高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和突破熱點(diǎn)題型

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1、 精品資料 第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 考點(diǎn)一 等差數(shù)列的判定與證明 　[來(lái)源:] [例1]　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由． [自主解答]　(1)證明：∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝，∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1. 又b1＝＝－，∴數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知bn＝n－，則an＝1＋＝1＋.

2、 設(shè)f(x)＝1＋，則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù)， ∴當(dāng)n＝3時(shí)，an取得最小值－1，當(dāng)n＝4時(shí)，an取得最大值3. 【方法規(guī)律】 等差數(shù)列的判定方法 (1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù)； (2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立； (3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an＝pn＋q； (4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn. 注意：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡(jiǎn)單判斷． 若數(shù)列{an}滿足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，a3＝27.

3、 (1)求a1，a2的值； (2)記bn＝(an＋t)(n∈N*)，是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使數(shù)列{bn}為等差數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)由a3＝27,27＝2a2＋23＋1，得a2＝9，由9＝2a1＋22＋1，得a1＝2. (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得{bn}為等差數(shù)列． 則2b2＝b1＋b3， 即2(9＋t)＝(2＋t)＋(27＋t)， ∴t＝1.∴bn＝(an＋1)． ∴bn－bn－1＝(an＋1)－(an－1＋1) ＝(2an－1＋2n＋1＋1)－(an－1＋1) ＝an－1＋1＋－an－1－ ＝1. ∴存在一個(gè)實(shí)數(shù)t＝1，使數(shù)列

4、{bn}為等差數(shù)列． 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)二 等差數(shù)列基本量的計(jì)算　　 1．等差數(shù)列基本量的計(jì)算是高考的?？純?nèi)容，多出現(xiàn)在選擇題、填空題或解答題的第(1)問(wèn)中，屬容易題． 2．高考對(duì)等差數(shù)列基本量計(jì)算的考查常有以下幾個(gè)命題角度： (1)化基本量求公差d或項(xiàng)數(shù)n； (2)化基本量求通項(xiàng)； (3)化基本量求特定項(xiàng)； (4)化基本量求前n項(xiàng)和． [例2]　(1)(2012福建高考)等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2013安徽高考)設(shè)S

5、n為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝(　　) A．－6 B．－4 C．－2 D．2 (3)(2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (4)(2012廣東高考)已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝a－4，則an＝________. [自主解答]　(1)法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則 即解得d＝2. 法二：由等差中項(xiàng)的性質(zhì)知，a3＝＝5， 又∵a4＝7，∴

6、公差d＝a4－a3＝7－5＝2. (2)由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式知 S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a7＋a2)， 又S8＝4a3，∴4(a7＋a2)＝4a3， ∴－2＋a2＝a3，∴公差d＝－2. ∴a9＝a7＋2d＝－6. (3)法一：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， ∴am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3， ∴公差d＝am＋1－am＝1， 由Sn＝na1＋d＝na1＋， 得 由①得a1＝，代入②可得m＝5. 法二：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn， ∴數(shù)列也為等差數(shù)列．∴＋＝， 即＋＝0，解得m＝5. 經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解．

7、 (4)由a3＝a－4，得到1＋2d＝(1＋d)2－4，即d2＝4，因?yàn)閧an}是遞增的等差數(shù)列，所以d＝2，故an＝2n－1. [答案]　(1)B　(2)A　(3)C　(4)2n－1 等差數(shù)列基本量運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)化基本量求公差d或項(xiàng)數(shù)n.通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式是解決此類問(wèn)題的基礎(chǔ)和核心，在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想． (2)化基本量求通項(xiàng)．a(chǎn)1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素，只要把它們求出來(lái)，其余的元素便可以求出． (3)化基本量求特定項(xiàng)．利用通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解． (4)化基本量求前n項(xiàng)和．直接將基本量代入前n項(xiàng)和公式求解，或利用等差數(shù)列的性質(zhì)求

8、解．[來(lái)源:] 1．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝，S4＝20，則S6＝(　　) A．16 B．24 C．36 D．48 解析：選D　設(shè)公差為d，由得 則故S6＝6＋3＝48.[來(lái)源:] 2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足－＝1，則數(shù)列{an}的公差為(　　) A. B．1 C．2 D．3 解析：選C　∵Sn＝，∴＝，由－＝1，得－＝1，即a3－a2＝2，∴數(shù)列{an}的公差為2. 3．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)

9、公式為_(kāi)_______． 解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＝，兩邊取倒數(shù)，得＝＋，即－＝，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， 所以＝＋(n－1)＝1＋(n－1)＝， 所以an＝(n∈N*)． 答案：an＝(n∈N*) 考點(diǎn)三 等差數(shù)列的性質(zhì) 　 [例3]　(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11＝(　　) A．58 B．88 C．143 D．176 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn＝324(n>6)，求數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)及a9＋a10. [自主

10、解答]　(1)S11＝＝＝88. (2)由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，② ①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36， 又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18. ∵a1＋an＝36，n＝18，∴a1＋a18＝36，從而a9＋a10＝a1＋a18＝36. [答案]　(1)B 【方法規(guī)律】 應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點(diǎn) (1)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，則am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性質(zhì)，本例(1)(2)都用到了這

11、個(gè)性質(zhì)． (2)掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個(gè)性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認(rèn)真分析項(xiàng)數(shù)、序號(hào)、項(xiàng)的值的特征，這是解題的突破口． 1．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為25，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 解析：選A　設(shè)這個(gè)數(shù)列有2n項(xiàng)，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：偶數(shù)項(xiàng)之和減去奇數(shù)項(xiàng)之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10. 2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________.

12、解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，∴S30－30＝10＋210＝30，∴S30＝60. 答案：60 考點(diǎn)四 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 　 [例4]　已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n項(xiàng)的和，S10＝S22. (1)求Sn； (2)這個(gè)數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？并求出這個(gè)最大值． [自主解答]　(1)∵S10＝a1＋a2＋…＋a10， S22＝a1＋a2＋…＋a22， 又S10＝S22，∴a11＋a12＋…＋a22＝0， 即＝0，即a11＋a22＝2a1＋31d＝0. 又a1

13、＝31，∴d＝－2. ∴Sn＝na1＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n2. (2)法一：由(1)知，Sn＝32n－n2＝－(n－16)2＋256， ∴當(dāng)n＝16時(shí)，Sn有最大值256. 法二：由(1)知， 令(n∈N*)， 解得≤n≤， ∵n∈N*，∴n＝16時(shí)，Sn有最大值256. 【互動(dòng)探究】 若將本例中的“S10＝S22”改為“S10＝S15”，則該數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大？ 解：∵S10＝S15， ∴a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0， 即5a13＝0，∴a13＝0. 又此等差數(shù)列首項(xiàng)為正， ∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值．　　　　　 【方

14、法規(guī)律】 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法 (1)運(yùn)用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合的思想，從而使問(wèn)題得解． (2)通項(xiàng)公式法：求使an≥0(an≤0)成立時(shí)最大的n值即可．一般地，等差數(shù)列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，則 ①若p＋q為偶數(shù)，則當(dāng)n＝時(shí)，Sn最大； ②若p＋q為奇數(shù)，則當(dāng)n＝或n＝時(shí)，Sn最大． 已知等差數(shù)列{an}中，Sn為前n項(xiàng)和，a3＝12，且S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范圍； (2)前幾項(xiàng)和最大？并說(shuō)明理由． 解：(1)因?yàn)閍3＝a1＋2d＝12，所以a1＝12－2d， 所以即 解得

15、－0， 因此S6最大． 法二：前6項(xiàng)和最大． 由d<0可知{an}是遞減數(shù)列， 令可得[來(lái)源:] 由于－

16、列，可設(shè)中間三項(xiàng)為a－d，a，a＋d； 若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間兩項(xiàng)為a－d，a＋d，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元．[來(lái)源:] 2種選擇——等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的選擇 　等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩個(gè)，如果已知項(xiàng)數(shù)n、首項(xiàng)a1和第n項(xiàng)an，則利用Sn＝，該公式經(jīng)常和等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合應(yīng)用；如果已知項(xiàng)數(shù)n、首項(xiàng)a1和公差d，則利用Sn＝na1＋，在求解等差數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)和通項(xiàng)公式結(jié)合使用． 3個(gè)結(jié)論——等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的三個(gè)結(jié)論 　(1)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S偶－S奇＝nd，＝. (2)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n＋1，則 ①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； ②＝. (3)在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，則滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值Sm. 4種方法——等差數(shù)列的判斷方法 　(1)定義法；(2)等差中項(xiàng)法；(3)通項(xiàng)公式法；(4)前n項(xiàng)和公式法．