《《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第7章-§7.6-局部緊致空間-仿緊致空間》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第7章-§7.6-局部緊致空間-仿緊致空間（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、§7.6 局部緊致空間,仿緊致空間
本節(jié)重點(diǎn):
掌握局部緊致空間、仿緊致空間的定義．性質(zhì)；
掌握局部緊致空間、仿緊致空間中各分離性公理空間之間的關(guān)系；
掌握局部緊致空間、仿緊致空間與緊致空間之間的關(guān)系．
定義7.6.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,如果X中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)緊致的鄰域,則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)局部緊致空間．
由定義立即可見(jiàn),每一個(gè)緊致空間都是局部緊致空間,因?yàn)榫o致空間本身便是它的每一個(gè)點(diǎn)的緊致鄰域．
n維歐氏空間也是局部緊致空間,因?yàn)槠渲械娜魏我粋€(gè)球形鄰域的閉包都是緊致的．
定理7.6.1 每一個(gè)局部緊致的空間都是正則空間．
證明 設(shè)X
2、是一個(gè)局部緊致的Hausdorff空間,設(shè)x∈X,U是x的一個(gè)開(kāi)鄰域．令D是x的一個(gè)緊致鄰域,作為Hausdorff空間X的緊致子集,D是X中的閉集．由推論7.2.4,D作為子空間是一個(gè)緊致的Hausdorff空間,所以是一個(gè)正則空間．是x在子空間D中的一個(gè)開(kāi)鄰域,其中是集合D在拓?fù)淇臻gX中的內(nèi)部．從而x在子空間D中有一個(gè)開(kāi)鄰域V使得它在子空間D中的閉包包含于W．一方面V是子空間D中的一個(gè)開(kāi)集,并且又包含于W,因此V是子空間W中的一個(gè)開(kāi)集,而W是X中的一個(gè)開(kāi)集,所以V也是X中的開(kāi)集．另一方面,由于D是X的閉集,所以V在D中的閉包便是V在X中的閉包因此點(diǎn)x在X中的開(kāi)鄰域V使得．因此X是一個(gè)正則空
3、間．
定理7.6.2 設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正則空間,x∈X,則點(diǎn)x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基．
證明 設(shè)U是x∈X的一個(gè)開(kāi)鄰域．令D為x的一個(gè)緊致鄰域,則是x的一個(gè)開(kāi)鄰域．因?yàn)閄是正則空間,所以存在x的開(kāi)鄰域V使得．閉集是x的一個(gè)閉鄰域,并且作為緊致空間D中的閉子集,它是緊致的．以上證明了在x的任何開(kāi)鄰域U中包含著某一個(gè)緊致鄰域 ．
從前面兩個(gè)定理立即可以推出:
推論7.6.3 設(shè)X是一個(gè)局部緊致的Hausdorff空間,x∈X．則點(diǎn)x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基．
定理7.6.4 每一個(gè)局部緊致的正則空間
4、都是完全正則空間．
證明 設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正則空間．我們驗(yàn)證X是一個(gè)完全正則空間如下:
設(shè)x∈X和B是X中的一個(gè)閉集,使得是x的一個(gè)開(kāi)鄰域．由定理7.6.2,存在x的一個(gè)緊致閉鄰域V,使得．V作為X的一個(gè)子空間是緊致的正則空間(正則是可遺傳的),因此是完全正則的．因而存在連續(xù)映射g:V→[0,1],使得g(x)=0,和對(duì)于任何有g(shù)(y)=1．
定義映射h:使得．顯然h是一個(gè)連續(xù)映射
定義映射f:X→[0,1],使得對(duì)于任何z∈X
首先,映射f的定義是確切的,因?yàn)槿绻?則有g(shù)(z)=1=h(z)．其次,都是X中的閉集,從而根據(jù)黏結(jié)引理,f是連續(xù)的．最后
5、,顯然有f(x)=0及對(duì)于
根據(jù)定理7.6.1,定理7.6.4及圖表6.1,立即可得圖表7.4
定義7.6.2 設(shè)集族A和B都是集合X的覆蓋,如果A中的每一個(gè)元素包含于B中的某一個(gè)元素之中,則稱A是B的一個(gè)加細(xì)．
顯然,如果A是B的一個(gè)子覆蓋,則A是B的一個(gè)加細(xì)
定義7.6.3 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,A是X的子集A的一個(gè)覆蓋．如果對(duì)于每一個(gè)x∈A,點(diǎn)x有一個(gè)鄰域U僅與A中有限個(gè)元素有非空的交,即:
{A∈A|A∩U≠}是一個(gè)有限集,則稱A是集合A的一個(gè)局部有限覆蓋．
有限覆蓋當(dāng)然是局部有限覆蓋．
定義7.6.4 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,如果X的每一個(gè)開(kāi)覆
6、蓋都有一個(gè)局部有限的開(kāi)覆蓋是它的加細(xì),則稱X是一個(gè)仿緊致空間．
緊致空間自然是仿緊致的．離散空間也是仿緊致的,因?yàn)樗袉吸c(diǎn)集構(gòu)成的集族是離散空間的一個(gè)開(kāi)覆蓋并且是它的任何一個(gè)開(kāi)覆蓋的局部有限的加細(xì)．
定理7.6.5 每一個(gè)仿緊致的正則空間都是正規(guī)空間．
證明:設(shè)X是一個(gè)仿緊致的正則空間,A是X中的一個(gè)閉集,U是A的一個(gè)開(kāi)鄰域．對(duì)于每一個(gè)a∈A,點(diǎn)a有一個(gè)開(kāi)鄰域,使得．從而集族是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋,它有一個(gè)局部有限的加細(xì),設(shè)為,令．則是A的一個(gè)局部有限的開(kāi)覆蓋．于是是A的一個(gè)開(kāi)鄰域．以下證明．
如果,由于是局部有限的,所以x有一個(gè)鄰域W只與中有限個(gè)元素有非空的交,于是
7、
這證明了
定理7.6.6 每一個(gè)仿緊致的Hausdorff空間都是正則空間,因而也是正規(guī)空間．
證明:設(shè)X是一個(gè)仿緊致的Hausdorff空間,茲驗(yàn)證X是一個(gè)正則空間如下:
設(shè)x∈X,B是X中的一個(gè)不包含點(diǎn)x的閉集,對(duì)于每一個(gè)b∈B,存在x的一個(gè)開(kāi)鄰域和b的一個(gè)開(kāi)鄰域,使得．特別,．集族是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋,它有一個(gè)局部有限的加細(xì),設(shè)為．令．集族是B的一個(gè)局部有限的開(kāi)覆蓋．令
?。甐是閉集B的一個(gè)開(kāi)鄰域．我們有．(x有一個(gè)鄰域W只與中有限個(gè)元素有非空的交,因此W也只與中有限個(gè)元素,設(shè)為有非空的交．如果則
因此存在某一個(gè)．然而易見(jiàn)于是得到矛盾)．因此是x的一個(gè)開(kāi)鄰域．此外顯然
根據(jù)定理7.6.5,定理7.6.6及圖表6.1我們有圖表7.5:
引理7.6.7 設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的局部緊致的Hausdorff空間．則X有一個(gè)開(kāi)覆蓋滿足條件:對(duì)于每一個(gè),閉包是一個(gè)包含于的緊致子集．
證明(略)
定理7.6.8 每一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的局部緊致的Hausdorff空間都是仿緊致空間．
證明(略)
推論:是一個(gè)仿緊致空間．
根據(jù)定理7.6.8,可得圖表7.6
作業(yè)：
P212 1．2．
《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第7章-§7.6-局部緊致空間-仿緊致空間
