2018年高考數(shù)學 專題13 坐標系與參數(shù)方程教學案 文

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1、 專題13 坐標系與參數(shù)方程 【2018年高考考綱解讀】 高考對本內(nèi)容的考查主要有： (1)直線、曲線的極坐標方程； (2)直線、曲線的參數(shù)方程； (3)參數(shù)方程與普通方程的互化； (4)極坐標與直角坐標的互化 ，本內(nèi)容的考查要求為B級. 【重點、難點剖析】 1．直角坐標與極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 2．直線的極坐標方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－

2、α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標方程 (1)直線過極點：θ＝α； (2)直線過點M(a,0)(a>0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 3．圓的極坐標方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標方程 (1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； (2)當圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcos θ； (3)當圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsin θ. (4)圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)．

3、圓心在點A(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程為r2＝ρ2＋ρ0－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 設(shè)P是直線上的任一點，則t表示有向線段的數(shù)量． 5．圓的參數(shù)方程 圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)． 6．圓錐曲線的參數(shù)方程 (1)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)雙曲線－＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 【題型示例】 題型一　極坐標 【例1】【2017課標3，文22】在

4、直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為.設(shè)l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C． （1）寫出C的普通方程； （2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)l3：ρ(cosθ+sinθ)?=0，M為l3與C的交點，求M的極徑. 【答案】（1）；（2） 【變式探究】【2016年高考北京文數(shù)】在極坐標系中，直線與圓交于A，B兩點，則______. 【答案】2 【解析】直線過圓的圓心，因此 【變式探究】在極坐標系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為(　　) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈

5、R)和ρcos θ＝2 C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 解析　由ρ＝2cos θ得x2＋y2－2x＝0. ∴(x－1)2＋y2＝1， 圓的兩條垂直于x軸的切線方程為x＝0和x＝2. 故極坐標方程為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故選B. 答案　B 【變式探究】(2015·廣東，14)(坐標系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C1的極坐標方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點的直角坐標為________． 解析　∵曲

6、線C1的極坐標方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，∴曲線C1的直角坐標方程為x＋y＝－2.曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則其直角坐標方程為y2＝8x，聯(lián)立解得x＝2，y＝－4，即C1，C2的交點坐標為(2，－4)． 答案　(2，－4) 【舉一反三】(2015·安徽，12)在極坐標系中，圓ρ＝8sin θ上的點到直線θ＝(ρ∈R)距離的最大值是________． 解析　由ρ＝8sin θ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝得y＝x，即x－y＝0，∴圓心(0，4)到直線y＝x的距離為2，圓ρ＝8sin θ上的點到直線θ＝的最大距離為4＋2＝6. 答案　6 【變

7、式探究】(2015·新課標全國Ⅰ，23)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1) 2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程． (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積． 【舉一反三】(2015·江蘇。21(C))已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑． 解　以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程為 ρ2＋2ρ－4＝0， 化簡，得ρ2＋2ρsin θ－2ρc

8、os θ－4＝0. 則圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圓C的半徑為. 題型二　參數(shù)方程及其應(yīng)用 【例3】【2017課標1，文22】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為 ． （1）若，求C與l的交點坐標； （2）若C上的點到l的距離的最大值為，求． 【答案】（1），；（2）或． 當時， 的最大值為.由題設(shè)得，所以； 當時， 的最大值為.由題設(shè)得，所以. 綜上， 或. 【變式探究】【2016高考新課標1卷】（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xy中

9、,曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù),a＞0）． 在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2：ρ=. （I）說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程； （II）直線C3的極坐標方程為,其中滿足tan=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a． 【答案】（I）圓,（II）1 【變式探究】 (2015·重慶，15)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2cos 2θ＝4，則直線l與曲線C的交點的極坐標為________． 解析　直線l的直角坐標方程為y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ

10、2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐標方程為x2－y2＝4，把y＝x＋2代入雙曲線方程解得x＝－2，因此交點為(－2，0)，其極坐標為(2，π)． 答案　(2，π) 【變式探究】(2014·福建)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍． 【命題意圖】本小題主要考查直線與圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想． 【解題思路】(1)消去參數(shù)，即可求出直線l與圓C的普通方程． (2)求出圓心的坐標，利用圓心到直線l的距離不大于半徑，得到關(guān)于

11、參數(shù)a的不等式，即可求出參數(shù)a的取值范圍． 【感悟提升】 1．將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參和三角恒等式消參等，往往需要對參數(shù)方程進行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件． 2．在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解． 【變式探究】(2015·福建，21(2))在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程

12、為ρsin＝m(m∈R)． ①求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； ②設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 【舉一反三】(2015·湖南，16Ⅱ)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)設(shè)點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|·|MB|的值． 解　(1)ρ＝2cos θ等價于ρ2＝2ρcos θ.① 將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.② (2)將代入②式，得t2＋5t＋18＝0. 設(shè)這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知， |MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 9