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1、§7.6 局部緊致空間,仿緊致空間
本節(jié)重點:
掌握局部緊致空間、仿緊致空間的定義．性質(zhì)；
掌握局部緊致空間、仿緊致空間中各分離性公理空間之間的關(guān)系；
掌握局部緊致空間、仿緊致空間與緊致空間之間的關(guān)系．
定義7.6.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,如果X中的每一個點都有一個緊致的鄰域,則稱拓?fù)淇臻gX是一個局部緊致空間．
由定義立即可見,每一個緊致空間都是局部緊致空間,因為緊致空間本身便是它的每一個點的緊致鄰域．
n維歐氏空間也是局部緊致空間,因為其中的任何一個球形鄰域的閉包都是緊致的．
定理7.6.1 每一個局部緊致的空間都是正則空間．
證明 設(shè)X
2、是一個局部緊致的Hausdorff空間,設(shè)x∈X,U是x的一個開鄰域．令D是x的一個緊致鄰域,作為Hausdorff空間X的緊致子集,D是X中的閉集．由推論7.2.4,D作為子空間是一個緊致的Hausdorff空間,所以是一個正則空間．是x在子空間D中的一個開鄰域,其中是集合D在拓?fù)淇臻gX中的內(nèi)部．從而x在子空間D中有一個開鄰域V使得它在子空間D中的閉包包含于W．一方面V是子空間D中的一個開集,并且又包含于W,因此V是子空間W中的一個開集,而W是X中的一個開集,所以V也是X中的開集．另一方面,由于D是X的閉集,所以V在D中的閉包便是V在X中的閉包因此點x在X中的開鄰域V使得．因此X是一個正則空
3、間．
定理7.6.2 設(shè)X是一個局部緊致的正則空間,x∈X,則點x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點x處的一個鄰域基．
證明 設(shè)U是x∈X的一個開鄰域．令D為x的一個緊致鄰域,則是x的一個開鄰域．因為X是正則空間,所以存在x的開鄰域V使得．閉集是x的一個閉鄰域,并且作為緊致空間D中的閉子集,它是緊致的．以上證明了在x的任何開鄰域U中包含著某一個緊致鄰域 ．
從前面兩個定理立即可以推出:
推論7.6.3 設(shè)X是一個局部緊致的Hausdorff空間,x∈X．則點x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點x處的一個鄰域基．
定理7.6.4 每一個局部緊致的正則空間
4、都是完全正則空間．
證明 設(shè)X是一個局部緊致的正則空間．我們驗證X是一個完全正則空間如下:
設(shè)x∈X和B是X中的一個閉集,使得是x的一個開鄰域．由定理7.6.2,存在x的一個緊致閉鄰域V,使得．V作為X的一個子空間是緊致的正則空間(正則是可遺傳的),因此是完全正則的．因而存在連續(xù)映射g:V→[0,1],使得g(x)=0,和對于任何有g(shù)(y)=1．
定義映射h:使得．顯然h是一個連續(xù)映射
定義映射f:X→[0,1],使得對于任何z∈X
首先,映射f的定義是確切的,因為如果,則有g(shù)(z)=1=h(z)．其次,都是X中的閉集,從而根據(jù)黏結(jié)引理,f是連續(xù)的．最后
5、,顯然有f(x)=0及對于
根據(jù)定理7.6.1,定理7.6.4及圖表6.1,立即可得圖表7.4
定義7.6.2 設(shè)集族A和B都是集合X的覆蓋,如果A中的每一個元素包含于B中的某一個元素之中,則稱A是B的一個加細(xì)．
顯然,如果A是B的一個子覆蓋,則A是B的一個加細(xì)
定義7.6.3 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,A是X的子集A的一個覆蓋．如果對于每一個x∈A,點x有一個鄰域U僅與A中有限個元素有非空的交,即:
{A∈A|A∩U≠}是一個有限集,則稱A是集合A的一個局部有限覆蓋．
有限覆蓋當(dāng)然是局部有限覆蓋．
定義7.6.4 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,如果X的每一個開覆
6、蓋都有一個局部有限的開覆蓋是它的加細(xì),則稱X是一個仿緊致空間．
緊致空間自然是仿緊致的．離散空間也是仿緊致的,因為所有單點集構(gòu)成的集族是離散空間的一個開覆蓋并且是它的任何一個開覆蓋的局部有限的加細(xì)．
定理7.6.5 每一個仿緊致的正則空間都是正規(guī)空間．
證明:設(shè)X是一個仿緊致的正則空間,A是X中的一個閉集,U是A的一個開鄰域．對于每一個a∈A,點a有一個開鄰域,使得．從而集族是X的一個開覆蓋,它有一個局部有限的加細(xì),設(shè)為,令．則是A的一個局部有限的開覆蓋．于是是A的一個開鄰域．以下證明．
如果,由于是局部有限的,所以x有一個鄰域W只與中有限個元素有非空的交,于是
7、
這證明了
定理7.6.6 每一個仿緊致的Hausdorff空間都是正則空間,因而也是正規(guī)空間．
證明:設(shè)X是一個仿緊致的Hausdorff空間,茲驗證X是一個正則空間如下:
設(shè)x∈X,B是X中的一個不包含點x的閉集,對于每一個b∈B,存在x的一個開鄰域和b的一個開鄰域,使得．特別,．集族是X的一個開覆蓋,它有一個局部有限的加細(xì),設(shè)為．令．集族是B的一個局部有限的開覆蓋．令
?。甐是閉集B的一個開鄰域．我們有．(x有一個鄰域W只與中有限個元素有非空的交,因此W也只與中有限個元素,設(shè)為有非空的交．如果則
因此存在某一個．然而易見于是得到矛盾)．因此是x的一個開鄰域．此外顯然
根據(jù)定理7.6.5,定理7.6.6及圖表6.1我們有圖表7.5:
引理7.6.7 設(shè)X是一個滿足第二可數(shù)性公理的局部緊致的Hausdorff空間．則X有一個開覆蓋滿足條件:對于每一個,閉包是一個包含于的緊致子集．
證明(略)
定理7.6.8 每一個滿足第二可數(shù)性公理的局部緊致的Hausdorff空間都是仿緊致空間．
證明(略)
推論:是一個仿緊致空間．
根據(jù)定理7.6.8,可得圖表7.6
作業(yè)：
P212 1．2．
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