P(A)＝，P(B)＝， P(AB)＝＝. 思考3　P(AB)與P(A)，P(B)有什么關(guān)系？ 答案　P(AB)＝P(A)P(B)． 梳理　 條件 設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(AB)＝P(A)P(B) 結(jié)論 稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立 知識(shí)點(diǎn)二　相互獨(dú)立的性質(zhì) 條件 A與B是相互獨(dú)立事件 結(jié)論 也相互獨(dú)立 1．不可能事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立．(　√　) 2．必然事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立．(　√　) 3．如果事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．(　√　) 4．“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互獨(dú)立”的充要條件．(　√　) 類(lèi)型一　事件獨(dú)立性的判斷 例1　判斷下列各對(duì)事件是不是相互獨(dú)立事件： (1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”； (2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”； (3)擲一枚骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的定義 題點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的判斷 解　(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件． (2)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”的概率為，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”的概率為，若前一事件沒(méi)有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為.可見(jiàn)，前一事件是否發(fā)生，對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響，所以兩者不是相互獨(dú)立事件． (3)記A：出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，B：出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)，則A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}， 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝， 所以P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件A與B相互獨(dú)立． 反思與感悟　三種方法判斷兩事件是否具有獨(dú)立性 (1)定義法：直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響． (2)公式法：檢驗(yàn)P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． (3)條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(B|A)＝P(B)判斷． 跟蹤訓(xùn)練1　一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}．對(duì)下列兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性： (1)家庭中有兩個(gè)小孩； (2)家庭中有三個(gè)小孩． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的定義 題點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的判斷 解　(1)有兩個(gè)小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為 Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4個(gè)基本事件，由等可能性知概率都為. 這時(shí)A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. 由此可知P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A，B不相互獨(dú)立． (2)有三個(gè)小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知這8個(gè)基本事件的概率均為，這時(shí)A中含有6個(gè)基本事件，B中含有4個(gè)基本事件，AB中含有3個(gè)基本事件． 于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝， 顯然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立． 從而事件A與B是相互獨(dú)立的． 類(lèi)型二　求相互獨(dú)立事件的概率 例2　小王某天乘火車(chē)從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7，0.9，假設(shè)這三列火車(chē)之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響．求： (1)這三列火車(chē)恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率； (2)這三列火車(chē)至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算 題點(diǎn)　求多個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 解　用A，B，C分別表示這三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的事件， 則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1. (1)由題意得A，B，C之間互相獨(dú)立， 所以恰好有兩列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率為 P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝0.20.70.9＋0.80.30.9＋0.80.70.1＝0.398. (2)三列火車(chē)至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為 P2＝1－P( ) ＝1－P()P()P() ＝1－0.20.30.1＝0.994. 引申探究 1．在本例條件下，求恰有一列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率． 解　恰有一列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率為 P3＝P(A )＋P(B)＋P( C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.80.30.1＋0.20.70.1＋0.20.30.9＝0.092. 2．若一列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)計(jì)10分，用ξ表示三列火車(chē)的總得分，求P(ξ≤20)． 解　事件“ξ≤20”表示“至多兩列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)”，其對(duì)立事件為“三列火車(chē)都正點(diǎn)到達(dá)”， 所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－0.80.70.9＝0.496. 反思與感悟　明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語(yǔ)的意義． 一般地，已知兩個(gè)事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么： (1)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生為事件A＋B. (2)A，B都發(fā)生為事件AB. (3)A，B都不發(fā)生為事件 . (4)A，B恰有一個(gè)發(fā)生為事件A＋B. (5)A，B中至多有一個(gè)發(fā)生為事件A＋B＋ . 跟蹤訓(xùn)練2　甲、乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為和，求兩人破譯時(shí)，以下事件發(fā)生的概率： (1)兩人都能破譯的概率； (2)恰有一人能破譯的概率； (3)至多有一人能破譯的概率． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算 題點(diǎn)　求兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 解　記事件A為“甲獨(dú)立地破譯出密碼”，事件B為“乙獨(dú)立地破譯出密碼”． (1)兩個(gè)人都破譯出密碼的概率為 P(AB)＝P(A)P(B)＝＝. (2)恰有一人破譯出密碼分為兩類(lèi)：甲破譯出乙破譯不出，乙破譯出甲破譯不出，即A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝＋＝. (3)至多有一人破譯出密碼的對(duì)立事件是兩人都破譯出密碼， ∴其概率為1－P(AB)＝1－＝. 類(lèi)型三　相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用 例3　計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作兩部分，每部分考試成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計(jì)算機(jī)考試“合格”，并頒發(fā)合格證書(shū)．甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實(shí)際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒(méi)有影響． (1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，誰(shuí)獲得合格證書(shū)的可能性最大？ (2)這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人獲得合格證書(shū)的概率； (3)用X表示甲、乙、丙三人在計(jì)算機(jī)考試后獲合格證書(shū)的人數(shù)，求X的分布列． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與分布列 解　(1)設(shè)“甲獲得合格證書(shū)”為事件A，“乙獲得合格證書(shū)”為事件B，“丙獲得合格證書(shū)”為事件C，則 P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(C)＝＝. 因?yàn)镻(C)>P(B)>P(A)，所以丙獲得合格證書(shū)的可能性最大． (2)設(shè)“三人考試后恰有兩人獲得合格證書(shū)”為事件D，則 P(D)＝P(AB )＋P(A C)＋P(BC) ＝＋＋＝. (3)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝2)＝P(D)＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－－－＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 反思與感悟　概率問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想 (1)正難則反：靈活應(yīng)用對(duì)立事件的概率關(guān)系(P(A)＋P()＝1)簡(jiǎn)化問(wèn)題，是求解概率問(wèn)題最常用的方法． (2)化繁為簡(jiǎn)：將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系．“所求事件”分幾類(lèi)(考慮加法公式，轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件)． (3)方程思想：利用有關(guān)的概率公式和問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過(guò)解方程(組)使問(wèn)題獲解． 跟蹤訓(xùn)練3　甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為. (1)求乙投球的命中率p； (2)求甲投球2次，至少命中1次的概率． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 解　(1)設(shè)“甲投一次球命中”為事件A，“乙投一次球命中”為事件B.由題意得P()P()＝， 解得P()＝或P()＝－(舍去)， 故p＝1－P()＝，所以乙投球的命中率為. (2)方法一　由題設(shè)知，P(A)＝，P()＝， 故甲投球2次，至少命中1次的概率為 1－P()＝1－P()P()＝. 方法二　由題設(shè)知，P(A)＝，P()＝， 故甲投球2次，至少命中1次的概率為2P(A)P()＋P(A)P(A)＝. 1．壇子里放有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，則A1與A2是(　　) A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件 C．對(duì)立事件 D．不相互獨(dú)立事件 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的定義 題點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的判斷 答案　D 解析　互斥事件和對(duì)立事件是同一次試驗(yàn)的兩個(gè)不同時(shí)發(fā)生的事件，故選項(xiàng)A，C錯(cuò)．而事件A1的發(fā)生對(duì)事件A2發(fā)生的概率有影響，故兩者是不相互獨(dú)立事件． 2．打靶時(shí)，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時(shí)射擊，則他們同時(shí)中靶的概率是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算 題點(diǎn)　求兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 答案　A 解析　P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲P乙＝. 3．甲、乙兩人獨(dú)立地解決同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p1，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是(　　) A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1) C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2) 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　恰好有1人解決可分為甲解決乙沒(méi)解決、甲沒(méi)解決乙解決兩種情況，這兩個(gè)事件顯然是互斥的，所以恰好有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率為p1(1－p2)＋p2(1－p1)，故選B. 4．在某道路的A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在1分鐘內(nèi)開(kāi)放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車(chē)在這段道路上勻速行駛，則三處都不停車(chē)的概率為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算 題點(diǎn)　求多個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 答案　C 解析　由題意知，每個(gè)交通燈開(kāi)放綠燈的概率分別為，，，則在這段道路上三處都不停車(chē)的概率P＝＝. 5．某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，假設(shè)撥過(guò)了的號(hào)碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率： (1)第3次撥號(hào)才接通電話； (2)撥號(hào)不超過(guò)3次而接通電話． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 解　設(shè)Ai＝{第i次撥號(hào)接通電話}，i＝1,2,3. (1)第3次撥號(hào)才接通電話可表示為12A3， 于是所求概率為P(12A3)＝＝. (2)撥號(hào)不超過(guò)3次而接通電話可表示為 A1＋1A2＋12A3， 于是所求概率為P(A1＋1A2＋12A3) ＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3) ＝＋＋＝. 一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，這一點(diǎn)與互斥事件的概率和也是不同的．(列表比較) 互斥事件 相互獨(dú)立事件 定義 不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件 事件A是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒(méi)有影響 概率 公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B) P(AB)＝P(A)P(B) 一、選擇題 1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，則事件A與B的關(guān)系是(　　) A．事件A與B互斥 B．事件A與B對(duì)立 C．事件A與B相互獨(dú)立 D．事件A與B既互斥又獨(dú)立 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的定義 題點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的判斷 答案　C 解析　∵P(A)＝1－P()＝1－＝， ∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴A，B相互獨(dú)立． 2．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 答案　A 解析　因?yàn)镻(A)＝，P(B)＝，所以P()＝， P()＝.又A，B為相互獨(dú)立事件， 所以P( )＝P()P()＝＝. 所以A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為1－P( )＝1－＝. 3．甲、乙兩名學(xué)生通過(guò)某種聽(tīng)力測(cè)試的概率分別為和，兩人同時(shí)參加測(cè)試，其中有且只有一人能通過(guò)的概率是(　　) A. B. C. D．1 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　相互獨(dú)立事件性質(zhì)的應(yīng)用 答案　C 解析　設(shè)事件A表示“甲通過(guò)聽(tīng)力測(cè)試”，事件B表示“乙通過(guò)聽(tīng)力測(cè)試”． 根據(jù)題意，知事件A和B相互獨(dú)立，且P(A)＝，P(B)＝. 記“有且只有一人通過(guò)聽(tīng)力測(cè)試”為事件C， 則C＝A∪B，且A和B互斥． 故P(C)＝P(A∪B) ＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝＋＝. 4．從甲袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是，從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是，從兩袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，則等于(　　) A．2個(gè)球不都是紅球的概率 B．2個(gè)球都是紅球的概率 C．至少有1個(gè)紅球的概率 D．2個(gè)球中恰好有1個(gè)紅球的概率 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 答案　C 解析　至少有1個(gè)紅球的概率是＋＋＝. 5．設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率P(A)是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　相互獨(dú)立事件性質(zhì)的應(yīng)用 答案　D 解析　由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()， 即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]， ∴P(A)＝P(B)．又P( )＝，則P()＝P()＝， ∴P(A)＝. 6．出租車(chē)司機(jī)從飯店到火車(chē)站途中經(jīng)過(guò)六個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，則這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過(guò)了兩個(gè)交通崗的概率為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算 題點(diǎn)　求多個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 答案　B 解析　因?yàn)檫@位司機(jī)第一、二個(gè)交通崗未遇到紅燈，在第三個(gè)交通崗遇到紅燈，它們之間相互獨(dú)立，且遇到紅燈的概率都是，所以未遇到紅燈的概率都是1－＝，所以P＝＝. 7．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，記轉(zhuǎn)盤(pán)甲得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤(pán)乙得到的數(shù)為y(若指針停在邊界上則重新轉(zhuǎn))，x，y構(gòu)成數(shù)對(duì)(x，y)，則所有數(shù)對(duì)(x，y)中，滿足xy＝4的概率為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 答案　C 解析　滿足xy＝4的所有可能如下： x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1. ∴所求事件的概率為 P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1) ＝＋＋＝. 8．在如圖所示的電路圖中，開(kāi)關(guān)a，b，c閉合與斷開(kāi)的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　設(shè)開(kāi)關(guān)a，b，c閉合的事件分別為A，B，C，則燈亮這一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互獨(dú)立，ABC，AB，AC互斥， 所以P(E)＝P(ABC∪AB∪AC) ＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C) ＝＋＋＝. 二、填空題 9．某自動(dòng)銀行設(shè)有兩臺(tái)ATM機(jī)．在某一時(shí)刻這兩臺(tái)ATM機(jī)被占用的概率分別為，，則該客戶此刻到達(dá)需要等待的概率為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算 題點(diǎn)　求兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 答案　 解析　該客戶需要等待意味著這兩臺(tái)ATM機(jī)同時(shí)被占用，故所求概率為P＝＝. 10．事件A，B，C相互獨(dú)立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，則P(B)＝________，P(B)＝________. 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　相互獨(dú)立事件性質(zhì)的應(yīng)用 答案　　 解析　∵P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝， ∴P()＝，即P(C)＝.又P(C)＝P()P(C)＝， ∴P()＝，P(B)＝.又P(AB)＝，則P(A)＝， ∴P(B)＝P()P(B)＝＝. 11．某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于________． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　相互獨(dú)立事件性質(zhì)的應(yīng)用 答案　0.128 解析　由已知條件知，第2個(gè)問(wèn)題答錯(cuò)，第3,4個(gè)問(wèn)題答對(duì)，記“問(wèn)題回答正確”事件為A，則P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)AA]＝[1－P(A)]P(A)P(A)＝0.128. 三、解答題 12．要生產(chǎn)一種產(chǎn)品，甲機(jī)床的廢品率為0.04，乙機(jī)床的廢品率為0.05，從甲、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取1件，求： (1)至少有1件廢品的概率； (2)恰有1件廢品的概率． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 解　從甲、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各取1件是廢品分別記為事件A，B，則事件A，B相互獨(dú)立． (1)設(shè)至少有1件廢品為事件C，則 P(C)＝1－P( )＝1－P()P()＝1－(1－0.04)(1－0.05)＝0.088. (2)設(shè)“恰有1件廢品”為事件D，則 P(D)＝P(A )＋P(B)＝0.04(1－0.05)＋(1－0.04)0.05＝0.086. 13．某校設(shè)計(jì)了如下有獎(jiǎng)闖關(guān)游戲：參賽選手按第一關(guān)，第二關(guān)，第三關(guān)的順序依次闖關(guān)，若闖關(guān)成功，分別獲得5個(gè)學(xué)豆，10個(gè)學(xué)豆，20個(gè)學(xué)豆的獎(jiǎng)勵(lì)，游戲還規(guī)定，當(dāng)選手闖過(guò)一關(guān)后，可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆，結(jié)束游戲；也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)沒(méi)有闖關(guān)成功，則全部學(xué)豆歸零，游戲結(jié)束．設(shè)選手甲第一關(guān)，第二關(guān)，第三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，，選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響． (1)求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率； (2)設(shè)該選手所得學(xué)豆總數(shù)為X，求X的分布列． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與分布列 解　(1)設(shè)“甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件A，“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A1，“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A2，則A1，A2互斥． P(A1)＝＝， P(A2)＝＝， P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝， 所以選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率為. (2)由題意得X的所有可能取值為0,5,15,35， P(X＝0)＝＋P(A)＝， P(X＝5)＝＝， P(X＝15)＝＝， P(X＝35)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 5 15 35 P 四、探究與拓展 14．甲、乙兩人參加一次考試，已知在備選的10道題中，甲能答對(duì)其中6道題，乙能答對(duì)其中8道題．若規(guī)定每人每次考試都從這10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，且至少答對(duì)2道題算合格，則甲、乙兩人分別參加一次考試，至少有一人考試合格的概率為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 答案　C 解析　設(shè)事件A表示“甲考試合格”，事件B表示“乙考試合格”，則P(A)＝＝＝， P(B)＝＝＝. 所以甲、乙兩人考試都不合格的概率為P( )＝P()P()＝＝，則甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為1－P( )＝1－＝. 15．在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表： 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市場(chǎng)價(jià)格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求X的分布列． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6 元/kg”，由題設(shè)知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4. ∵利潤(rùn)＝產(chǎn)量市場(chǎng)價(jià)格－成本， ∴X所有可能的取值為 50010－1 000＝4 000,5006－1 000＝2 000， 30010－1 000＝2 000,3006－1 000＝800. P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)(1－0.4)＝0.3， P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P() ＝(1－0.5)0.4＋0.5(1－0.4)＝0.5， P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.50.4＝0.2， 所以X的分布列為 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2