概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題2及答案

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習(xí)題二 3.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函數(shù)并作圖； (3) . 【解】 故X的分布律為 X 0 1 2 P （2） 當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=0 當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)= 當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函數(shù) (3) 4.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率. 【解】 設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0，1，2，3. 故X的分布律為 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函數(shù) 5.（1） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 P{X=k}=， 其中k=0，1，2，…，λ＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a. （2） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N， 試確定常數(shù)a. 【解】（1） 由分布律的性質(zhì)知 故 (2) 由分布律的性質(zhì)知 即 . 6.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 兩人投中次數(shù)相等的概率; （2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率. 【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) + (2) =0.243 7.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？ 【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則X~b(200,0.02)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N條跑道，則有 即 利用泊松近似 查表得N≥9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備9條跑道. 8.已知在五重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則 故 所以 . 9.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)， （1） 進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率； （2） 進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率. 【解】（1） 設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，0.3） (2) 令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，0.3） 10.某公安局在長度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）. （1） 求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率. 【解】（1） (2) 11.設(shè)P{X=k}=, k=0,1,2 P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4 分別為隨機(jī)變量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，試求P{Y≥1}. 【解】因?yàn)?，? 而 故得 即 從而 12.某教科書出版了2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001，試求在這2000冊(cè)書中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率. 【解】令X為2000冊(cè)書中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算, 得 13.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率. 【解】 14.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求： （1） 保險(xiǎn)公司虧本的概率; （2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”為單位來考慮. （1） 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為250012=30000元. 設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,0.002)，則所求概率為 由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有 (2) P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000) 即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上 P（保險(xiǎn)公司獲利不少于20000） 即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62% 15.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 f(x)=Ae-|x|, -∞a時(shí)，F(xiàn)（x）=1 即分布函數(shù) 18.設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即 故所求概率為 19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依題意知，即其密度函數(shù)為 該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為 ,即其分布律為 20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）. （1） 若動(dòng)身時(shí)離火車開車只有1小時(shí)，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？ （2） 又若離火車開車時(shí)間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？ 【解】（1） 若走第一條路，X~N（40，102），則 若走第二條路，X~N（50，42），則 ++ 故走第二條路乘上火車的把握大些. （2） 若X~N（40，102），則 若X~N（50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些. 21.設(shè)X~N（3，22）， （1） 求P{20; (2) f(x)= 試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）. 【解】（1） 由知 故 即密度函數(shù)為 當(dāng)x≤0時(shí) 當(dāng)x>0時(shí) 故其分布函數(shù) (2) 由 得 b=1 即X的密度函數(shù)為 當(dāng)x≤0時(shí)F（x）=0 當(dāng)00時(shí)， 故 (2) 當(dāng)y≤1時(shí) 當(dāng)y>1時(shí) 故 (3) 當(dāng)y≤0時(shí) 當(dāng)y>0時(shí) 故 32.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 f(x)= 試求Y=sinX的密度函數(shù). 【解】 當(dāng)y≤0時(shí)， 當(dāng)00）=1，故0<1-e-2X<1，即P（06,則P（X1時(shí)， 即 故 51.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 fX(x)=, 求Y=1-的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（t）服從參數(shù)為λt的泊松分布. （1） 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布； （2） 求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時(shí)的情形下，再無故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.（1993研考） 【解】（1） 當(dāng)t<0時(shí)， 當(dāng)t≥0時(shí)，事件{T>t}與{N(t)=0}等價(jià)，有 即 即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。 （2） 53.設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1，P{X=-1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{-1P{|Y-μ2|<1}，試比較σ1與σ2的大小. (2006研考) 解： 依題意 ，，則 ， . 因?yàn)椋? ， 所以有 ，即. 23